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代数では、数学のサブエリアでは、整合性リングはと呼ばれます 主な理想的なリング また 主な理想的なアレス すべての理想が主なアイデアである場合。主なディスルスリングの最も重要な例は、整数のリングと、1つの体の上の無期限の輪の多項式リングです。主なアイデアの概念により、これら2つの特別なケースに関するステートメントを均一に定式化することができます。一般的な理論におけるアプリケーションの例は、ヨルダンの通常の形態、部分的な破損の崩壊、または最終的に生成されたアベルシュグループの構造理論です。

整合性リング

${displaystyle a}$

（すなわち、ゼロディバイダー – フリーの通勤リング

${displaystyle1neq 0}$

）呼ばれます 主な理想的なリング 、すべての理想の場合

${displaystyle isubseteq a}$

主なアイデアです。 H.があります

${displaystyleをお願いします}$

、 となることによって

${displaystyle i = acdot x = left {acdot xmid ain aright}}}$

。

以下であり

${displaystyle a}$

主な理想的なリングと

${displaystyle k}$

彼の商の体。さらに、be

${displaystyle psubset a}$

すべてのIrreduzibleにとって多くのこと

${displaystyle Pin a}$

ちょうど1つも

${displaystyle p}$

関連する要素が含まれます。その場合

${displaystyle a = mathbb {z}}$

（ポジティブな）素数の量です

${displaystyle p}$

、 その場合

${displaystyle a = k [t]}$

体のために

${displaystyle k}$

鉛係数を伴う灌漑多項式の量1。

次のリングが主なアイデアです。

• 体
• 
  ${displaystyle mathbb {z}}$

  （整数のリング）

• 
  ${displaystyle mathbb {z} [i]}$

  （すべてのガウシェン番号のリング）

• polynomringe
  ${displaystyle k [t]}$

  体の無期限に

  ${displaystyle k}$

  

• 正式なパワーロウリング
  ${displaystyle k [[t]]}$

  体の無期限に

  ${displaystyle k}$

  

• 個別の評価リング
• ユークリッドリング（このクラスには上記のすべての例が含まれていますが、すべての主なアイデアがユークリジーではありません）
• Hauptdealringenのローカリゼーションが再び主要なアイデアです。
• 体の全体的なリング
  ${displaystyle mathbb {q}（{sqrt {-3}}）}$

  、d。 H.鉄の石の数字のリングは、主な理想的なリングです。次の声明も適用されます：正方形の給与体の全体的なリング

  ${displaystyle k = mathbb {q}（{sqrt {d}}）}$

  負の正方形のない

  ${displaystyle din mathbb {z}}$

  ifの場合、まさに主なアイデアです

  ${displaystyle din lbrace -1、-2、-3、-7、-11、-19、-43、-67、-163rbrace}$

  （参照：Heegner番号）。証拠は、理想的なクラスグループの検査に基づいており、数体については、リングが主なアイデアであることから除去される尺度の尺度と見なすことができます。

主なアイデアは、次の一般的なクラスのリングの1つです。

• 要素
  ${displaystyle ain asetminus {0}}$

  それが非lucidであるとき、それはただの素数です。

• 各要素は、の商のゼロです
  ${displaystyle a}$

  明確な方法で形で明確にすることができます

${displaystyle ucdot prod _{pin P}p^{e_{p}}}$

総数があります

${displaystyle e_ {p}}$

そしてユニット

${displaystyle uin a^{times}}$

書く。

• Gaußの補題：各無作法な要素
  ${displaystyle a [x]}$

  のいずれかの要素です

  ${displaystyle a}$

  （一定の多項式として考案）またはin

  ${displaystyle k [x]}$

  係数は部分的に異質である無核となる多項式。 ^[2]

• 主なアイデアは、すべての理想が最終的に（要素の）生成されるため、些細なことです。
• 主なアイデアは常にdedekindリングです（以下も参照）

主なアイデアはありません：

• 要素の最大の一般的な除数（関連することから明確な）最大の共有部門
  ${displaystyle x_ {1}、dots、x_ {m}}$

  （関連する明確さを除く）理想の生産者です

  ${displaystyle（x_ {1}、dots、x_ {m}）}$

  。特に、これは適用されます ベズアウトの補題 ： それが存在します

  ${displaystyle a_ {1}、dots、a_ {m} in}$

  と

${displaystyle operatorname {ggt}（x_ {1}、dots、x_ {m}）= a_ {1} x_ {1} +dots +a_ {m} x_ {m}。}$

特別なケース：

${displaystyle x_ {1}、dots、x_ {k}}$

もしそうなら好意的ではありません

${displaystyle a_ {1}、dots、a_ {m}}$

で与えます

${displaystyle 1 = a_ {1} x_ {1} +dots +a_ {m} x_ {m}。}$

• の最小の一般的な倍数
  ${displaystyle x_ {1}、ldots、x_ {m}}$

  理想のプロデューサーです

  ${displaystyle（x_ {1}）キャップldotsキャップ（x_ {m}）}$

  。

• 中国の残留物：
  ${displaystyle x_ {1}、dots、x_ {m}}$

  スパ – ペアで、それは標準的なリングの同性愛です

${displaystyle a/（x_ {1} cdots x_ {m}）to prod _ {i = 1}^{m} a/（x_ {i}）}$

同型。 ^[3]

• 中国の残留物の引き締めはそれです 近似率 ：与えられます
  ${displaystyle x_ {1}、dots、x_ {m} in k}$

  、ペアが異なります

  ${displaystyle p_ {1}、dots、p_ {m} in p}$

  数字と同様に

  ${displaystyle n_ {1}、dots、n_ {m} in mathbb {n}}}}$

  。次に、1つあります

  ${displaystylexink}$

  、

  ${displaystyle x_ {i}}$

  参照すると

  ${displaystyle p_ {i}}$

  の

  ${displaystyle n_ {i}}$

  -te順序は近似されており、そうでなければ通常、d。 H.

${displaystyle v_ {p_ {i}}（x-x_ {i}）geq n_ {i}}$

ために

${displaystyle i = 1、dots、m}$

と

${displaystyle v_ {p}（x）geq 0}$

ために

${displaystyle pin psetminus {p_ {1}、dots、p_ {m}}}}$

。

説明された

${displaystyle v_ {p}（x）in mathbb {z}}$

の指数

${displaystyle p}$

の主要な要因で

${displaystyle x}$

。 ^[4]

ゼロの理想は主要な理想でもありますが、最大になる場合にのみ

${displaystyle a}$

体です。

もちろん、多くの人は、代数数の理論と代数のジオメトリリングの多くが主要なアイデアではなく、やや一般的なクラスのリングであるDedekind-ringenに属します。それらはメインの理想的なリングのローカライズされたバージョンであり、理想はもはやグローバルではなく、要素によって地元でのみ生産されるだけです。

は

${displaystyle a}$

地元の指輪があるノーテルの完全性エリア

${displaystyle a_ {mathfrak {p}}}$

すべてのプリミティブのために

${displaystyle {mathfrak {p}}}$

メインカウンターです。つまり、意味します

${displaystyle a}$

Dedekind-ring 。 ^[5]

次のプロパティは主なアイデアに適用されますが、より一般的にはDedekindリングにも適用されます。

Dedekindリングが要因または半局所である場合、それが主なアイデアです。 ^[6]

全般的 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

${displaystyle 0to atto kto k/ato 0.}$

最終的に生成されたモジュール：初等部門の交換 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

小学校部門は、無刻なモジュールで最終的に生成されたモジュールの分解の構造について説明しています。 （モジュール

${displaystyle m}$

モジュールがない場合、不正確なことを意味します

${displaystyle m_ {1}、m_ {2} neq 0}$

で与えます

${displaystyle mcong m_ {1} oplus m_ {2}}}$

。）

そうです

${displaystyle p}$

上記の灌漑要素の代表的なシステムのように（関連することを除く）。最終的に作成されたモジュールごとに

${displaystyle m}$

明らかに特定の非陰性数があります

${displaystyle m_ {0}}$

と

${displaystyle m_ {p、i}}$

ために

${displaytle pin、iin mathbb {n} _ {giq 1}}$

ほぼすべてがゼロです

${displaystyle mcong a^{m_ {0}} oplus bigoplus _ {pin p} bigoplus _ {igeq 1}（a/（p^{i}））^{m_ {p、i}}。}}$

支払い

${displaystyle m_ {0}、m_ {p、i}}$

通りです

${displaystyle m}$

明確に定義されており、個々の要因

${displaystyle a}$

また。

${displaystyle a/（p^{k}）}$

遠方です。理想

${displaystyle（p^{i}）}$

、 のために

${displaystyle m_ {p、i} neq 0}$

適用されます 小学生 から

${displaystyle m}$

。 ^[11]

最終的に生成されたモジュール：不変要因 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

最終的に作成されたモジュールごとに

${displaystyle m}$

有限のエピソードがあります

${displaystyle x_ {1}、x_ {2}、dots、x_ {m}}$

の要素から

${displaystyle a}$

必ずしもゼロと違いはない人は

• 
  ${displaystyle x_ {i} mid x_ {i+1}}$

  ために

  ${displaystyle i = 1,2、dots、m-1}$

  

• 
  ${displaystyle mcong bigoplus _ {i = 1}^{m} a/（x_ {i}）。}$

  

理想

${displaystyle（x_ {i}）}$

通りです

${displaystyle m}$

明確に決定され、呼ばれます 不変要因 から

${displaystyle m}$

。要素

${displaystyle x_ {i}}$

したがって、関連することを除いて明確に決定されます。 ^[12番目]

この声明には、modulnに関する2つの競合する視点があります。

逆に、写真は1つです

${displaystyle mtimes n}$

– エントリ付きのマトリックス

${displaystyle a}$

サブモジュール

${displaystyle usubseteq a^{m}}$

、および商モジュール

${displaystyle m = a^{m}/u}$

（スルーのコーカー

${displaystyle x}$

同性愛が与えられた

${displaystyle a^{n}からa^{m}}へ$

）最終的に生産されます

${displaystyle a}$

– モジュール。

submodulnフリーモジュールの場合、ステートメントは次のとおりです。

• は
  ${displaystyle f}$

  無料のもの

  ${displaystyle a}$

  – モジュールと

  ${displaystyleu}$

  （また無料）サブモジュール

  ${displaystyle f}$

  ヴォムが鳴った

  ${displaystyle r}$

  だからあります

  ${displaystyle n}$

  要素

  ${displaystyle e_ {1}、dots、e_ {r} in f}$

  のベースの一部

  ${displaystyle f}$

  要素と同様に

  ${displaystyle x_ {1}、dots、x_ {r} in}$

  と

  ${displaystyle x_ {1} mid x_ {2}ミッドドットx_ {r}}$

  、 となることによって

  ${displaystyle x_ {1} e_ {1}、dots、x_ {r} e_ {r}}$

  の基礎

  ${displaystyleu}$

  は。からのもの

  ${displaystyle e_ {k}}$

  緊張した部分

  ${displaystyle f’subseteq f}$

  ねじれサブモジュールの原型として不変である可能性があります

  ${displaystyle f/u}$

  説明。理想

  ${displaystyle（x_ {k}）}$

  モジュールの不変性（上記のように）ですか

  ${displaystyle f ‘/u}$

  、おそらく追加されています

  ${displaystyle x_ {k+1} = dots = x_ {m} = 0}$

  。 ^[13]

マトリックスの場合（スミスノーマルフォーム）：

${displaystyle {begin {pmatrix} x_ {1}＆0＆0＆0＆0＆0＆0＆0 \ 0＆x_ {2}＆ddots＆vdots＆vdots && vdots \ vdots＆ddots＆ddots＆ddots＆0＆vdots && vdots \ 0＆0＆0＆0＆0＆x_ \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0＆0＆0＆0 \ vdots && vdots＆vdots && vdots \ 0＆cdots＆cdots＆0＆0＆0＆0end＆0end {pmatrix}}}}$

ある

${displaystyle x_ {1} mid x_ {2}ミッドドットx_ {r}}$

繰り返しますが、上記のように不変です。 ^[14]

ねじりモジュール [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

そうです

${displaystyle m}$

A（必ずしも最終的に生成されたわけではありません）ねじれモジュールオーバー

${displaystyle a}$

、d。 H.それぞれのため

${displaystyle min m}$

存在します

${displaystyle ain asetminus {0}}$

と

${displaystyle am = 0}$

。もう一度

${displaystyle psubset a}$

灌漑要素の代表システム。次に、次のことが適用されます。 ^[15]

${displaystyle m}$

の直接的な合計です

${displaystyle p}$

– プリマリーアンダーモドゥルン

${displaystyle m _ {（p）}}$

、d。 h。

${displaystyle m = bigoplus _ {pin p} m _ {（p）}}$

と

${displaystyle m _ {（p）} = left {minmid p^{i} m = 0 {text {for a}} iin mathbb {n} right}。}}$

結果として、それはそれに続きます

${displaystyle m}$

まさにその後、最初の半分です

${displaystyle pcdot m _ {（p）} = 0}$

すべてのために

${DisplayStyle Pin P}$

。 ^[16]

アプリケーションの例：

• は
  ${displaystyle a = mathbb {z}}$

  と

  ${displaystyle m = k /a = mathbb {q} /mathbb {z}}$

  、これは声明です：すべての合理的な数字には明確なプレゼンテーションがあります

${displaystyle a+sum _ {p {text {prim}}} sum _ {i = 1}^{o_ {p}} d_ {p、i} p^{ – i}}}$

と

${displaystyle ain mathbb {z}}$

、

$MMS Slevetleまたはst_phy gey 0洗練$

（そしてほとんどすべて

${displaystyle o_ {p} = 0}$

） としても

${displaystyle d_ {p、i} in {0,1、dots、p-1}}$

と

$mはemle the wlell the pembook、oloyo emal 1000万$

。 ^[17]

${displaystyle a+sum _ {p} sum _ {i = 1}^{o_ {p}} d_ {p、i} p^{-i}。}}$

走ります

${displaystyle p}$

刺激された多色症は標準化されています

${displaystyle k [t]}$

、他のコンポーネントは通常の割合です

${displaystyle ain k [t]}$

注文

$MMSスリーペンまたはstevery_pappe 0洗練$

（みんなを修正しました

${displaystyle o_ {p} = 0}$

）および適切なポリノーム

${displaystyle d_ {p、i}}$

ために

${displaystyle i = 1,2、dots、o_ {p}}$

と

${displaystyle deg（d_ {p、i}）$

。特にです

${displaystyle p}$

線形、それが彼らの方法です

${displaystyle d_ {p、i}}$

絶え間ない。 ^[18]

定義は、非配信リングに一般化できます。右翼代表

${displaystyle i}$

正しいです –

${displaystylega}$

単一の要素の

${displaystylegin a}$

;

${displaystyle ag}$

左翼のキャプテンです。通勤の場合のように

${displaystyle {0} = 0a = a0}$

と

${displaystyle a = 1a = a1}$

些細な（そして2面）主なアイデア。

Hurwitz Quaternionsは、非コミュニケーションリングの例であり、この標準が誠実な基準として、左と右翼の両方のClidであり、したがって右側と左側の両方にあります。

• すべての理想が最終的に作成されたことだけに挑戦されている場合、あなたはノーテルの概念に到達します。
• 逆に、最終的に作成されたすべての理想的な主要なアイデアがある整合性領域の状態を配置できます。これらはいわゆるベズアウトリングです。主なアイデアは、まさにノエターシュ・ベズトリンゲです。
• 「メインディスルスリング」という用語の定義では、ゼロディバイダー – フリーリングが許可されていない場合があるため、各理想が主なアイデアであり、
  ${displaystyle1neq 0}$

  。 ^[20] 英語では、これは言語的に 主要な理想リング と 主要な理想ドメイン （ ドメイン =整合性エリア）。主なアイデアという用語間の対応する区別 指輪 と主なアイデア エリア ドイツ語では珍しいです。 ^[21]

• セルジュ・ラング： 代数。 改訂された第3版。スプリンガー、ベルリンu。 a。 2002、ISBN 0-387-95385-X（ 数学の大学院テキスト 211）。
• ニコラス・ブルバキ： 代数II。第4章から第7章。 スプリンガー、ベルリンu。 a。 1990、ISBN 3-540-19375-8（ 数学の要素 ）。
• ニコラス・ブルバキ： 数学の要素。通勤代数。 バンド10： 第10章。 1998年版の復刻版。スプリンガー、ベルリンU.に。 2007、ISBN 978-3-540-34394-3。
• ニコラス・ブルバキ： 通勤代数。 1〜7章。 2回目の印刷。スプリンガー、ベルリンu。 a。 1989、ISBN 3-540-19371-5（ 数学の要素 ）。
• StefanMüller-Stach、Jens Piontkowski： 初等および代数の数字理論。古典的なトピックへの最新のアクセス。 Vieweg、Wiesbaden 2006、ISBN 3-8348-0211-5（ 勉強 ）。

1. ↑ ラング、定理II.5.2、S。112
2. ↑ ラング、定理IV.2.3、S。182
3. ↑ ラング、結果II.2.2、S。95
4. ↑ Bourbaki、Commutative Algebra、Ch。 VII、§2.4、命題2
5. ↑ Bourbaki、Commutative Algebra、Ch。 VII、§2
6. ↑ StefanMüller-Stach、Jens Piontkowski： 初等および代数の数字理論 。 Vieweg-Verlag、2006、p。188。（文18.16）
7. ↑ ブルバキ、代数、ch。 VII、§3、結果2;ラング、定理III.7.1
8. ↑ Bourbaki、代数、Ch。VII、§4、No。 4、結果1および2;ラング、定理III.7.3
9. ↑ ブルバキ、代数、ch。 VII、§3、結果3
10. ↑ Bourbaki、Algebra、Ch。X、§1、no。7、colollary 2
11. ↑ ブルバキ、代数、ch。 VII、§4、No。 8、提案9;ラング、定理III。
12. ↑ ブルバキ、代数、ch。 7、§4、いいえ。 4、定理2;ラング、定理III.7.7
13. ↑ ブルバキ、代数、ch。 7、§4、いいえ。 3、定理1;ラング、定理III.7.8
14. ↑ ブルバキ、代数、ch。 vii、§4、No。6、冠1;ラング、定理III.7.9
15. ↑ ブルバキ、代数、ch。 VII、§2、No。2、定理1
16. ↑ ブルバキ、代数、ch。 vii、§2、No。2、冠4
17. ↑ ブルバキ、代数、ch。 VII、§2、No。3、i
18. ↑ ブルバキ、代数、ch。 VII、§2、No。3、ii
19. ↑ ブルバキ、代数、ch。 VII、§5、No。8、命題14
20. ↑ のみ、II、§1、S。86
21. ↑ レイナーシュルゼピロット： 代数と数の理論の紹介。 Springs-Pilly、2014、ISBN 978-3-642-5521116-8、S。 限られたプレビュー Google Book検索で）。