Clifford-Lagebra – ウィキペディア

クリフォード代数 ウィリアムキングドンクリフォードにちなんで名付けられた名前です ^[初め] 複雑でハイパーコンプレックス数システムを拡張する代数からの数学的オブジェクト。これは、微分形状と量子物理学で使用されます。スピングループの定義とその表現、スピニックフィールド /バンドルの構築に役立ちます。これは、電子やその他の基本粒子を説明するだけでなく、多様性に関する不変性を決定するために重要です。

前提条件 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

数学には、複雑なユニットを備えた数値システム（1つのオフを備えた分割塩の結合）があり、より正確には複雑な数字、Quaternions、Octavesがあります。これらのそれぞれで、1、3、または7つの要素は

${displaystyle mathbf {i} _ {k}}$

修正するために、1とともに数字の部屋に実際のベクトルルームとして、そしてどちらだけでなく）

${displaystyle（mathbf {i} _ {k}）^{2} = -1}$

満たす。時々それだけでは不十分です。任意の数に

${displaystyle n}$

そのために構造が検索されていますか？

${displaystyle mathbf {i} _ {1}、dots、mathbf {i} _ {n}}$

封じ込められ、製品

${displaystyle circ}$

条件が定義されています

${displaystyle mathbf {i} _ {k} circus mathbf {i} _ {l}+mathbf {i} _ {l} circus mathbf {i} _ {k} = 2sigma _ {k} delta _ {kl}}}}$

それによって満たされた

${displaystyle delta _ {kl}}$

クラウンのシンボルはと

${displaystyle sigma _ {k} = PM 1}$

。リンクシンボルは喜んで除外されます。

要素

${displaystyle mathbf {i} _ {k}}$

クリフォード代数のジェネレーターまたはジェネレーターに名前を付けます。すべての生産者の製品は通過しています

${displaystyle omega}$

専用、

${displaystyle omega = mathbf {i} _ {1} mathbf {i} _ {2} cdots mathbf {i} _ {n}}$

。の正方形

${displaystyle omega}$

+1または-1にすることができます。

上記の例を除いて、この構造は上記の意味での数値システムではありませんが、代数としてのみ実現できます。

${displaystyle mathbf {i} _ {k}}$

生産しています。 1878年に発見したウィリアム・キングドン・クリフォードによると、そのような代数はクリフォード代数と呼ばれています。彼女は一緒にいます

${displaystyleCl（P、Q）}$

また

${displaystyle cl（p、q、mathbb {r}）}$

説明した場合

${displaystyle sigma _ {1} = dots = sigma _ {p} = -1}$

と

${displaystyle sigma _ {p+1} = dots = sigma _ {p+q} = 1}$

そうでなければ、生産者の代数的関係はありません。

ここまで、正式な計算ルールを設定しましたが、そのような代数の存在、一意性、構造についてまだ何も知りません。この問題は、実際のマトリクサルブラの一部としてクリフォード代数を表すことができればすぐに解決されます。

より一般的な考慮事項 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

数学的な部分では、計算ルールは普遍的な特性によって補完され、クリフォード代数は緊張節から構築されます。それは、生成が

${displaystyle mathbf {i} _ {1}、dots、mathbf {i} _ {n}}$

実際の（サブ）ベクタールーム

${displaystyle v}$

寸法 n = p+q 代数内に置きます。ベクトルの座標プレゼンテーションの定義プロパティを合計すると

${displaystyle {vec {and}} = x^{1} i_ {1} +dots +x^{n} i_ {n}}$

このベクトルルームは、定義する代数関係の座標のない（物理的な話す：kovariant）表現です。

${displaystyle {thing {v}} cirk {gont {v}} = -q（{thing {v}}）cdot 1_ {mathbb {r}}}}}$

、それによって

${displaystyle q（{vec {v}}）：=（x^{1}）^{2}+dots+（x^{p}）^{2} – （x^{p+1}）^{2} -dots-（x^{n}）^{2}}}}}$

正方形の関数

${displaystyle v}$

どちらですか （擬似）スケール製品 定義されています：

${displaystyle q（t {thing {v}}）= t {2} q（{thing {v}}）}$

と

${displaystyle langle {thing {v}}、{thing {w}} rangle：= {frac {1} {4}} q（{shing {v}}+{w}}） – {frac {1}}}} Q$

。

その後、生産者はオルソーマルベースを形成します

${displaystyle（v、langle cdot、cdot rangle）}$

。

実際のベクトルルームとそれに定義された正方形の機能で作られたそのようなカップル

${displaystyle（v、q）}$

の数学理論の出発点です Clifford-Lagebren 。

多分

${displaystyle k}$

体と

${displaystyle（v、q）}$

最終的に寸法正方形の空間。

その後、クリフォード代数はです

${displaystyleCl（v、q）}$

正方形の空間の

${displaystyle（v、q）}$

最大の連想的ではあるが必要ではない通勤代数として定義されている

${displaystyle k}$

の1つ

${displaystyle v}$

そして1つ

${displaystyle 1_ {cl}}$

作成され、それらの乗算は関係です

${displaystyle vcdot v = -q（v）1_ {cl}}$

満たす。

これは、線形埋め込み（つまり、ベクターの同種性）を示すことができるため、よく定義されています。

${displaystyle jcolon（v、q）から}$

連想で

${displaystyle k}$

– 関係のある代数

${displaystyle j（v）cdot j（v）= -q（v）1_ {cl}}$

1つに適用されます

${displaystyle k}$

– アルブラの同種

${displaystyle {tilde {f}}コロンCl（v、q）から}$

継続することができます。したがって、クリフォード代数はイソモルフィアを除いて明確です。 ^{[2] [3]}

複雑な数字 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

複雑な数字

${displaystyle mathbb {c}}$

単一のプロデューサーを持つ最も単純なクリフォード代数として理解できます。ベクタールーム

${displaystyle v}$

一次元であり、からです

${displaystyle i}$

作成されたので

${displaystyle v = imathbb {r}}$

と正方形の形

${displaystyle v}$

は

${displaystyle q（x）= x^{2}}$

。代数は実際のベクトルルームとして2次元です

${displaystyle 1 = 1_ {cl}}$

と

${displaystyle iin v}$

基本的な要素として、フォームの2×2マトリックスの代数で識別できます

${displaystyle {begin {pmatrix} a＆-b \ b＆aend {pmatrix}}}}}$

。

したがって、そのようなマトリックスは方程式を満たします

${displaystyle xcdot x = -x^{2} cdot {begin {pmatrix} 1＆0 \ 0＆1end {pmatrix}}}}$

。

このクリフォード代数

${displaystyle cl（mathbb {r}、x^{2}）}$

また、それは本当のクリフォード代数の例であるため、

${displaystyleCl（1,0）}$

書き留めた。これは、この記事の後半で定義されています。

Quaternions [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Quaternionsは、クリフォード代数に起因します

${displaystyleCl（2,0）}$

。生産

${displaystyle（i、j）}$

些細な製品を持っています

${displaystyle k = icdot j}$

、製品の定義特性から、 Quaternions マッチ。ベクタールーム

${displaystyle v}$

本物の2次元であり、代数は4次元です。マトリックスのプレゼンテーションは、複雑な2×2マトリックスの部分的に代数です

${displaystyle {begin {pmatrix} a＆b \ – {bar {b}}＆{bar {a}} end {pmatrix}}}}$

、

複雑な数字の実際の2×2マトリックスを挿入することによって

${displaystyle a}$

と

${displaystyle b}$

実際の4×4マトリックスの部分的な代数があります。

Noror複合番号 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

異常な複合体の代数

${displaystyleCl（0,1）}$

、創造的なものを持っています

${displaystyle i}$

正方形1.したがって、要素はできます

${displaystyle a+b、mathrm {i}}$

実際の2次元代数は、2つのサマンドに分割できます

${displaystyle {tfrac {1} {2}}、（a+b）、（1+mathrm {i}）+{tfrac {1} {2}}、（a-b）、（1-mathrm {i}）}}}$

、最初は乗算中です

${displaystyle i}$

彼のサインを保持し、2番目は彼のサインを変更します。 2つの要素の乗算では、2つの対角線マトリックスの乗算のように、これらのsummandは個別に増殖します。したがって、代数は2つのコピーの直接的合計の等モルフです

${displaystyle mathbb {r}}$

、

${displaystyle cl（0,1）cong mathbb {r} oplus mathbb {r}}$

。

Graßmann-algebra [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Graßmann-algebra

${displaystyle lambda v}$

実際のベクタールームの

${displaystyle v}$

クリフォード代数です

${displaystyleCl（v、0）}$

些細な正方形の形状

${displaystyle q = 0}$

。 Graßmann-Lagebraは、Wedge製品によってClifford代数内で構築できます。

${displaystyle uwedge v = {tfrac {1} {2}}（uv-vu）}$

– そして、2つ以上の要因の代替額として類似しています。

逆に、すべてのクリフォード代数ができます

${displaystyleCl（v、q）}$

Graßmann-algebra内

${displaystyle lambda v}$

これで新製品によって構築できます

${displaystyle circ}$

と定義されている

${displaystyle vcirc w：= vwedge w-q（v、w）}$

。

代数の寸法は保存されています、それは

${displaystyle 2^{n}}$

、それによって

${displaystyle n = dim（v）}$

。

この関係は、超音波フィールド理論の量子化にとって重要です。

Clifford-Lagebraは、カテゴリの初期オブジェクトとして特徴付けられるため、正方形の形式を持つベクトルの数学的な観点からの自然な構成です。

初期オブジェクトとして [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

すべての連合のカテゴリーを見てください

${displaystyle mathbb {k}}$

-al

${displaystyle a}$

、 その中で

${displaystyle v}$

埋め込まれています。つまり、すべてのカップルです

${displaystyle（a、j）}$

と

${displaystyle jcolon vto a}$

リニア、これもプロパティです

${displaystyle j（v）cdot j（v）= -q（v）cdot 1_ {a}}$

すべてのために

${displaystyle v}$

out

${displaystyle v}$

または同等のステートメント

${displaystyle j（v）cdot j（w）+j（w）cdot j（v）= -2q（v、w）cdot 1_ {a}}$

すべてのために

${displaystyle v}$

、

${displaystyle in}$

out

${displaystyle v}$

満たす。このカテゴリの形態は、のアルバリンの形態であり、その埋め込まれたコピーです の コンバート、つまり

${displaystyle phi colon（a、j）から（b、k）}$

満たすだけではありません

${displaystyle phi（ab）= phi（a）phi（b）}$

、 だけでなく

${displaystyle phi（j（j（v））= k（v）}$

。

カテゴリの最初のオブジェクトは、カテゴリ内の他のオブジェクトに正確に形態があるという事実によって優れています。いくつかの初期オブジェクトがある場合、これらは同型です。各初期オブジェクト

${displaystyle（a、j）}$

ここで検討されているカテゴリは、まったく存在する場合、クリフォード代数になります

${displaystyleCl（v、q）= a}$

呼び出されました。お互いにカップルに

${displaystyle（b、k）}$

したがって、カテゴリには明確に決定されたアルバル形態があります

${displaystyle varphi colon cl（v、q）からb}$

と

${displaystyle k = varphi circ j}$

。

以下にあります

${displaystyle v}$

その埋め込みで

${displaystyle J（v）Subset Cl（V、Q）}$

特定された、つまり、イラスト

${displaystyle j}$

明示的に言及されなくなりました。

テンソラルガブラの建設 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

テンソラルガブラで

${displaystylet（v）}$

私は理想を知っています

${displaystyle {mathcal {i}}：= {mbox {span}} _ {t（v）} {avtimes w+wotimes v+q（v、w）:; v ,, win v}}}}}$

定義されています。次に、商はです

${displaystyle t（v）/{mathcal {i}}}$

クリフォード代数の実現

${displaystyleCl（v、q）}$

。 ^[2]

本物のクリフォード代数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

以下であり

${displaystyle vcong mathbb {r} ^{n}}}$

N次元ベクトルルーム。

• 滝
  ${displaystyle v}$

  標準のスカラー製品が装備されており、それによって生成されたクリフォード代数も含まれています

  ${displaystyle cl（n、0）}$

  専用。生産者は、標準的な基本ベクトルです

  ${displaystyle mathbf {i} _ {k}：= mathbf {e} _ {k}}$

  標準のスカラー製品から誘導される正方形の形状は、座標の正方形です。

• 部屋です
  ${displaystyle v}$

  署名のあるミンコフスキーの形状

  ${displaystyle（p、q）}$

  装備しているので

  ${displaystyle n：= p+q}$

  適用可能です。その後、正方形の形が通過します

${displaystyle q（{vec {x}}）= x_ {1}^{2}+dots+x_ {p}^{2} -x_ {p+1}^{2} -dots -x_ {n}^{2}}}}$

与えられた。したがって、本当のクリフォード代数も関与しています

${displaystyle cl（p、q）= cl（p、q、mathbb {r}）}$

書き留めた。

複雑なクリフォードの路地 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

複雑な代数もできます

${displaystyle mathbb {mathbb {c}} l（p+q）：= cl（p、q、mathbb {r}）otimes mathbb {c}}$

定義します。この定義は、複雑なスカラー製品とは無関係です。

${displaystyle mathbb {c} ^{n}}$

イソモルフィアを除き、元々モデレートされた正方形の形状ではなく、正確に明確に決定されたものがあります。

Degreierung [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

イラスト

${displaystyle {begin {aligned} j _ { – } colon v＆to cl（v、q）\ v＆mapsto j _ { – }（v）：= -vend {aligned}}}}}$

また、定義するアイデンティティを満たします

${displaystyle j _ { – }（v）^{2} = -q（v）}$

、したがって、普遍的な財産のためにアルバリソモルフィズムがあります

${displaystyle kappa colon cl（v、q）からcl（v、q）}$

と

${displaystyle kappa（v）= -v}$

すべてのために

${displaystyle vin v}$

と

${displaystyle kappa ^{2} = mathrm {id}}$

。クリフォード代数はまっすぐな部分に落ちています

${displayllle cl ^ {0 {0 {0 {0 {0 {0 {0 {kern}（mathrm} -kappa）= mathrm} -kappa）= mathrm {bild}（mathrm} + kappa）}$

そして奇妙な部分

${displaysyllyle cl ^ {1}（v、q）：= mathrm} + kern}（mathrm} + kern}（mathrm {bild}（mathrm {bild}（mathrm} -kapppa）、。}）$

この分解はaを作成します

${displaystyle mathbb {z} _ {2}}$

– 代数の卒業、製品のまっすぐでストレートで奇妙に飢えた製品は、要素を作成し、製品はまっすぐにストレート要素を前にあります。したがって、まっすぐな数の要因を持つ製品があります の 奇数の要因を持つストレート、製品 の 奇数。

${displaystyle cl^{0}（v、q）}$

クリフォード代数の非委員であり、2番目のクリフォード代数とも呼ばれます。

${displaystyle cl^{1}（v、q）}$

のみのモジュールです

${displaystyle cl^{0}（v、q）}$

。

ろ過代数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

クリフォード代数は退位施設からの商として理解できるため、緊張根は自然なろ過を持っているため、クリフォード代数についてもろ過を説明することができます。イラスト

${displaystyle pi _ {q}コロンT（v）からcl（v、q）}$

財引数から商の部屋への自然な投影です

${displaystyleCl（v、q）}$

と

${displaystyle t_ {1}（v）Subset T_ {2}（V）Subset CDOTS Subset T（V）}}$

退行路braのろ過。あなたが設定した

${displaystyle cl_ {i}（v、q）= pi _ {q}（t_ {i}（v））}$

クリフォード代数もろ過された代数になります。 ^[4]

多分

${displaystyle v}$

排除されていない対称双線形のベクタールーム

${displaystyle q}$

と

${displaystyle q（v）= q（v、v）}$

。クリフォード代数で

${displaystyleCl（v、q）}$

その後、反映できます

${displaystyle v}$

表現されています。これを行うには、製品の構造からの基本的な結論が使用されます。

${displaystyle {frac {vxv} {langle v、vrangle}}} = – {frac {（2lankle v、xrangle +xv）v} {langle v、vrangle}}} = -2 {frac$

は

${displaystyle v}$

ユニットベクトル、

${displaystyle |ラングルV、vrangle | = 1}$

、それがイラストです

${displaystyle vmapsto s（v）}$

、

${displaystyle s（v）x：= {tfrac {vxv} {langle v、vrangle}} = PM vxv}}$

また、反省

${displaystyle v}$

垂直ハイパーベール。各反射は直交イラストであるため、反射によって生成されるグループは、直交グループのサブグループです。

ピングループ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

逆に、すべての直交イラストは、反射から製品に分解できます。家庭の変革またはQR分解を参照してください。分解は明確ではありませんが、ミラーマトリックスのユニットベクトルのクリフォード製品は、標識でせいぜい異なります。

まず、ピングループは、ユニットベクトルによってすべての製品の量として定義されます。

${displaystyle operatorname {pin}（v）：= {v_ {1} dots v_ {k}：kin mathbb {n}、v_ {i} in v、langle v_ {i}、v_ {i} rangle = pm 1}。}$

この量は、クリフォード代数の乗法モノイドのアンダーモノイドであり、逆の存在を通じてグループになります。

${displaystyle v_ {1} dots v_ {k} v_ {k} dots v_ {1} = PM 1}$

。要因が異なるが、ピングループと同じ要素である製品があります。たとえば、直交ユニットベクトルに適用されます

${displaystyle v}$

と

${displaystyle in}$

と

${displaystyle q（v）= q（w）}$

そして、すべてのカップル

${displaystyle（c、s）=（cos、alpha、sin、alpha）}$

${displaystyle（cv-sw）（sv+cw）= vw}$

。

ただし、すべての要素が適用されます

${displaystyle operatorname {pin}（v）}$

正確に直交イラスト

${displaystyle {tilde {s}}（v_ {1} dots v_ {k}）（cdot）：= v_ {1} dots v_ {k}（cdot）（v_ {1} dots v_ {k}）^{-1}} ）}$

逆の一意性からの選択された要因の独立性に対応します。それも知られています

${displaystyle {tilde {s}}コロンオペラトルン{pin}（v）to o（v）}}$

注文2の副検査は、iです。 H. 2回のオーバーレイ。同じ直交イラストの原始画像は、サインによってのみ異なります。

スピングループ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

物理的および幾何学的に有意なのは、ピングループのサブグループ、スピングループです

${displaystyle {mbox {spin}}（v）：= {v_ {1} dots v_ {2k} in {mbox {pin}}（v）}（v）：{mbox {pin}}（v）cap cl^{0}（v）}（v）}$

まっすぐな数の要因を持つ製品（「特別なピングループ」としてのスピングループの遊び心のある再編成からの製品は、「ピン」グループでした）。これから、あなたは特別な直交グループの2つの時間の重複があることが知られています

${displaystyle so（v）}$

基礎となるベクタールームの寸法が2を超える場合、単に一貫性があります。つまり、ユニバーサルオーバーレイです。マトリックスグループ以来

${displaystyle so（n）}$

重量2の表現

${displaystyle {mbox {spin}}（n）}$

物理学では、重量1スピンからのスピングループの表現も言われています

${displaystyle {tfrac {1} {2}}}$

– 直交グループの表現。

代数の表現は、ベクターの内型の代数に、つまり（基本的な選択の後）のマトリクサルブラの代数に埋め込まれています。マトリックスには、実際の、複雑な、または四項用エントリがあります。

Matrixalbraの各クリフォード代数または実数よりも2つのマトリックス路地の直接的な合計が示されることができます

${displaystyle mathbb {r}}$

、複雑な数字

${displaystyle mathbb {c}}$

またはQuaternions

${displaystyle mathbb {h}}$

Isomorphはです。

Reelle Clifford-Lagebra [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

本物のクリフォードの路地の割り当てと寸法は、次のようにテーブルを表します。

（ p – Q ）8に対して	おお 2	cl （ p 、 Q 、ℝ） （ p + Q = 2 m ））	（ p – Q ）8に対して	おお 2	cl （ p 、 Q 、ℝ） （ p + Q = 2 m + 1）
0	+	m（2 m 、ℝ）	初め	–	m（2 m 、ℂ）
2	–	m（2 m -1 、ℍ）	3	+	m（2 m -1 、ℍ）⊕m（2 m -1 、ℍ）
4	+	m（2 m -1 、ℍ）	5	–	m（2 m 、ℂ）
6	–	m（2 m 、ℝ）	7	+	m（2 m 、ℝ）⊕m（2 m 、ℝ）

次の一般的なイソモルフィアが適用されます。

• 
  ${displaystyle cl（d、0）otimes cl（0,2）cong cl（0、d+2）}}$

  

• 
  ${displaystyle cl（0、d）otimes cl（2,0）cong cl（d+2,0）}}$

  

• 
  ${displaystyle cl（p、q）otimes cl（1,1）cong cl（p+1、q+1）}}$

  

複雑なクリフォード代数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

複雑なクリフォード代数の表現は、実際の崖の代表よりも簡単です。適用されるからです

${displaystyle mathb mathbb {c} l（n）conft（2^{frac {n} {2} {2}}、mathbb {c} right）＆n {mbox {gerleft}} \ mleft（2^{frac {n-1}} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} 2}}、mathb {c} right）＆n {mbox {ungerade}}、。end {casess}}}}$

これに関連して、同型が適​​用されます

${displaystyle mathbb {c} l（n）otimes m（2、mathbb {c}）curve mathbb {c} l（n+2）,,}$

これは、表現の証明にも不可欠です。は

${displaystyle n}$

ちょうど呼ばれています

${displaystyle mathbb {c} ^{m}}$

と

${displaystyle m = 2^{frac {n} {2}}}$

自然な卒業

${displaystyle mathbb {r} ^{m} oplus mathbb {r} ^{m}}$

このコンテキストでは、スピナーモジュール。

低次元の例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

の次元

${displaystyleCl（P、Q）}$

実際のベクトルルームとして2 ^P+Q 。これにより、クリフォード代数は、代数の乗算を説明するこの次元の実際のマトリックスで表現できます。この表現は最小限ではありません。つまり、同じことを行う下位次元のマトリックスがあります。[1]と以下の例を参照してください。

• 
  ${displaystyle cl（1,0）cong mathbb {c}}$

  

発電機があります

${displaystyle e_ {1}}$

と

${displaystyle e_ {1}^{2} = -1}$

。したがって、複雑な1次元表現があります。

${displaystyle e_ {1}}$

架空のユニットで 私 描かれ、対応する実際の2次元。

• 
  ${displaystyle cl（0,1）cong mathbb {r} oplus mathbb {r}}$

  

ジェネレーターはです

${displaystyle e：= e_ {1}}$

と

${displaystyle e^{2} = 1}$

。各要素

${displaystyle a+be}$

代数は2つの夏にできます

${displaystyle {tfrac {1} {2}}（a+b）（1+e）}$

と

${displaystyle {tfrac {1} {2}}（a-b）（1-e）}$

分割する。そこには

${displaystyle（1+e）（1-e）= 0}$

適用されると、この分割は製品形成の下で理解されます。したがって、クリフォード代数は同一です

${displaystyle mathbb {r} ^{2}}$

コンポーネントのような製品を使用します

${displaystyle e}$

要素

${displaystyle（1、-1）}$

要素に対応します

${displaystyle（1,1）}$

。この2つのALBARのこの直接的な合計は、2×2対角マトリックスの代数として実現することもできます。

• 
  ${displaystyle cl（2,0）cong mathbb {h}}$

  

発電機があります

${displaystyle i：= e_ {1}}$

と

${displaystyle j：= e_ {2}}$

そして彼らの製品 k = ij 関係と

${displaystyle i^{2} = j^{2} = -1、; k = ij = -ji、; ijk = k^{2} = -ijji = -1、;}$

。

これは四項の代数であると予想されます。

• 
  ${displaystyle cl（1,1）cong m_ {2}（mathbb {r}）}$

  

発電機があります

${displaystyle i}$

と

${displaystyle e}$

、

${displaystyle i^{2} = -1}$

、

${displaystyle e^{2} = 1}$

と

${displaystyle ie = -i}$

。ジェネレーターは次の実際の2×2マトリックスを満たしていると確信しています。

${displaystyle 1 = {begin {pmatrix} 1＆0 \ 0＆1end {pmatrix}}、; e = {begin {pmatrix} 1＆0 \ 0＆-1end {pmatrix}}} } 0＆1 \ 1＆0End {pmatrix}}}$

したがって、すべての実際のマトリックスに到達できます。

• 
  ${displaystyle cl（0,2）cong m_ {2}（mathbb {r}）}$

  

発電機があります

${displaystyle e_ {1}}$

と

${displaystyle e_ {2}}$

正方形1、その製品

${displaystyle i：= e_ {1} e_ {2}}$

正方形があります

${displaystyle -1}$

、したがって、この代数Isomorphは以前のものです。

量子物理の例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• 
  ${displaystyle cl（3,0）cong cl（2,0）otimes cl（0,1）cong mathbb {h} oplus mathbb {h}}$

  （自転車）

プロデューサーがいます

${displaystyle e_ {1}}$

、

${displaystyle e_ {2}}$

と

${displaystyle e_ {3}}$

関係と

${displaystyle（mathbf {e} _ {i}）^{2} = -1}$

、

${displaystyle mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {k} = -mathbf {e} _ {k} mathbf {e} _ {i}}} _ {k}$

、

${displaystyle（mathbf {e} _ {i} mathbf {e} _ {k}）^{2} = -1}$

、

${displaystyle（mathbf {e} _ {1} mathbf {e} _ {2} mathbf {e} _ {3}）^{2} = 1}$

。

実際の表現と複雑な表現の両方が崩壊します

${displaystyle v = v _ {+} oplus v _}}}}$

、それによって

${displaystyle v _ {+}}$

プロジェクターのゼロルーム

${displaystyle（1-omega）/2}$

と

${displaystyle v _ { – }}$

プロジェクターのゼロルーム

${displaystyle（1+omega）/2}$

と

${displaystyle omega：= e_ {1} e_ {2} e_ {3}}$

は。適用されます

${displaystyle e_ {k} omega = omega e_ {k}}$

、そのため、両方のサブベクトルルームが独立したサブ表現を生成します。

純粋に否定的な表現、つまりH.と

${displaystyle v _ {+} = 0}$

、Quaternion Algebra Isomorphに直接あります、

${displaystyle e_ {1}からi、e_ {2}からj、e_ {3}からk}$

、

純粋に肯定的なものは共役型陽性です、

${displaystyle e_ {1}から-i、e_ {2} to -j、e_ {3}から-k}$

。

どちらの場合も、これも当てはまります

${displaystyle cl（2,0、mathbb {r}）}$

言った。

• 
  ${displaystyle cl（2,1）cong cl（1,1）otimes cl（1,0）cong m_ {2}（mathbb {c}）}$

  

• 
  ${displaystyle cl（1,2）cong cl（1,1）otimes cl（0,1）cong m_ {2}（mathbb {r}）oplus m_ {2}（mathbb {r}）}$

  

• 
  ${displaystyle cl（0,3）cong cl（0,2）otimes cl（1,0）cong mathbb {h} otimes _ {mathbb {r}} mathbb {c}}}}$

  

• 
  ${displaystyle cl（4,0）cong cl（2,0）otimes cl（0,2）cong m_ {2}（mathbb {h}）}$

  

この代数のまっすぐな部分

${displaystyle spin_ {4}}$

グループも含まれています

${displaystyleCl（3,0）}$

同型。によって作成されます

${displaystyle mathbf {f} _ {1}：= mathbf {e} _ {1} mathbf {e} _ {4}、; mathbf {f} _ {2}：= mathbf {e}} _ {2 {2} mathbf {e} _ {4} _ {4} _ {4} _ {4} _ {4} mathbf} {e} _ {4}$

、Zです。 B.

${displaystyle mathbf {e} _ {1} mathbf {e} _ {2} = mathbf {f} _ {1} mathbf {f} _ {2}}}}$

。

• 
  ${displaystyle cl（3,1）cong cl（1,1）otimes cl（2,0）cong m_ {2}（mathbb {h}）}$

  

${displaystyle cl^{0}（3,1）cong cl（3,0）cong mathbb {h} oplus mathbb {h}}$

また

${displaystyle cl^{0}（3,1）cong cl（2,1）cong m_ {2}（mathbb {c}）}$

• 
  ${displaystyle cl（1,3）cong cl（1,1）otimes cl（0,2）cong m_ {4}（mathbb {r}）}$

  

${displaystyle cl^{0}（1,3）cong cl（0,3）cong mathbb {h} otimes _ {mathbb {r}} mathbb {c}}}}$

また

${displaystyle cl^{0}（1,3）cong cl（1,2）cong m_ {2}（mathbb {r}）oplus m_ {2}（mathbb {r}）}$

1. ↑ ウィリアム・キングドン・クリフォード 。 In：Guido Walz（編）： 数学の辞書 。第1版。 Spectrum Akademischer Verlag、Mannheim/Heidelberg 2000、ISBN 3-8274-0439-8。
2. ↑ ^{a b} ニコール・ブレリン、エズラ・ゲッツラー、ミシェル・バージン： ヒートカーネルお​​よびディラックオペレーター （= 個々の表現における数学科学の基本的な教え。 bd。 298）。スプリンガー、ベルリンu。 a。 1992、ISBN 0-387-53340-0、S。100。
3. ↑ H. B.ローソン、M。ミシェルソン： スピンジオメトリ 。プリンストン大学出版局、1989年、ISBN 978-0-691-08542-5、S。8f。
4. ↑ H. B.ローソン、M.-L。ミシェルソン： スピンジオメトリ。 1989、S。9–10。