DifferenzenQuotient – ウィキペディア

違いの商 数学からの用語です。サイズを変更して別のサイズを変更する比率を説明します。これにより、最初のサイズは2番目のサイズに依存します。分析では、関数の導出を定義するために差分商品が使用されます。数値数学では、微分方程式を解くために使用され、関数の導出（数値分化）の導出の近似に使用されます。

これは、伝送関数にも適用されます

${displaystyle g（s）}$

ラプラスの出力入力比を備えた動的システムのシステム理論、制御技術は、通常の微分方程式を変換しました（干渉関数を使用）。逆ラプラス変換により、それらは通常の微分方程式に起因し、差分商を使用してほぼ数値的に解決できます。

は

${displaystyle fcolon d_ {f} to mathbb {r}}$

その地域での実際の機能

${displaystyle d_ {f} Subset Mathbb {r}}$

定義されています

${displaystyle [x_ {0}; x_ {1}] Subset d_ {f}}$

これは商が呼ばれるものです

${displaystyle varphi（x_ {1}、x_ {0}）= {frac {f（x_ {1}） – f（x_ {0}）} {x_ {1} -x_ {0}}}}}}}}}$

の差

${displaystyle f}$

間隔で

${displaystyle [x_ {0}; x_ {1}]}$

。 ^{[初め] [2] [3]}

あなたが書く

${displaystyle delta x：= x_ {1} -x_ {0}}$

と

${displaystyle delta y：= fleft（x_ {1} right）-fleft（x_ {0} right）}$

、次に、代替スペルの結果

${displaystyle {frac {delta y} {delta x}} = {frac {f（x_ {1}）-f（x_ {0}）} {x_ {1} -x_ {0}}}}}}}$

。

あなたが設定した

${displaystyle h = x_ {1} -x_ {0}}$

、 また

${displaystyle x_ {1} = x_ {0}+h}$

だからあなたはスペルを取得します

${displaystyle {frac {f（x_ {0}+h）-f（x_ {0}）} {h}}}}$

。

幾何学的に、差分商はのグラフの2番目のスロープに対応します

${displaystyle f}$

ポイントを通して

${displaystyle（x_ {0}、f（x_ {0}））}$

と

${displaystyle（x_ {1}、f（x_ {1}）}$

。ために

${displaystyle x_ {1} rightArrow x_ {0}}$

また。

${displaystyle highrightarrow 0}$

その時点でセカンテから接線になります

${displaystyle x_ {0}}$

。

限界値用語とともに、差分計算の基礎を形成します。の違い商の限界

${displaystyledisplayStyle x_ {1} rightArrow {0}}$

と呼ばれます 微分商 また 導出 ポイントでの関数

${displaystyle x_ {0}}$

、この制限が存在する場合。

表は、いくつかの関数の派生を示しています。違いの商は正しいです

${displaystyle x_ {1} neq x_ {0}}$

。

違いのバリアントの定義最初の派生規制 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

主に数値数学で 通常の微分方程式 一定の係数を使用して、 差異方程式 一定の間隔に応じて（

${displaystyle delta x}$

、

${displaystyle delta t}$

、h）連続して計算されました。通常の差異方程式の数値解は、多くの計算結果を介して再帰的になり、通常は整然とセットアップされたシステム出力シーケンスであることが判明しました

${displaystyle y_ {k}}$

（サポートサイト、ノード）独立変数に応じて

${displaystyle x_ {k}}$

、または時間内に依存するシステム

${displaystylet_ {k}}$

しかし。

概念的な説明 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• 通常の微分方程式 一定の係数で

テクノロジー、自然、経済などの環境の動的プロセスは、微分方程式を説明しています。 zを探している関数に加えて、微分方程式が含まれます。 B.

${displaystyle y（t）}$

また、探している関数も導き出します

${displaystyle y ‘（t）}$

。あなたが探している関数が変数（変数）にのみ依存する場合、微分方程式は通常呼び出されます。

${displaystyleに}$

通常の微分方程式＃微分方程式の定義（DGL）を参照してください

通常の微分方程式の数値計算は、差異方程式を介して行われます。連続関数の代わりに、これにより有限数のフォローアップ（値）が作成されます。各エピソードでは、過去のエピソードを1つのオーダー方程式の違い方程式の中で言及しています。

微分方程式の数値溶液には、差異方程式の多数のバリアントがあります。差異方程式の複雑さが増加すると、出力変数の分析コースと同じ近似に対して達成されます

${displaystyle y（x）}$

フォローアップ曲の数

${displaystyle k_ {text {max}}}$

大幅に削減されます。

差異方程式を持つ微分方程式を解くことは、数字の要素の再帰的な結果です。つまり、ほとんどの関数または偶数のリストのリストです。通常の微分方程式のタイプと関連する差分方程式に応じて、番号付けの差分方程式の入力および出力関連メンバーはインデックスを受け取ります

${displaystyle k}$

。

${displaystyle k = [0,1,2,3、dotsc、k_ {text {max}}]}}$

算術エピソード：

与えられたフォローアップ値は、固定金額のすべてのフォローアップで成長または沈みます。例：「ピギーバンク」。

指数シーケンス：

指定された後続の値は、それぞれのフォローアップが同じ割合または同じ相対シェアで増加または低下します。例：複利。

従属変数

${displaystyle y_ {k+1}}$

次の番号付きフォローアップに対応します

${displaystyle y_ {k}}$

コンピューティングステップの後

${displaystyledelta x = h}$

。従属変数

${displaystyle y_ {k-1}}$

過去数字のフォローアップに対応します

${displaystyle y_ {k}}$

コンピューティングステップの前

${displaystyledelta x = h}$

。

通常の微分方程式の解の結果、連続関数が生じます。微分方程式を差異方程式に転送することにより、解は離散関数になります。

差分方法の助けを借りて、多くの場合、選択されたステップサイズに応じて、ほとんどの努力で式をセットアップできます。

${displaystyle delta x}$

分析ソリューションに対する多かれ少なかれ良い離散アプローチ。

通常の線形微分方程式、例えばB.最初のオーダー動的システムを説明します。

${displaystyle a_ {1} cdot y ‘（t）+a_ {0} cdot y（t）= b_ {0} cdot u（t）}$

後の能力 違い 差異方程式に変換するのは比較的簡単です。これは、微分方程式の微分指数を、異なる形式の差分商を直接交換することによって行われます。これにより、再帰的差異方程式が自動的に作成されます。 ^{[4] [5]}

違いの方程式を持つ微分方程式の解の古典的な方法は、初期値の問題の数値解のためのオイラールートプロセスです。 ^[6]

違いの商 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

数字では、差分商は、通常の微分方程式の微分商の時間離散形を意味します。従属変数を持つ差額指数

${displaystyle y（x）}$

および独立変数

${displaystyle x}$

または変数の時間依存関数の場合

${displaystylet}$

次の方法を区別します。 ^[7]

順方向の差 関数用

${displaystyle y ‘= f（x、y）}$

図に従って左の間隔線を指します

${displaystyle x _ {（k）}}$

後

${displaystyle x _ {（k+1）}}$

間隔で

${displaystyle h}$

。

${displaystyle y’approx {frac {Delta y}{Delta x}}={frac {y(x+h)-y(x)}{(x+h)-x}}:={frac {y_{(k+1)}-y_{(k)}}{h}}}$

後方差分指数 間隔の後に逆方向に正しい間隔境界を指します

${displaystyle h}$

から

${displaystyle x _ {（k）}}$

後

${displaystyle x _ {（k-1）}}$

。

${displaystyle y’approx {frac {Delta y}{Delta x}}={frac {y(x)-y(x-h)}{(x+h)-x}}:={frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{h}}}$

中心的な違いの商 右側と左の間隔線を指します。

${displaystyle {y _ {（k+1）} {text {aby}} y _ {（k-1）}} {text {with}} {2cdot h}}}$

${displaystyle y’approx {frac {Delta y}{Delta x}}={frac {y(x+h)-y(x-h)}{2cdot [(x+h)-x]}}:={frac {y_{(k+1)}-y_{(k-1)}}{2cdot h}}}$

中心差分を微分方程式で使用する場合、それは2つの方法の算術平均ではありません。分析機能にアプローチする高精度は、の値の低下とともに増加しません

${displaystyle h}$

、しかし、の低下値の正方形で

${displaystyle h}$

。

差分商の助けを借りて微分方程式の数値処理 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• 次の単純な微分方程式が示されています。

${displaystyle y ‘（x）= y（x）+e^{x}}$

。

通常の微分方程式の解決策は、通常、類似の動作を持つ無限の数のソリューションを持つ関数グループの形の一般的な解をもたらします。

• 微分方程式の初期値の問題：

初期値の問題の解決策は、特定の初期値を考慮して、微分方程式を解くことです。

初期値

${displaystyle y_ {0}}$

ために

${displaystyle x = 0}$

常に指定されています。

• 分析機能（比較目的で必要な場合）：

特定の微分方程式の閉じた溶液の場合、主な関数（統合）は

${displaystyle int f（x）dx = f（x）+c}$

教育を受けた。

分析機能を決定するために、積分定数は

${displaystyle c}$

サイズではなく、STEM関数の方程式によって計算されます

${displaystyle y（x）}$

初期値

${displaystyle y_ {0}}$

設定されています。

より複雑な微分方程式の場合、分析機能を常に統合によって決定することはできません。定数

${displaystyle c}$

多くの場合、それはあなたが探しているソリューションで常に発生するだけでなく、要因的にも発生します。

• 順方向の差異商との異なるスケール方程式：

差分方程式の助けを借りて、微分方程式を解くことができます。

通常の微分方程式の導出

${displaystyle y ‘（x）= f（x、y）}$

前方差分の商に置き換えられ、

${displayStyle y ‘（x）= lim _ {xto 0} {rudaud {delta and} {delta x}} compx {duraud {y（x+h）-y（x）} {（x+h）-x}}}}：= {froad {y_ {k+1} -y_ {k}$

。

明示的な差異方程式が発生します

${displaystyle {frac {y_ {k+1} -y_ {k}} {h}} = f（x_ {k}、y_ {k}）}$

。

差異方程式の一般的な形式1. O.順方向の違いの商によると（対応： “euler-forward”）：

• 上記の微分方程式の差異方程式の開発：

${displaystyle {frac {y_ {k+1} -y_ {k}} {h}} = y_ {k}+e^{x_ {k}}}}$

異なるシーン方程式：

${displaystyle y_{k+1}=y_{k}+hcdot (y_{k}+e^{x_{k}})}$

目的の初期値は、

${displaystyle y_ {0}}$

で

${displaystyle k = 0}$

入力。

${displaystyleに}$

アプリケーションの違い方程式（違い方法）も参照してください

${displaystyleに}$

記事の明示的なオイラー手順も参照してください

より高い派生とエラーの順序の通常の違いの商 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一次導関数の近似に加えて、より高い誘導体の数値計算のための異なるスケール商もあります。この目的のために、このセクションでは中心的な差額の指数のみが考慮されます。アナログの考慮事項は、順方向と逆差分の商にも存在します。 ^[8] このような違いの商の派生の基礎は、テイラーシリーズです。また、より高いエラー順序を持つ違いの商もあります。

たとえば、2番目の派生の場合、接続は

${displaystyle {frac {delta^{2} y} {delta x^{2}}}}}：= {y_ {i+1} -2y_ {i}+y_ {i-1}} {delta x^{2}}}} = {frac x+ff（ff（x+ff（x+ff（f）{frac） x）} {delta x^{2}}} = f ”（x）+{mathcal {o}}（delta x^{2}）}$

利用される。後ろの

${displaystyle {mathcal {o}}}$

– 何からも作ることができます

${displaystyle x}$

依存する。以下の表には、より高い派生規制のいくつかの通常の中心的な違いの商が示されています。機能順序の機能的価値が与えられているという事実

${displaystyle y_ {i}}$

利用できません。中央差分商の原則に戻り、平均によってエラー順序が増加します。まっすぐな派生規制を備えた差額項目は、最小限のエラー順序でここに示されています。これは、さらに機能的な値を追加することで増やすことができます。

再帰方程式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

より高い通常の中心差分の計算は、後続の再帰方程式を使用して実行できます。表現

${displaystyle i}$

ローカル座標のインデックス

${displaystyle x_ {i}}$

と

${displaystyle n}$

現在の派生規制のインデックス。それでは始まります

${displaystyle n = 1}$

その結果、ODDの再帰方程式を使用します

${displaystyle n}$

。

${displaystyle左。{frac {mathrm {d}^{n} y} {mathrm {d} x^{n}}} right | _ {x = x_ {i}} ampt y_ {i}^{（n）} = {begint {begint -y_ {i-1}^{（n-1）}} {2delta x}}＆n：{text {ungerade}}} \\ displaystyle {y_ {i+1}^{（n-2）} – 2y_ {i}^{n-2）} {n-2）}+y-1 {{i-1 {n-2）} {2}}}＆n：{text {gerade}} end {cases}} quad {text {mit}} quad nin mathbb {n}、; n> 0}$

バズ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

通常の中心的な差は、有限合計で表示できます。この式の構造は、Pascal Triangleまたは二項係数に直接接続されています。概要ディスプレイは、上記の再帰方程式を使用して導出できます。インデックス

${displaystyle i}$

差分商が評価される位置座標を表します。不定期順序の導関数の概要

${displaystyle n}$

中心的な違いの方法が含まれているため、予備的な要因が含まれています

${displaystyle1/2}$

。

${displaystyle左。{frac {mathrm {d}^{n} y} {mathrm {d} x^{n}}} right | _ {x = x_ {i}} ampt y_ {i}^{（n）}}スタイルsum _ {k = 0}^{n} left [（-1）^{k} {begin {pmatrix} n \ kend {pmatrix}} cdot y_ {i+k-n/2}右]＆quad n {text {ist gerade}}}} \ \ displaystyle {} {1 }^{n-1} left [（-1）^{k} {begin {pmatrix} n-1 \ kend {pmatrix}} cdot left（y_ {i+k+1-（n-1）/2} -y_ {i+k-1-（n-1）/2} right] right]$

と

${displaystyle nin mathbb {n}}$

と

${displaystyle {begin {pmatrix} n \ kend {pmatrix}}：= {frac {n！} {k！cdot（n-k）！}}}}$

。

製品のプレゼンテーション [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

マトリックス製品のプレゼンテーションは、上記の頼みの方程式から派生して、通常の差額商品を計算できます。最初のステップでは、製品方程式は、ランダム対価の導出に対して決定されます。この場合、関連する再帰方程式は奇数の導出とは対照的に閉鎖チェーンを形成するためです。マトリックスの要素

${displaystyle a^{l}}$

次のように定義され、次元によって定義されます

${displaystyle（（2L+1）times（2L+3））}$

。マトリックス

${displaystyle a^{l}}$

ストレートの上記の再帰方程式の署名に正確に対応する

${displaystyle n}$

。

${displaystyle a_ {ij}^{l}：= {begin {case} 1＆（i、j）in左{（nu、nu）lor（nu、nu +2） {sonst}} end {cases}}}$

後続のベクトル

${displaystyle {underline {y}} _ {k}}$

機能値が含まれています

${displaystyle y_ {m} = y（x_ {i}+mcdot delta x）}$

。

${displaystyle {underline {y}} _ {k}：= {begin {bmatrix} y_ {i+k}＆y_ {i}＆cdots＆y_ {i-k} end {bmatrix}}^{t}}}}}}$

これは、の近似になる可能性があります

${displaystyle2k}$

– ポイント内の派生

${displaystyle x = x_ {i}}$

次のように表現します。

${displaystyle左。{frac {{text {d}}^{2k} y} {{text {d}} x^{2k}}} right | _ {x = x_ {i}} cortx {frac {1} {lac {l = {l = 0}} {l =}}}} {l =}}} {l} cdot {underline {y}} _ {k} quad、kin mathbb {n}}$

マトリックスの助けを借りて

${displaystyle b^{k}}$

、次元があります

${displayStyle [（2k-1）Times（2k+1）]}$

、奇妙な派生規制のための製品プレゼンテーションもあります。マトリックス

${displaystyle b^{k}}$

ODDの上記の再帰方程式の署名に正確に対応する

${displaystyle n}$

。

${displaystyle b_ {ij}^{k}：= {begin {cases} 1＆（i、j）in左{（nu、nu）; |; 1leq nu leq 2k-1right} \ – end {（nu、nu +2）; |; }}}$

${displaystyle left。{frac {{d}}^{2k-1} y} {{text {d}} x^{2k-1}}} right | _ {x = x_ {i}} cortx {frac {1}} {{2k-1}} {2k-1}} {1}} } a^{l} cdot b^{k} cdot {underline {y}} _ {k}}}}$

より高い派生とエラーの順序の通常の違いの商 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

中央の差分商 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Taylorシリーズ（またはTaylor Polynoma）の巧妙なアプリケーションを通じて、差分指数を計算するマトリックス方程式があります。次のテイラー近似a

${displaystyle 2n}$

-Fach差別化関数

${displaystyle y（x）}$

。上限の使用

${displaystyle 2n}$

合計は、より大きな対称性のために理想的です。

${displaystyle y（x）約sum _ {n = 0}^{2n} {frac {（x-x ‘）} {n！}} cdot {{text {d}}^{n} y} {{{text {d}}} x^{n}}}}}}$

のこの近似に基づいています

${displaystyle y（x）}$

代替です

${displaystyle x ‘= x_ {i}、quad x = x_ {i}+nu cdot delta x}$

実行する。次の方程式でわかるように、これは関数で求められた派生物が求められていることを意味します

${displaystyle y（x）}$

ローカル

${displaystyle x_ {i}}$

利用可能。さらに、インデックス表記は短縮用です

${displaystyle y_ {i、nu}：= y（x_ {i}+nu cdot delta x）;$

使用済み。

${displaystyle y_ {i、nu}概算sum _ {n = 0}^{2n} {frac {（nu cdot delta x）^{n}} {n！}} cdot y_ {i}^{（n）}}}}}$

インデックスを移動することにより

${displaystyle not}$

最後に、派生規制までの違いの商を計算するための次の線形式のシステムを見つけることができます

${displaystyle 2n}$

。 Vander Monde Matrixのシステムマトリックスの密接な関係。 B.は多項式補間について知られています。

${displaystyle {begin {bmatrix} y_ {i、-n} \ vdots \ y_ {i、n} end {bmatrix}} = {begin {bmatrix} {frac {（-ncdot delta x）^{0}} {0！ ^{2n}} {（2n）！}} \ vdots && vdots \ {frac {（ncdot delta x）^{0} {0！}}＆cdots＆{frac {（ncdot delta x）^{cd}}}} {bmatr） {bmatrix} y_ {i}^{0} \ vdots \ y_ {i}^{（2n）} end {bmatrix}}}}$

この方程式システムのいくつかのソリューションを次の表に示します。大規模な場合は注意する必要があります

${displaystyle n}$

マトリックスは特異になり、その結果、コンピューターへのマトリックスの反転はもはや実行不可能です。ここで指定されている違いの商に加えて、中央DZQのクラスに分類できるものに加えて、他のバリエーションもあります。 ^{[9] [十]}

支援機関のさまざまな科学指数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

また、サポートボディとの差分指数を計算するオプションもあります。一般に、次の合計を持つ差異商を表すことができます。定数

${displaystyle s_ {n} in mathbb {r}、; s_ {i} neq s_ {j}}$

変位を持つサポートサイトに対応します

${displaystyle x_ {i} in mathbb {r}}$

。インデックス

${displaystyle m}$

派生規制に対応します。最小の精度が生じます

${disclaystylewaviv 1000 + 1}$

。他のサポートサイトを追加することで、精度を向上させることができます。上記で指定された中心的な違いの商は、ローカルビューの特別なケースです。 ^[十]

${displaystyle左。{frac {{text {d}}^{m} y} {{text {d}} x^{m}}} right | _ {x = x_ {i}} {n}）;、 quad n> m}$

${displaystyle c_ {n}^{（m、n）}}}}$

次の線形式の方程式を解くことによって計算します。

${displaystyle delta _ {i、j}}$

Kronecker Deltaを代表しました。

${displaystyle {begin {bmatrix} s_ {1}^{0}＆cdots＆s_ {n}^{0} \ vdots &v vdots \ s_ {1}^{n-1}＆cdots＆s_ {n}^{n-1} ed {beverix} {bmatrix} {n-1} {n-1} }^{（m、n）} \ vdots \ c_ {n-1}^{（m、n）} end {bmatrix}} = m！cdot {begin {bmatrix} delta _ {0、m} \ vdots \ delta$

等距離のサポートサイトです

${displaystyle s_ {n} = k_ {n} cdot delta x;、k_ {n} in mathbb {z}}}}}$

方程式の線形システムは、次のように選択されます。

${displaystyle {begin {bmatrix} k_ {1}^{0}＆cdots＆k_ {n}^{0} \ vdots && vdots \ k_ {1}^{n-1}＆cdots＆k_ {n}^{n-1} {bmatrix} {bmatrix} {n-1} {n-1} }^{（m、n）} \ vdots \ c_ {n-1}^{（m、n）} end {bmatrix}}} = {frac {m！} {m}}} cdot {begint {bmatrix} {bmatrix} {bmatrix}}}$

• ユルゲン・コッホ、マーティンスタンプ： エンジニアリングコースの数学 。 Karl Hanser Munich、2018、ISBN 978-3-446-45166-7。
• リチャードソン、C。H。（1954）：有限の違いの微積分の紹介（van Nostrand、1954）
• Mickens、R。E.（1991）：差異方程式：理論と応用（Chapman and Hall/CRC）
• プラトン、ロバート。 数値数学コンパクト 。 Vieweg+ Teubner Verlag、2000。

1. ↑ ハーバート・アマン、ヨアヒム・エッシャー： 分析1 、第3版、Birkhäuser、p。319。
2. ↑ JürgenKoch、MartinStämple：エンジニアリングコースの数学、章「差動計算、勾配、派生機能
3. ↑ トーマス・ウェスターマン：エンジニアのための数学、章「差分計算」、差分商。
4. ↑ 著者：HS Karlsruhe：スクリプト「2。差異手順」、24ページ。
5. ↑ 著者：JürgenDankert;テクニカルブックシリーズ：機械工の数値、単一の専門家の本：「違い手順」、スプリンガービューエグ、ベルリン、抜粋の概要「手順の基本的な考え方は、微分方程式と境界条件の微分項目を微分商に置き換えることです」。
6. ↑ ユルゲン・ダンカート： 初期値の問題の数値統合。 スクリプト、Haw-Hamburg、39ページ。
7. ↑ 教授クリスチャンクレメン、HS-Augsburg;スクリプト：数学II、章：数値分化、数値統合、通常の微分方程式の数値解、オイラー、Heun、Runge-Kuttaの方法、オイラー手順の改善。
8. ↑ ハンス・ルドルフ・シュワルツ＆ノーバート・ケックラー： 数値数学 。 6.エディション。 Vieweg+Teubner Verlag、2006、ISBN 978-3-8351-9064-1、 S. 103–104 。
9. ↑ H. B.ケラー、V。ペレイラ： 有限差分式のシンボリック生成 。の： 計算の数学 。 バンド 32 、 いいえ。 144 、1978年、ISSN 0025-5718 、 S. 955–955 、doi： 10.1090/s0025-5718-1978-0494848-1 。
10. ↑ ^{a b} Bengt Fornberg： 任意の間隔グリッド上の有限差分式の生成 。の： 計算の数学 。 バンド 51 、 いいえ。 184 、1988年、ISSN 0025-5718 、 S. 699–699 、doi： 10.1090/s0025-5718-1988-0935077-0 。