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ラグランジュ密度

（数学者のジョセフ・ルイ・ラグランジュによると、理論物理学は、分野を見るのに役割を果たしています。ラグランジュ関数の密度を説明します

ボリューム要素。したがって、ラグランジュ関数は、検討中のボリューム上のラグランジュ密度の積分として定義されます。

${displaystyle l = int mathrm {d} ^{3} r {mathcal {l}} = iiint mathrm {d} x、mathrm {d} y、mathrm {d} z、{mathcal {l}}左左（phi、{partial phi {partial phi {{partial phi} {partial phi} {partial phi {{partial phi} {partial phi} ial x}}、{frac {partial phi} {partial y}}、{frac {partial phi} {partial z}}、tright）}$

フィールドを検討しています

。

ラグランジュ密度の実際の目的は、移動方程式によるフィールドの説明です。ハミルトン原理から第2種のラグランジュ方程式を取得するのと同じように、フィールドのハミルトン原理からフィールドのラグランジュ方程式を取得できます（派生）。したがって、移動方程式は次のとおりです。

after-content-x4

${displaystyle {frac {partial {mathcal {l}}} {partial phi _ {i}}} – {frac {partial} {partial t}} {frac {partial {mathcal {l}}}} {partial {i {i {i {i {i {i {i {i {i} {i {i {} {i {i} {i {i} {i} -sum _ {j = 1}^{3} {frac {partial} {partial x_ {j}}} {frac {partial {mathcal {l}}}} {frac {partial phi _ {i}}} {partial x_ {j} {j} {partial }}} {partial phi _ {i}}} – partial _ {mu} {frac {partial {mathcal {l}}}}} {partial（partial _ {mu} phi _ {i}）}} = 0}}$

。

3次元のスイングストリング（文字列）の動き方程式に対する例示的解決策。パラメーター：

${displaystyle e = mu = 1}$

、アニメーションは実際の速度の10％で実行されます。

次元の文字列の場合、結果は ラグランジュ密度

${displaystyle {mathcal {l}} = {frac {1} {2} {2}}左[mu左（{frac {partial phi} {partial t}}右）^{2} -eleft（{frac {partial phi} {partial x} {right）^{2）$

この例では、平均：

${displaystyle non- =（x、t）}$

静止位置からの文字列の場所のたわみ（フィールド変数）

${displaystyle mu}$

線形質量密度

${displaystyle e}$

弾性モジュール

これとともに ラグランジュ密度 降伏した

${displaystyle {frac {partial {mathcal {l}}} {partial phi}} = 0}$

${displaystyle {frac {partial {mathcal {l}}} {partial {frac {partial phi} {partial t}}}} = mu {frac {partial phi} {partial t}}}}}$

${displaystyle {frac {partial {mathcal {l}}} {partial {frac {partial phi} {partial x}}}} = -e {frac {partial x}}}}}}$

これは次のようになります 動きの方程式 振動する文字列

${displaystyle e {frac {partial ^{2} phi} {partial x ^{2}}} – mu {frac {partial ^{2} phi} {partial t ^{2}}}} = 0}}$

物理プロセスの説明は、特に相対論的プロセスでは、ラグランジュ関数の代わりにラグランジュ密度を介して使用されます。ここでは、ラグランジュ関数の共変量表現が望まれ、その効果は終わりました

${displaystyle s = int mathrm {d} ^{4} x、{sqrt {-g}}、{mathcal {l}}}$

定義されています

メートルテンソルの決定要因はです。 ^[初め] これにより、ラグランジュ関数はローレンツpseudoskalar、つまりローレンツ変換の下で不変になります。

${displaystyle {mathcal {l}} ‘（x_ {mu}）= {mathcal {l}}（x’ _ {mu}）= {mathcal {l}}（x_ {mu}）}$

と

${displaystyle x ‘_ {mu} = lambda _ {mu nu} x^{nu}}$

、それによって

${displaystyle lambda _ {mu nu}}$

ローレンツ変換はです。

1. ↑ クリントンL.ルイス： 明示的なゲージコバリエントオイラー – ラグランジュ方程式 。の： アメリカの物理学ジャーナル 。 バンド 77 、2009年、 S. 839 、doi： 10.1119/1,3153503 。