繰り返し機能システム-Wikipedia

a 繰り返し機能システム （ ifs ）たくさんです

${displaystyle {mathcal {f}}}$

同じ空間である関数から

${displaystyle m}$

定義と値の範囲として、リンクで完了します。それで

${displaystyle {mathcal {f}} circ {mathcal {f}} subset {mathcal {f}};}$

d。 h。

${displaytyle; formall f、gi {mathcal {f}}：; fcirc gi {matcal {f}}$

通常、機能システムはフラクタルを設計するのに役立ちます。 ifs -fractal 指定されています。このクラスのフラクタルの有名な代表者は、シエルピンスキーの三角形と調理曲線、およびリンデンマイヤーシステムの限界量です。

このタイプのフラクタル建設は、1981年にジョンハッチンソンによって発明されました ^[初め] そして後に彼の本でマイケル・F・バーンズリーによって どこでもフラクタル ^[2] 大衆化。 ^[3] バーンズリーもそれを与えました コラージュセット フラクタル圧縮に基づいて形成されます。ただし、データ構造を使用して画像を効率的にコーディングするこの方法は、適切に優先することができず、今日は基本的にウェーブレット変換と組み合わせてハイブリッドプロセスとしてのみ検討されています。

IFSのプロパティを導出できるようにするには、機能の量が追加の要件を満たす必要があります。通常から ifs 話されて、これらの要件は暗黙のうちに受け入れられています。これらの要件は次のとおりです

1. IFSが最終的に生成されたこと、つまり、最終的に他の関数が繰り返される（反復）リンクによってまとめることができる多くの機能が含まれています。
2. その部屋
   ${displaystyle m}$

   メトリックを備えた完全なメトリック空間

   ${displaystyle d}$

   and and

3. IFSのすべての機能が反アクティブに
   ${displaystyle d}$

   は。前提条件1.ジェネレーターからこれを要求するだけで十分です。

これらの状況下では、不変の自己類似の量があります

${displaystyle xsubseteq m}$

。

自己類似の量は通常、整数hausdorff寸法を持たず、その後フラクタルとも呼ばれるため、指定 ifs fractal 。また、IFSの存在を要求することにより、自己類似性の概念をさらに定義することもできます。

数学的な観点から、 繰り返される機能システム 用語が直接適用することも示唆しているように
バナッシュ固定ドットセット。これにより、1つの代わりにいくつかの機能が考慮され、明確な固定点の代わりに、不変、ほとんどがフラクタルで、部分的な部屋の量があります。

${displaystyle m}$

結果。 2次元ユニットの正方形は通常、イラストに使用されます

${displayStyle M = [0,1] times [0,1]}$

ユークリッド距離で選ばれます。

そのため、コンパクトメトリック空間の有限量の機能から始めます

${displaystyle（m、d）}$

それ自体：

${displaystyle {mathcal {f} _ {1}：= {phi _ _ {1}、dots、phi _ _ {r} colon mto m}、}$

そのうちの収縮定数があると仮定します

${displaystyle 0$

で与えます

${displaystyle forall x、yin m、phi in {mathcal {f}} _ {1} :; d（phi（x）、phi（y））leq c、d（x、y）}}$

イテレーションを通じて設定します

${displaystyle {mathcal {f}} _ {1}}$

IFSに

${displaystyle {mathcal {f}}}$

砦、そうです

${displaystyle {mathcal {f}} _ {n+1}：= {mathcal {f}} _ {1} circ {mathcal {f}} _ {n}：= {phi circ f：; phi in {mathcal {f}}} _ {1} _ {1 }}$

そして最後に取得します

${displaystyle {mathcal {f}}：= bigcup _ {n = 1}^{infty} {mathcal {f}} _ {n}}}$

。

文は、メトリック空間からのものであるという事実によって証明されています

${displaystyle（m、d）}$

新しい部屋を建設しました。

${displaystyle m}$

それは。この空間とイラストの観点から、これ（Hausdorffメトリック）のメトリックを定義できます

${displaystyle xmapsto bigcup _ {i = 1}^{r} phi _ {i}（x）}$

収縮です。これにより、バナッシュの固定点が使用できます。

カオスゲーム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

フラクタル量の形状

${displaystyle x}$

SO -CALLEDのものを通してすることができます カオスゲーム 視覚化されます。初めに
固定点

${displaystyle {vec {x}}}$

から

${displaystyle {vec {x}} = phi _ {1}（{vec {x}}）}$

これについては、定義関数をランダムな順序で表示および使用します。アルゴリズムとして、これは次のように見えます。

• 100回続けて
  ${displaystyle {vec {x}}：= phi _ {1}（{vec {x}}）}$

  に

• あなたが好きなだけ頻繁にリピーター
  • たまたま選択してください
    ${displaystyle iin left {1、dots、right}}$

    

  • 道
    ${displaystyle {vec {x}}：= phi _ {i}（{vec {x}}）}$

    に

  • ポイントを描きます
    ${displaystyle x}$

    。

注釈：

1. フラクタル量までの距離がすべてのステップにあるため、最初の盲目的な反復では重要ではありません。
   ${displaystyle x}$

   削減されます。 zです。 B.収縮定数

   ${displaystyle c = 0 {、} 5}$

   そして基本量

   ${displaystyle m}$

   1024×1024ピクセルで示されているユニットスクエアは、12のブライン反復後にピクセルサイズの下でエラーが低下しました。

2. 各関数を呼び出す可能性がある場合、より良い表現が一般的に達成されます
   ${displaystyle phi _ {i}}$

   のボリュームにほぼ比例します

   ${displaystyle phi _ {i}（m）}$

   は。

再帰 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

アフィンフラクタルの場合、できればアフィンフラクタルの別の可能性は、 再入り 群衆の近似

${displaystyle x}$

。これは通常、コピーを使用して鮮やかに使用しています
説明：開始画像でさまざまな削減を行い、規則に従ってこれを修正します
新しいシートで、次のステップの開始画像として使用します。

また タートルグラフィック Lシステムの構築用
使用され、同様のアイデアに従います。

アルゴリズムとして、再帰的に呼び出す機能が必要です。

${displaystyle f（n）= bigcup _ {i = 1}^{r} phi _ {i}（f（n-1））}$

任意の金額で

${displaystyle f（0）}$

気がついた。実装には、現在の座標系がアフィンとしてのスタックメモリが必要です
座標変換が記録されます。これにより、アルゴリズムが得られます

${displaystyle figur（n）}$

：

フラクタル：

• カバー
  ${displaystyle figur（10）}$

  on（例として10）

アフィンイラスト [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

IFの生成機能は、2次元のアフィン画像です
Unity Squaryそれ自体。すべての関数

${displaystyle phi _ {k}}$

2×2マトリックスで与えられます

${displaystyle a_ {k}}$

およびシフトベクトル

${displaystyle b_ {k}}$

。

Koch FractalはZです。 B.次の2つの関数のシステムによって生成されます。

• 
  ${displaystyle phi _ {1} {binom {x} {y}} = {craud {1} {sqrt {3}}} {begin {pmatrix} cos 30^{circurs binom {x} {y}}}}}$

  、

• 
  ${displaystyle phi _ {2} {binom {x} {y}} = – {craud {1} {sqrt {3}}} {begin {pmatrix} -cos 30^{cir binom {x}} {y}} {3t {1} {1} {1} {1} {1}} {cos 30^{rivss$

  

クック曲線を作成するための古典的な方法では、4つの関数が使用されます

• 
  ${displaystyle phi _ {1}（x、y）= left（{frac {x} {3}}、{frac {y} {3}}右）}$

  

• 
  ${displaystyle phi _ {2}（x、y）= left（{frac {2+x- {sqrt {3}} y} {6}}、{frac {sqrt {3}} x+y} {6}}}}}}}}$

  

• 
  ${displaystyle phi _ {3}（x、y）= left（{frac {3+x+{sqrt {3}} y} {6}}、{frac {sqrt {3}} – {sqrt {3}}} x+y} {6}}}$

  

• 
  ${displaystyle phi _ {4}（x、y）= left（{frac {2+x} {3}}、{frac {y} {3}}右）}$

  

右側のシアピンスキートライアングルはによって生成されます

• 
  ${displaystyle phi _ {1}（x、y）= left（{frac {x} {2}}、{frac {y} {2}}右）}$

  

• 
  ${displaystyle phi _ {2}（x、y）= left（{frac {x+1} {2}}、{frac {y} {2}}右）}$

  

• 
  ${displaystyle phi _ {3}（x、y）= left（{frac {x} {2}}、{frac {y+1} {2}}右）}$

  

そのようなIFSフラクタルに対する熱意の基礎は、コラージュ – バーンズリーの定理でした。すべてのコンパクトな量 – あらゆる形状 – は、IFSフラクタルによって正確に近似できると述べています。これの根拠は次の観察です。

免責剤：100×100ピクセルの画像に500個の黒いピクセルポイントの数字がある場合、それぞれの500ピクセルに描写することで、この1つの黒いドットでフィギュアをピクセルのサイズに100倍に減らすことができます。この手順は最適ではありません。ここでは、500ピクセルの位置を節約する方が簡単です。しかし、同じ目的で5つのイラストしか出ない場合、データ削減が達成されます。

また、単純な黒と白の画像に制限されていません。グレースケールの写真の場合、黒ずみの程度はポイントの3番目の座標と見なすことができます。3次元空間にはコンパクトな領域があり、コラージュ – 定理を再び適用できます。フラクタル画像圧縮とフラクタルサウンド圧縮は、できるだけ少ない機能を備えたIFSフラクタルの構築のための体系的な方法を扱います。

1. ↑ ジョンE.ハッチンソン： フラクタルと自己類似性 。の： インディアナ大学数学ジャーナル 。 バンド 30 、 いいえ。 5 、1981年（ semanticscholar.org [PDF; 483 KB ]）。
2. ↑ マイケルバーンズリー： どこでもフラクタル 。 Academic Press、1988、ISBN 978-0-12-079062-3。
3. ↑ マリオペルギア： 離散反復関数システム 。 Taylor＆Francis、CRC Press、1993、ISBN 978-0-429-06536-1、 S. IX、いくつか 、doi： 10.1201/9781439864708 。