Shannon-Hartley-Gesetz-Wikipedia

Posted on March 3, 2022 by lordneo

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シャノン・ハートリー・ロー ニューステクノロジーの帯域幅と信号対ラッシュ比に応じて、伝送チャネルのビットレートの理論上の上限について説明します。クロード・エルウッド・シャノンとラルフ・ハートリーにちなんで名付けられました。 ^[初め]^[2]

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実際には、チャネル容量などのプロパティの達成可能なビットレートや下水道コーディングなどの手順に影響があります。 シャノン・ハートリー・ロー 理論的な最大値を提供します。これは、この最適な手順に関する情報を提供せずに、仮想的な最適な下水道コーディングで到達できます。

理論的には、データは、完全な（つまり、トラブルのない）伝送チャネルを介して、理論的には無制限の数量で送信できます。ただし、実際の既存のチャネルは帯域幅の両方で制限されており、障害、熱ノイズ、最終的にはしごからの抵抗などの影響を受けるため、可能な最大透過率は限られています。伝送速度は、次の2つの要因によって制限されます。

送信パスの範囲は、可能な最大シンボルレート、つまり、特定の期間に安全に送信できる個々の記号の数を決定します。
信号ラッシュ比で記述された伝送経路で発生またはキャプチャされた障害の強度は、シンボルの最大情報コンテンツを制限します。これは、受信者の異なるシンボルがまだ区別できることです。

単純化するために、帯域幅は、ケーブルによる透過時に特定の時間で電圧を変更できる頻度を決定し、信号ラッシュ比はレシピエントとまだ区別できる異なる電圧レベルの数の信号ラッシュ比を決定します。

Shannon-Hartley Actは、ノイズなどの障害によって妨げられる伝送チャネルの場合、達成する可能性のあるエラーのないデータ伝送を、Bietrateが実現した場合、Δ> 0の確率で達成できるという事実を表しています。 c _rシャノンハートリー法によって形成された国境よりも小さい c _sは。 1つの機能は、特定の下水道コーディングまたはどの技術プロセスを達成できるかについての声明が作成されないことです。実現したビットレートがあります c _rの境界の上 c _sエラー-freeΔ= 0の可能性はあります。つまり、使用される方法に関係なく、エラーを含まないデータ送信は不可能です。

Table of Contents

ノイズ – フリートランスミッションチャネル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

最大データ転送速度 c _n帯域幅を備えたトラブルのない伝送チャネル b によって与えられます：

{displaystyle c_ {n} = 2cdot b}

帯域幅 b Hertzで示されており、データ転送速度はシンボルあたりのシンボル（ボー）です。

2つの文字のみのバイナリ記号アルファベットの場合、ビットレート（BPS）で測定されたビットレートは、ボーで測定されたシンボルレートに等しくなります。台 l 利用可能なシンボル、ld（ l ）記号あたりのビットを表します：

{displaystyle c_ {n} = 2cdot bcdot mathrm {ld}（l）、}

式Ld（・）は、ベース2への対数を示します。

例：最大2000のボーを1000 Hzの範囲で送信できます。シンボルが少しで構成されている場合、例えばB.「0」または「1」、2000ビット/sのデータレートに到達します。ドイツのアルファベットの26文字（特殊文字なし）の場合、9400ビット/sのデータレートがLD（26）因子です。十分に多くの異なるシンボルを選択することにより、ノイズのないバンド制限トランスミッションチャネルで任意に高いビットレートを達成できます。

騒音で運河を転送します [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

クロード・シャノンはこの定理を一般化しました。加法の白いガウスと略されたチャネルの場合、棄権した awgn-kanal 、それを取ります シャノン・ハートリー・ロー 次のフォーム：

{displaystyle c_ {s} = bcdot mathrm {ld} left（1+ {frac {s} {n}}右）= bcdot mathrm {ld} left（1+ {frac {s} {n_ {0} cdot B}}}}

c _s可能な最大ビットレート（1秒あたりのビット）は（このチャネルモデルを使用）、 s 信号パフォーマンス。パラメーター n スペクトル定数ノイズを表し、S/Nの比は信号ラッシュ比（SNR）とも呼ばれます。雑音 n 中毒密度のエネルギーが原因である可能性もあります n ₀帯域幅について b 表現される。

可能な最大ビットレートは、ホワイトノイズの前提条件の上限を表します。AWGNチャネルに対応しないチャネルモデルや、異なるスペクトルノイズパワー密度では、他の関係があります。

例：最大6.7 kbit/sは、1000 Hzの帯域幅を持つ20 dBのSNRとの線を介して送信できます。

請求書：

SNRのS/Nへの変換：SNR = 10・ログ _十（S/N）→20 dB = 10・ログ _十（x）↔2 dB = log _十（x）↔10²= x x x = 100→s/n = 100
伝送容量の計算：c _s= f _マックス・ログ ₂（1+s/n）= 1000 Hz・ln（1+100）÷ln（2）ビット= 1000・ln（101）÷ln（2）ビット/s≈6658ビット/s≈6,7kbit/s

このビットレートは、たとえば、ターボコードなどの適切な下水道コーディングにより、実際には到達できます。

B = 1 Hz（丸みを帯びた値）の帯域幅による評価のさらなる値：

SNR	c _s	SNR	c _s	SNR	c _s
–30 dB	0,001442ビット/s	0 dB	1,000ビット/s	+20 dB	0 6,658ビット/s
–20 dB	0,014355ビット/s	+3 dB	1,582ビット/s	+40 dB	13,288ビット/s
–10 dB	0,137503ビット/s	+6 dB	2,316ビット/s	+60 dB	19,932ビット/s
–6 dB	0,323299ビット/s	+10 dB	3,459ビット/s	+80 dB	26,575ビット/s
–3 dB	0,586104ビット/s	+15 dB	5,028ビット/s	+100 dB	33,219ビット/s

境界 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

関数としてのビットエラー周波数と _b/ n ₀

一定の信号性能になります s および一定のスペクトルノイズパワー密度 n ₀帯域幅のみ b 増加すると、可能な限り最大ビットレートが可能です c _sそれまで

{displaystyle lim _ {bto infty} c_ {s} = {frac {s} {n_ {0}}} mathrm {ld}（e）約1 {、} 442dots {frac {s} {n_ {0}}}}}}}}}}}

増加。これは、無限に広範囲に及ぶ帯域幅によってもそれを意味します b トランスミッションチャネルの最大ビットレートのみが増加します。

実際の伝送システムでは、エネルギーもと _bそれは少しの転送によって異なります。送信には、信号性能が必要です s 期間 t 。実際のビットレート c _r常に最大ビットレートを下回っています c _s：

{displaystyle {frac {c_ {r}} {b}} = x <{frac {c_ {s}} {b}} = mathrm {ld} left（1+ {frac {s} {n_ {0} cdot b}} {ld} {ld} {ld}} {ld}} {ld} {b}} cdot {frac {e_ {b}} {n_ {0}}}右）}

この方程式はを説明します シャノン国境 （Engl。 シャノン制限 ）の関数としてと _b/ n ₀：バツ（と _b/ n ₀）。ダイ関係 c _r/ b = Xは、SNRに応じて特定の伝送技術で送信できるHertz帯域幅ごとにいくつのビット/sを記述し、スペクトル効率と呼ばれます。適切なプレゼンテーションでは、青、赤、緑色の色を備えたさまざまな伝送方法のプロセスが表示されます。

同じ不平等の境界ケースとして、およびスペクトル効率がHz帯域幅あたり0ビット/sに反する場合、SNRの下限は変換後の結果になります。

{displaystyle {frac {e_ {b}} {n_ {0}}} = lim _ {xto 0} {frac {2^{x} -1}} = ln（2）約0 {、} 693APPROX -1 {

これは、の比率の下での事実を表していますと _b/ n ₀= −1.6 dB AWGNチャネルでは、エラーのないデータ送信は不可能です。この比率はS/Nではなく、エネルギーと _bスペクトル中毒密度で少しの情報を少し転送する n ₀最小限に費やす必要があります。の状況のために右側の図の中にありますと _b/ n ₀さまざまな下水道コーディングのための垂直の黒い境界線として描かれています。 ^[3]

その制限は、小さなスペクトル効率に適用されますバツ ≪1。そのような信号もそうです パフォーマンス – 制限 帯域幅が大きいが、利用可能なサービスは限られていることを参照する信号。たとえば、部屋プローブへの通信は限られていますが、放射線は大きな周波数帯域で行われます。シャノン境界のこのセクションは、黒の正しい図に示されています。

スペクトル効率バツ一方、≫1は帯域幅です b 制限要因、これらの信号はそうです バンド – 制限 記述された信号。たとえば、1024-QAMなどのスペクトル効率的な変調法を備えた地上デジタル無線接続は、典型的な帯域幅全体の信号です。

職場で 「ノイズの存在下でのコミュニケーション」 モデル化されたクロード・エルウッド・シャノンは、実際のベクトルルームとしてトランスミッションチャネルを導入しました。各転送可能なシンボルは、このベクトルルームの座標です。任意の数のシンボルを時間内に送信できるため、ベクトルルームは無限に寸法です。各座標は、基本信号、つまりH.実際の依存関数。モデルを簡単にするために、基本的な信号は定期的に繰り返される必要があります。これにより、コピーは時間シフトによってのみ区別されます。たとえば、それは可能です （K +） -teと同一の基本信号 k – 時間差までのベース信号 nt 。ある d 「初等」の基本信号の数、そのシーケンスは期間のある t 繰り返し。その後、期間中に nt たくさん nd シンボルを送信できます。

座標に割り当てられた基本的な信号は直交し、全体的に信号ベクターの直交ベースであると想定されています。任意の信号は、これらの基本信号の（無限の）線形結合です。送信されたシンボルに対応するこの線形結合の係数は、基本信号を使用して信号のスカラー積を形成することで回復できるようになりました。

バンドに制限された伝送チャネルの重要な理論的例では、シンボルレートは最大周波数によるものですのの上 2インチ 限定。有限長の時間間隔 t したがって、有限数しかできません d シンボルによって送信されます。これらは、次元のサブベクトルルームに及びます d 信号ベクトル内。散乱定理の後の最大寸法です d = 2wt 想定。

基本信号の例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

以下では、いくつかの数学、すなわちH.基本的な機能のシステムを備えた理想的な伝送チャネルがリストされており、信号ベクトルの上記の仮定を満たしています。これらはすべてバンド制限であり、「小学校」ベースバンドチャネルに加えて、チャネルの基本信号のシステムをゼロの異なる最小周波数で指定することもできます。

枢機シリーズ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

シャノンは、最も単純な信号モデルとして最も高い周波数の基本バンド信号を使用しましたの。
wksの定理を破棄した後（Whittaker-Kotelnikow-shannonの場合は、Nyquist-Shannon-Abbestheoremを参照してください） 2wt 期間のシンボル t 転送するには、基本的な信号はsinc関数です

{displaystyle g_ {n}（t）= operatualname {sinc}（2wt-n）= {frac {sin pi（2wt-n）} {pi（2wt-n）}}}}}}}

n =…、-1、0、1、…これらは中心または最大値を持っています

{displaystyle t_ {n} = {frac {n} {2w}}}

${displaystyle t_{n}={frac {n}{2W}}}$ 、d。 H.シンボルレートはです 2インチ 。このオルソーマルシステムは、周波数制限PCMプロセス（パルスコード変調）の理想的な理論モデリングです。

QAM [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

理想的なQAMシステム（直交振幅変調）はシンボルレートで送信されますの周波数帯域のデータ [f-w/2、f+w/2] 。中央のキャリア周波数は必要です f 帯域幅の完全な数のなれ。
ここでは、シンボルは複雑な数字です

{displaystyle a_ {n}+ib_ {n}}

${displaystyle A_{n}+iB_{n}}$ 、d。 H.ガウス数レベルのポイント。だから再びあります 2wt 期間の実数 t 移行。複雑なシンボルごとに2つの基本的な関数もある必要があります。これらは、複雑な品質関数に結合することができます。

M Tume Fele States — Happe）Hyookook、MalubépMötoe）Mépate22-2）Mmem 22-2

n =…、-1、0、1、…各信号は合計として生じます

{displaystyle a_ {n} g_ {q、n}（t）+b_ {n} g_ {i、n}（t）}

${displaystyle A_{n}g_{Q,n}(t)+B_{n}g_{I,n}(t)}$ 。

OFDM [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

理想的なOFDMシステム（直交周波数分割多重化）は、シンボルレートで送信されます w/m 次元の複雑なベクトル m 周波数帯域 [f-w/（2m）、f+w+w/（2m）]]] 。 f データレートの何倍も整数が必要です w/m なれ。だからそれはそうしなければなりません 2m ベクトルごとの本物の基本信号を追加します m 複雑な関数を要約できます

{displaystyle g_ {j、n}（t）+ig_ {m+j、n}（t）= operatorname {sinc}（wt/m-n）cdot e^{-i2pi、（f+jw/m）t}}}

{displaystyle ={frac {sin pi (Wt/M-n)}{pi (Wt/M-n)}}(cos(2pi ,(F+jW/M)t)-isin(2pi ,(F+jW/M)t))}

j = 0、…、 m -初め、 n = …、-1、0、1、…

SINC機能は技術的に実現できないため、他の解決策を見つける必要があります。周波数フィルターは、基本信号の直交性を破壊し、シンボル（ICI）とシンボル（ISI）の間に相互障害があります。データレートを上げることなく信号生産のクロックレートを上げると、取得された自由度を使用して、フィルタリングなしで既に周波数制限されている信号を形作ることができます。そのバリアントは、ウェーブレットパッケージツリーを使用します。

ラッシングチャネルで転送します [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

実際の基本信号には、単一のインデックスと期間で番号が付けられています t そのため、この期間内に修正されました d = 2wt 基本信号はあります。伝送チャネルに限定された均一で限られたノイズは、線形の組み合わせによって実行できます

{displaystyle sum _ {n} varepsilon _ {n} g_ {n}（t）}

${displaystyle sum _{n}varepsilon _{n}g_{n}(t)}$ 通常の分散型の独立したランダム係数を備えたこれらの基本ベース信号

{displaystyle varepsilon _ {n}}

$varepsilon _{n}$ 分散

{displaystyle sigma ^{2} = n}

${displaystyle sigma ^{2}=N}$ シミュレートされます。

長さのコード d 、d。 H.ツーペル

{displaystyle x_ {1}、dots、x_ {d}}

${displaystyle x_{1},dots ,x_{D}}$ 実数は連続信号です

{displaystyle f（t）= x_ {1} g_ {1}（t） +dots +x_ {d} g_ {d}（t）}

${displaystyle f(t)=x_{1}g_{1}(t)+dots +x_{D}g_{D}(t)}$ 投稿されました。トランスミッション中に、受信される障害が直線的にオーバーレイされ、乱れた信号は

{displaystyle {tilde {f}}（t）=（x_ {1}+varepsilon _ {1}）g_ {1}（t）+dots+（x_ {d}+varepsilon _ {d}）g_ {d}（t）}（t）}

信号ポイントのジオメトリ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

平均的なパフォーマンスの信号になります

{displaystyle p}

$P$ 制限されているため、パフォーマンスは振幅四角に直接対応します。最終的には異なるサービスの条件のみが比較されるため、これは許容されます。したがって、さらに一定の因子が短縮されます。基本的な信号は正反対であるため、連続信号にはパフォーマンスとしてその係数の正方形があります。 H.

{displaystyle | f | _ {2}^{2} = | x_ {1} |^{2} +dots +| x_ {d} |^{2} = dp}

${displaystyle |f|_{2}^{2}=|x_{1}|^{2}+dots +|x_{D}|^{2}=DP}$ 。

言い換えれば、コード

{displaystyle（x_ {1}、dots、x_ {d}）}

${displaystyle (x_{1},dots ,x_{D})}$ 1つのポイントです d – 半径の次元球

{displaystyle r_ {0}：= {sqrt {dp}}}

${displaystyle R_{0}:={sqrt {DP}}}$ 。

の正方形 d 独立したエラー

{displaystyle（varepsilon _ {1}）^{2} +dots +（varepsilon _ {d}）^{2}}

${displaystyle (varepsilon _{1})^{2}+dots +(varepsilon _{D})^{2}}$ 多数の法則によると、あなたの期待値に近い企業。受け取ったコードは、球体内の球体内の半径にある可能性が非常に高い

{displaystyle r：= {sqrt {dn}}}

${displaystyle r:={sqrt {DN}}}$ センターとしてコードが送信されます。障害は信号に依存しないために必要であるため、受信コードの正方形は期待値に近い可能性が非常に高いです

{displaystyle r_ {1}^{2}：= dp+dn}

${displaystyle R_{1}^{2}:=DP+DN}$ 、d。 H.半径のある球の近く

{displaystyle r_ {1}}

$R_{1}$ ゼロポイントの周り。

ランダム構成 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

それは1つです構成から m = 2 ^DBランダムに選択されたコードが中程度のパフォーマンスを備えています p どちらを修正しました m さまざまなデジタルメッセージに対応する必要があります。 H.そうなる

{displaystyledb}

$DB$ のビット d 基底信号または b ビットプロの基本信号。

半径の小さなボールから

{displaystyle r = {sqrt {dn}}}

${displaystyle r={sqrt {DN}}}$ 最大は、構成のコードに適合します

{displaystyle M = {frac {r_ {1}^{d} operatorname {vol}（k_ {d}）} {r^{d} operatorname {vol}（k_ {d}）}}} =左（{frac {p+n} {n} {d} {d} {d} {d}

受信信号の大きなボールのピース、つまりH.最大ビットレートが適用されます（で d/2 = wt ））

{displaystyle 2wb = {frac {log _ {2}（m）} {t}} leq wlog _ {2}左（1+ {frac {p} {n}}右）}

伝送エラーの推定 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

非常に大きい d 送信コードは、半径のあるボール上にあります

{displaystyle r_ {0} = {sqrt {dp}}}

${displaystyle R_{0}={sqrt {DP}}}$ そして、受け取ったコードは、半径のあるボールにある可能性が最も高い

{displaystyle r = {sqrt {dn}}}

${displaystyle r={sqrt {DN}}}$ これに、そして半径でボールに

{displaystyle r_ {0} = {sqrt {d（p+n）}}}}

${displaystyle R_{0}={sqrt {D(P+N)}}}$ 。そのため、受信したコードを構成のすべてのコードと比較して、距離が小さいものを決定できます。 r もっている。

半径の断層のボール r 受信したコードの領域の中心で、1つを覆します エリア 送信コードの領域では、半径のある球体内で順番に

{displaystyle h = {sqrt {frac {dnp} {n+p}}}}}}

${displaystyle h={sqrt {frac {DNP}{N+P}}}}$ 嘘。ランダムコードがこの領域の外側にある確率はより大きい

{displaystyle 1-{frac {h^{D}operatorname {vol} (K_{D})}{R_{0}^{D}operatorname {vol} (K_{D})}}=1-left({frac {N}{P+N}}right)^{frac {D}{2}}}

それすべて M-1 送信されたコードの送信コードの構成の構成は、この領域の外側にあるため、より大きい確率があります

{displaystyle左（1-left（{frac {n} {p+n}}右）^{frac {d} {2}}右）^{m-1} geq 1-left（{frac {n} {p+n}}右）^{frac {d} {2}}}}

エラーの可能性が必要です そうです 下に落ちる、つまりH.上記の表現よりも大きい 1 -e したがって、ビットレートを変更した後に取得します

{displaystyle {frac {log _ {2}（m）} {t} {t}} leq wlog _ {2}左（1+ {frac {p} {n}}右）+{frac {log _ {2}（e）} {t}}}}}}

{displaystyle log _ {2}（e）}

${displaystyle log _{2}(e)}$ 2番目のsummandでは負で非常に大きいですが、2番目のsummandの寄与は、期間がある場合は望ましいとおりに設計できます。 t そしてそれで厚さ m 構成は十分に大きいです。

構成内の信号の長さが増えているため、必要に応じて理想的なビットレートを導入できます。ただし、構成の管理と直接的な実用的なアプリケーションへの最良の類似の信号を検索すると、急速に増加する要件が対照的です。

ジョン・G・プロアキス、マソウド・サレヒ：通信システムエンジニアリング。第2版。 Prentice Hall、Saddle River NJ 2002、ISBN 0-13-095007-6。

↑ ラルフV. L.ハートリー：情報の送信。 Bell System Technical Journal、1928（ dotrose.com [PDF]）。
↑ クロードE.シャノン：コミュニケーションの数学理論。イリノイ大学出版局、1949年。
↑ ジョン・G・プロアキス、マソウド・サレヒ：通信システムエンジニアリング。第2版。 Pearson Education International、ISBN 0-13-095007-6。