Borsuk-Vermutun – ウィキペディア

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Borsukの推定 ジオメトリの分野からの数学的推定です。それは、各部品が非常に小さい直径を持つように、特定の量の限られた直径を分解しなければならない部分の数の問題についてです。 1933年にKarol Borsukが提供し、後に提供した質問は、

n {displaystyle n}
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常に寸法

n + 初め {displaystyle n+1}

シェア、60年後に否定的に答えられました。

N次元空間で

Rn{displaystyle mathbb {r} ^{n}}

直径を使用して、多くのユークリジカル標準を使用できます

と ⊂ Rn{displaystyle esubset mathbb {r} ^{n}}

いつ

すする { ‖ バツ – と ‖ ; バツ 、 と ∈ と } {displaystyle sup {| x-y |;、x、yin e}}}

（数量の2つのポイント間の最大距離）定義できます。

これで量を試すことができます

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と {displaystyle e}

したがって、サブ量で

と = と 1∪ … ∪ と k{displaystyle e = e_ {1} cup ldots cup e_ {k}}

それぞれの部分を分解します

と i{displaystyle e_ {i}}

より小さな直径

と {displaystyle e}

もっている。問題は、サブ量の数の数が生じます

と i{displaystyle e_ {i}}

必要です。

通常のN次元シンプレックスが示すように、少なくとも少なくとも

n + 初め {displaystyle n+1}

のために必要な数量

n + 初め {displaystyle n+1}

コーナーはすべて、直径に等しい同じ距離を持っています。したがって、非常に小さい直径のサブセットには最大1つのコーナーを含めることができます。つまり、角があるのと同じくらい少なくとも多くのサブセットが必要であり、持っています。

n + 初め {displaystyle n+1}

。寸法1.2と3については明らかなように、あなたは実際にシンプレックスを備えています

n + 初め {displaystyle n+1}

科目。 Karol Borsukは、次のように、彼が弾丸の分解を扱った「N次元圏に関する3つの文章」を閉めました。 [初め] ：

次の質問は開いたままです。 部屋の限られたサブセットはすべて存在する可能性があります

（n+1）の量の分解量は、それぞれがEよりも直径が小さいですか？

この質問を断言すべきであるという仮定は、ボルスクの推定として知られ、60年間開かれたままになりました。

部屋で

R3{displaystyle mathbb {r} ^{3}}

この仮定は1955年に確認されました。 [2] したがって、高次元でのボルスクの外観が正しくないことが判明するのは驚くべきことかもしれません。 1993年、ジェフ・カーンとG.カライが示しました [3] それは十分な大きな寸法のためです

n {displaystyle n}

少なくとも

（ 初め 、 2 ）） n{displaystyle（1,2）^{sqrt {n}}}

ボルスクの外観が反論されたサブセットが必要でした。

（ 初め 、 2 ）） n{displaystyle（1,2）^{sqrt {n}}}

より速く成長します

n + 初め {displaystyle n+1}

。 964次元空間でA. nilliによって具体的な反例が発見されました [4] 、その後、298次元空間におけるA.ヒンリッヒスとC.リヒターによる別の別のもの。 [5] 今日、64の寸法のボルスクの推定が間違っていることが知られています。 [6] [7] Borsukの推定がもはやオープンではない最小の次元の問題。

  1. ↑ K. BORSUK： N次元球に関する3つの文 （PDF; 1.1 MB） 、基本的なMathematica（1933）、第20巻、177〜190ページ
  2. ↑ H. G.エグルストン： 直径が小さいセットで3次元セットをカバーします 、J。ロンドン数学協会（1955）、第30巻、11〜24ページ
  3. ↑ カーン、副 ボルサクの推測への反例 、Bulletin American Mathematical Society、bd。 29、1993、S。60–62
  4. ↑ A.ニリ： Borsukの問題について 、エルサレムコンビナトリクス’93、Contemporary Mathematics 178、AMS 1994、Seiten 209–210
  5. ↑ A.ヒンリッヒとC.リヒター： ボルク数が多い新しいセット 、ディスクリート数学（2003）、第270巻、137〜147ページ
  6. ↑ Andriy V. Bondarenko： Borsukの2距離セットの推測について
  7. ↑ トーマス・ジェンリッチ： Borsukの推測に対する64次元の2次元の反例

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