Hilbert -Matrix -Wikipedia

ヒルバートマトリックス 注文

${displaystyle ngeq 1}$

次の正方形、対称的で正の明確なマトリックスです。

${displaystyle h_ {n} = {begin {pmatrix} 1＆{frac {1} {2}}＆{frac {1} {3}}＆{frac {1} {n}}} \ {frac {1} {1} {} {} {{1} {1} {1} {1} {1} } {4}}＆cdots＆{frac {1} {n+1}} \ {frac {1} {3}}＆{frac {1} {4}}＆{frac {1} {5}}＆cdots＆{frac {1} {n+2} \ vd} \ vd} \ vd} \ vdots \ {frac {1} {n}}＆{frac {1} {n+1}}＆{frac {1} {n+2}}＆{frac {1} {2n-1}} end {pmatrix}}}}}}}}}$

、

したがって、個々のコンポーネントは通過しています

${displaystyle h_ {ij} = {frac {1} {i+j-1}}}}}}$

与えられた。プレゼンテーションは、積分を伴う歴史的アクセスに対応しています。

${displaystyle h_ {ij} = int _ {0}^{1} x^{i+j-2}、dx}$

。

これは、1894年にLegendre Polynomasの理論に関連して、ドイツの数学者David Hilbertによって定義されました。マトリックスは正であるため、その逆が存在します。 H.これらの係数を使用した方程式の線形システムは、簡単に解くことができます。ただし、ヒルバートマトリックスまたは関連する方程式のシステムは比較的条件が劣っています。

${displaystyle n}$

は。状態の状態は指数関数的に増加します

${displaystyle n}$

;の条件番号

${displaystyle h_ {3}}$

526.16（Frobenius Standard）、それです

${displaystyle h_ {4}}$

15,613.8。これは、逆数（方程式システムの溶解）を計算するときに大きな数が発生することを意味します。

${displaystyle n}$

は。したがって、ヒルベルトマトリックスは古典的なものです テストケース マトリックスの反転または線形方程式システムの解像度のためのコンピュータープログラムの場合、例えばB. Gaussメソッド、LR分解、軟骨分解など。逆マトリックスのすべてのコンポーネントは、交互の兆候を持つ整数です。

ヒルベルト行列の逆のコンポーネントは、閉じた式で直接計算できます。

${displaystyle（h_ {n}^{-1}）_ {i、j} = {frac {（-1）^{i+j}} {（i+j-1）}}}} {（n+i-1）$

、

二項係数を通じて表現できるもの：

${displaystyle（h_ {n}^{ – 1}）_ {i、j} =（-1）^{i+j}（i+j-1）{n+i-1 choose n-j} {n-i} {i+j-2 choice i-1}^{2}}$

。

特別な場合

${displaystyle i = j = 1}$

これは次のとおりです。

${displaystyle（h_ {n}^{ – 1}）_ {1.1} = n^{2}}}}$

。

ヒルバートマトリックスの逆を正確に計算できることは特に便利です。 B.テストでは、LRまたは胆嚢分解を備えたヒルベルトマトリックスの数値反転の結果。これは、丸めエラーによって自然に損なわれます。

ヒルバートマトリックスの逆の決定要因は、次の式の助けを借りて正確に計算することもできます。

${displaystyle det h_ {n}^{ – 1} = prod _ {k = 1}^{n-1}（2k+1）{2k choose k}^{2}}$

ヒルベルトマトリックスの決定要因として、逆の結果の相互値は

${displaystyle it h_ {n} =（it h_ {n}^{ – 1}）^{-1}}$

。逆の決定要因

${displaystyle 1leq nleq 5}$

1、12、2160、6048000、266716800000です（結果 A005249 OEISで）。

上記の式は、場合に（正確な）逆になります

${displaystyle n = 2,3,4,5}$

：

${displaystyle h_ {2}^{ – 1} = {begin {pmatrix} 4＆-6 \ -6＆12end {pmatrix}}}}$

、

${displaystyle h_ {3}^{ – 1} = {begin {pmatrix} 9＆-36＆30 \ -36＆192＆-180 \ 30＆-180＆180end {pmatrix}}}}$

、

${displaystyle h_ {4}^{-1} = {begin {pmatrix} 16＆-120＆240＆-140 \ -120＆-2700＆1680 \ 240＆-2700＆6480＆-4200 \ -140＆1680＆-4200＆2800END}} {$

、

${displaystyle h_ {5}^{-1} = {begin {pmatrix} 25＆-300＆1050＆-1400＆630 \ -300＆4800＆-18900＆26880＆-12600 \ 1050＆-18900＆79380＆-117600＆56700＆-1400＆-1400 ＆-88200 \ 630＆-12600＆56700＆-88200＆44100END {pmatrix}}}$

。

Hilbert（そしてもちろん他のすべての）マトリックスを実験するためには、Matlab、Maple、Gnu Octave、Mathematicaなどの最新の数学ソフトウェアパッケージが役立ちます。たとえば、Mathematicaでは、最後の逆は次のコマンドで計算できます。

逆

${displaystyle n = 5}$

計算：

[1]：= Inverse [hilbertmatrix [5]] // TraditionalForm  

ヒルバートマトリックスの適性が悪いことは、実質的にライン（およびその結果も列）ベクトルを意味します 速い 線形依存です。幾何学的に、u。ラインベクトル間の角度は非常に小さく、最後のラインベクトル間の最小のものであるという事実。 z。 B.最後の線と最後から2番目のラインベクトルの間の角度

${displaystyle h_ {4}}$

3°より小さい（弓の中：より小さい

${displaystyle {frac {pi} {60}}}$

）。大きなもので

${displaystyle n}$

角度はさらに小さくなっています。の最初の線ベクトル間の角度

${displaystyle h_ {3}}$

また、他の2つのラインベクトルによってクランプされるレベルは1.3°よりわずかに小さく、他の2つのラインベクトルの対応する角度はさらに小さくなります。これらの角度は、より大きな角度もあります

${displaystyle n}$

さらに小さく。