Sekantenverfahren-ウィキペディア

その中で 割線 これは、中世以来知られているタイプの方程式の近似の数値手順です

${displaystyle f（x）= 0}$

。関数の導出を計算する必要がないため、ニュートン手順の簡素化に対応します。

2つのポイントの間

${displaystyle P（x_ {1} | f（x_ {1}）}$

と

${displaystyle q（x_ {2} | f（x_ {2}）}}$

関数

${displaystyle f}$

2つ目が配置されます。セカントとの交差点

${displaystyle x}$

-eenは改善された開始値です

${displaystyle x_ {3}}$

反復に使用されます。の助けを借りて

${displaystyle x_ {3}}$

新しい機能値になります

${displaystyle f（x_ {3}）}$

計算。と

${displaystyle f（x_ {3}）}$

そして古い価値

${displaystyle f（x_ {2}）}$

このステップは繰り返され、もう1秒です。このステップは、ゼロのゼロポイントの十分な近似に達するまで繰り返されます。

グラフ上の構造 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

次のアニメーションは、スタート値をどのように使用するかを示しています

${displaystyle x_ {1}}$

と

${displaystyle x_ {2}}$

他のポイントが構築されています。

手順では、次の反復規則を使用します。

${displaystyle x_ {n+1} = x_ {n} – {frac {x_ {n} -x_ {n-1}} {f（x_ {n}） – f（x_ {n-1}）}} cdot f（x_ {n}）}}}}}}}}}}}}}}$

2つの近似値

${displaystyle x_ {0}、x_ {1}}$

始まった。

Regula falsiの手順とは対照的です

${displaystyle x_ {n}}$

と

${displaystyle x_ {n+1}}$

嘘。

ニュートンプロセスとの接続 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

手順は、反復規制でニュートン近似プロセスの変更として変更できます

${displaystyle x_ {n+1} = x_ {n} – {frac {f（x_ {n}）} {f ‘（x_ {n}）}}}}}}}}$

派生を取ります

${displaystyle f ‘（x_ {n}）}$

違いの商を通して

${displaystyle f ‘（x_ {n}）amptx {frac {f（x_ {n}）-f（x_ {n-1}）} {x_ {n} -x_ {n-1}}}}}}$

交換。

収束 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ニュートン手順との関係により、同様の条件がSEKANT手順の収束に適用されます。

• SEKANT手順は、収束順序とスーパーリニアを収束させます
  ${displaystyle phi = {tfrac {1+ {sqrt {5}}} {2}}約1 {、} 618}$

  （これはゴールデンカットの比率に対応します）、つまりH.近似値の正しい領域の数は、ラウンドあたりの係数にほぼ増加します

  ${displaystylephi}$

  。これは、差分商が導出の近似にすぎないという事実によるものです。収束速度は、正方形の収束性ニュートンプロセスと比較してそれに応じて低くなっています。

• 関数で十分です
  ${displaystyle f}$

  定義領域では安定しており、ゼロポイントが1つだけです。

• 派生の場合、手順は精度と収束速度を失います
  ${displaystyle f ‘（x）}$

  ゼロポイント0に、計算はフォームの式であるため、

  ${displaystyle x_ {n+1} = x_ {n} – {tfrac {0} {0}} cdot f（x_ {n}）}$

  結果。これは、特にポリノムでは複数のゼロポイントに対応します。

${displaystyle {frac {f（x_ {n}） – f（x_ {n-1}）} {x_ {n} -x_ {n-1}}}}}}}$

桁をフォーム0/0に絶滅させることにより、ゼロポイントへの近似が増加します。手順自体はゼロポイントの推定値を改善し続ける可能性がありますが、ゼロポイント近くのこの利益の実際の計算は、丸めエラーを増やすことで補償されます。原則として、これはSEKANT手順で有限のジョブ番号を持つコンピューターでは達成できません。

手順の利点 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ニュートンのプロセスよりもいくつかの利点があります。

• 関数値のみを計算する必要があります。ニュートンの登場とは対照的に、任意の十分に滑らかな関数のゼロポイントは、派生の知識や計算なしに計算することもできます。

• 唯一の機能値は必要です
  ${displaystyle f（x）}$

  一度計算できます。ニュートン手順の場合、導出の機能値も

  ${displaystyle f ‘（x）}$

  決定されます。

• 2つの開始値を指定することにより、Sekantの方向は2つの開始値によって指定されるため、手順は特定の間隔によりよく集中できます。ただし、収束を強制することはできません。

多次元のニュートン手順に類似して、機能の位置をゼロにするために、多次元セカント手順を定義することもできます。

${displaystyle fcolon dsubset mathbb {r} ^{n} to mathbb {r} ^{n}}$

決定する。

差による派生が1次元でより近似されている場合、Jacobiマトリックスは多次元でより近似されています。

${displaystyle j（x）：= {frac {partial f_ {i}} {partial x_ {j}}} = {begin {pmatrix} {frac} {partial f_ {1}} {partial x_ {1}}}}}}}} {{{partial f_ {1} {1} { dots＆{frac {partial f_ {1}} {partial x_ {n}}} \ {frac {partial f_ {2}}} {frac {partial f_ {2}} {partial f_ {2}} {partial x_ {2}}}} {partial ff ff}} {{2}} {{2}} {{2}}} } {partial x_ {n}}} \ vdots＆vdots＆ddots＆vdots \ {frac {partial f_ {n}}}}＆{frac {partial f_ {n}}} {partial f_ {n}} {partial x_ {2} {partial ff}}} {partial {partial x_ {n}}} end {pmatrix}} compx {tilde {j}}（x、h）=（f（x、h）_ {jk}）_ {j、kin {1、dotsc、n}}}}}}$

、

したがって

${displaystyle f（x、h）_ {jk}}$

特定のステップ幅マトリックスに

${displaystyle hin mathbb {r} ^{ntimes n}}$

定義されています：

${displaystyle f（x、h）_ {jk}：= {begin {cases} {frac {partial f_ {j}} {partial x_ {k}（x）}}}}}}}}}}}}} f_ {j}（x）} {h_ {jk}}}、＆{text {sonst}} end {cases}}}}$

、 提供された

${displaystyle x、x+h_ {jk} e_ {k} in d}$

は。

現在、ニュートンの手順に類似して、次の反復により：

${displaystyle x_ {n+1} = x_ {n} – （{tilte {j}}（x_ {n}、h））^{-1} cdot f（x_ {n}）}}}$

の緩み以来

${displaystyle delta x_ {n}：=（{tilte {j}}（x_ {n}、h））^{ – 1} f（x_ {n}）;、}$

マトリックスの逆を計算し、それに続く乗算を

${displaystyle f（x_ {n}）}$

代わりに、方程式の線形系はより複雑で数値的に好ましくありません

${displaystyle {tilde {j}}（x_ {n}、h）; delta x_ {n} = f（x_ {n}）}$

解決した。それからあなたは得ます

${displaystyle x_ {n+1}}$

Out Out：

${displaystyle x_ {n+1} = x_ {n} -delta x_ {n}。}$

• マーティン・ハンケ・ブルジョア： 数値数学と科学的算術の基礎。 第1版。 Teubner、Stuttgart 2002、ISBN 3-519-00356-2、第18.2章。
• マーティン・ヘルマン： 数値数学、ボリューム1：代数問題 。第4、改訂および拡張版。 Walter de Gruyter Verlag、ベルリン、ボストン2020。ISBN978-3-11-065665-7。