Hilbertraum Tense Product -Wikipedia

機能分析の数学的サブエリアの形成 Hilbertraum-Sensor製品 Hilber Dreamsから新しいヘルプの夢をまとめる方法です。テンソル製品の純粋な代数形成では、一般的に完全な部屋を手に入れることができないため、十分ではありません。バナッハ領域理論で調査された注射および射影テンソル製品でさえ、これは一般的に役立つため、標準はスカラー製品によって定義されていないため、望ましい結果につながることはありません。

スカラー製品があります

${displaystyle mathbb {c}}$

-hilberの部屋は双線形ではありませんが、sesquilinearのみですが、テンソル製品は双線形画像用に作られているため、ヒルバードリームズの代数テンソル製品でこれを継続することが可能です。
それから、あなたはヒルバーの夢を得るために完了するだけであるという予防的な夢を持っているでしょう。まさにこの手順が成功することが判明しました。以下では、多くのアプリケーションにとってより重要な複雑なヒルバーの夢のみが考慮されています。実際の部屋のテンソル製品の構築は非常に似ており、いくつかの詳細がさらに簡単です。

なれ

${displaystyle h}$

と

${displaystyle k}$

二

${displaystyle mathbb {c}}$

– ヒルバーの夢。スカラー製品は常にあります

${displaystyle langle cdot、cdot rangle}$

ヒルベルトドリームの名前はインデックスとして追加される可能性があると説明しました。次に、次のように表示できます。

代数テンソル製品

${displaystyle hodot k}$

プロパティには、ちょうど1つの小節形状があります

${displaystyle langle x_ {1} otimes y_ {1}、x_ {2} otimes y_ {2} rangle _ {hotimes k} = langle x_ {1}、x_ {2} rangle _ {h} cdot langle y_ {1}、y_ {2}}$

すべてのために

${displaystyle x_ {1}、x_ {2} in h}$

と

${displaystyle y_ {1}、y_ {2} in k}$

。

大統領の夢の完成

${displayStyle（Hodot K、Langle CDOT、CDOT RANGLE _ {HOTIMES K}）}$

Hilbertraum-Sensor製品を意味します

${displaystyle h}$

と

${displaystyle k}$

と一緒です

${displaystyle hotimesk}$

専用。一部の著者は使用しています

${displaystyle hotimesk}$

代数的なテンソル製品のために、次に書き込みます

${displaystyle h、{overline {otimes}}、k}$

完了するために、他の人は使用します

${displaystyle hotimesk}$

この記事で発生したように、両方と賢明な可能性のあるあいまいさのために、または代数テンソル製品の別の表記法を使用します。

• Hilbertraum-Human製品は、Hilbertraum-Sorpriftの多くのヒルバーの夢の誘導によって最終的に簡単に使用できます
  ${displaystyle h_ {1}、ldots、h_ {n}}$

  拡張します

  ${displaystyle h_ {1} otimes ldots otimes h_ {n}}$

  いつ

  ${displaystyle（h_ {1} otimes ldots otimes h_ {n-1}）otimes h_ {n}}}$

  定義されています。

• 整流、連想、および分布に関する通常の文は、Hilbertraum-s-sypei製品に適用されます。
  ${displaystyle h_ {i}}$

  要素のあるヒルバーの夢

  ${displaystyle x_ {i}}$

  なれ：

${displaystyle h_ {1} otimes h_ {2} cong h_ {2} otimes h_ {1}}$

と

${displaystyle x_ {1} otimes x_ {2} mapsto x_ {2} otimes x_ {1}}}$

${displaystyle h_ {1} otimes（h_ {2} otimes h_ {3}）cong（h_ {1} otimes h_ {2}）otimes h_ {3}}$

と

${displaystyle x_ {1} otimes（x_ {2} otimes x_ {3}）mapsto（x_ {1} otimes x_ {2}）otimes x_ {3}}$

${displaystyle h_ {1} otimes（h_ {2} oplus h_ {3}）cong（h_ {1} otimes h_ {2}）oplus（h_ {1} otimes h_ {3}）}}$

と

${displaystyle x_ {1} otimes（x_ {2} oplus x_ {3}）mapsto（x_ {1} otimes x_ {2}）oplus（x_ {1} otimes x_ {3}）}$

• Hilbertraum-Human製品には、いわゆるクロススタンダードプロパティがあります。つまり、適用されます

${displaystyle | xotimes y | = | x | cdot | y |}$

すべてのベクトル用

${displaystyle x}$

と

${displaystyle y}$

ヘルプルームから。

ために

${displaystyleをお願いします$

と

${displaystyle yin k}$

線形演算子としての二項積の意味でのテンソル製品はできますか

${displaystyle xotimes yolon kto h}$

理解されます。これらの演算子の（代数）線形シェルは、演算子の有限ランクの代数であり、これはFréchetRieszの文から続きます。上記で定義されているスカラー製品は、それを誘導するだけです hilbert-schmidt-norm そして、有限ランクの演算子は ヒルバートスミスオペレーター これは完全にこの標準の観点からです。これは、オペレーターの有限ランクの完了が、のヒルバートシュミットオパーターズの部屋にすぎないことを意味します。

${displaystyle k}$

後

${displaystyle h}$

。

• なれ
  ${displaystyle l^{2}（x_ {1}、sigma _ {1}、mu _ {1}）}$

  と

  ${displaystyle l^{2}（x_ {2}、sigma _ {2}、mu _ {2}）}$

  l ² – ルームも

  ${displaystyle sigma}$

  – アランデンス。次に、hilbertraum-speitrodukt isomorphです

  ${displaystyle l^{2}}$

  – メジャーの積のプラウム、つまり ^[初め]

${displaystyle l^{2}（x_ {1}、sigma _ {1}、mu _ {1}）otimes l^{2}（x_ {2}、sigma _ {2}、mu _ {2}）cong l^{2}（x_ {1} time x_ {1} sigma _ {1} time x_ {1} _ {2}、mu _ {1}回mu _ {2}）}$

${displaySyle he ^{2}（i）otimes ell ^{2}（j）cong ^{2}（ittimes j）}$

。

これは、Hilbert Schmidtオペレーターが正方形のマトリックス係数を持つオペレーターであるため、当てはまります。 Fischer-Rieszの判決によると、すべてのヒルバーは夢を見ています

${displaystyle ell ^{2}（i）}$

適切な

${displaystyle i}$

は、ヒルバーの夢に従います

${displaystyle h}$

と

${displaystyle k：}$

${displaystyle mathrm {dim}（hotimes k）、=、mathrm {dim}（h）cdot mathrm {dim}（k）,,}$

したがって

${displaystyle mathrm {dim}（h）}$

ヒルバートドリームディメンション、つまりH.の任意のオルソルマルベースのカーディナリティ

${displaystyle h}$

スタンド。

なれ

${displaystyle h}$

と

${displaystyle k}$

ヒルバーの夢と

${displaystyle（y_ {j}）_ {jin j}}$

のオルソーマルベースになります

${displaystyle k}$

。それから

${displaystyle hotimes y_ {j}：= {xotimes y_ {j}; xin h} subset hotetimes k}$

1つも

${displaystyle h}$

同型水中等尺性とそうです

${displaystyle hotimes kcong bigoplus _ {jin j} hotimes y_ {j}}$

、

右側は直交合計として読むことができます。の役割

${displaystyle h}$

と

${displaystyle k}$

もちろん交換できます。この意味で、ヒルベルトラウムと人間の製品は、テンソル製品の2つの要因の1つの適切な直接的なコピーにすぎません。 ^[3]

定数線形演算子

${displaystyle ain l（h）}$

と

$mmslaves ylexleはhorhでした（u。$

ヒルバーストリームで

${displaystyle h}$

と

${displaystyle k}$

自分自身をテンソル製品にしましょう

${displaystyle aotimes b}$

の上

${displaystyle hotimesk}$

まとめる。より正確な：

代数テンソル製品

${displaystyle aodot b：hodot krightarrow hodot k}$

宣教可能な夢の基準に関して着実にあるため、安定した線形演算子になる可能性があります

${displaystyle aotimes b、in、l（hotimes k）}$

続けられます。以下が適用されます

${displaystyle | aotimes b | = | a | cdot | b |}$

、ここで、左側のオペレーターフォーム

${displaystyle l（hotimes k）}$

スタンド。 ^[4]

これは、ヘルプの夢のためのテンソル製品を導入するための最も重要な動機です。これらの演算子によって

${displaystyle aotimes b}$

Von-Neumann Alleysのテンソル製品を定義できます。

からテンソル製品を検討します

${displaystyle ell ^{2}}$

あなた自身と。すべての要素

${displaystyle textStyle t = sum _ {i = 1}^{n} x_ {i} otimes y_ {i}}$

代数テンソル製品は、最終的に寸法演算子に機会を提供します

${displaystyle textStyle t_ {t} colon ell ^{2} rightArrow ell ^{2} ,, xmapsto sum _ {i = 1} ^{n} langle x、y_ {i} rangle x_ {i}}}$

、つまり、代数的なテンソル製品は自然にあります

${displaysyle l（he ^{2}）}$

含む。説明

${displaystyle otimes _ {varepsilon}}$

と

${displaystyle otimes _ {pi}}$

注射または射影テンソル製品が取得されます。

これは、とりわけ、以下のR. Schattenの教科書で見つけることができます。

1. ↑ R.V. Kadison、J。R。Ringrose： オペレーター代数の理論の基礎 、1983、ISBN 0123933013、例2.6.11
2. ↑ R.V. Kadison、J。R。Ringrose： オペレーター代数の理論の基礎 、1983、ISBN 0123933013、例2.6.10
3. ↑ R.V. Kadison、J。R。Ringrose： オペレーター代数の理論の基礎 、1983、ISBN 0123933013、備考2.6.8
4. ↑ Jacques Dixmier： ノイマン代数によって。 ノースホランド、アムステルダム1981、ISBN 0-444-86308-7、i.2.3