一般化された逆分布関数-Wikipedia

（一般化）逆分布関数 、 ^[初め] また 変換 ^[2] また 数量機能 ^[3] また パーセントポイント関数 呼ばれると、数学のサブエリアであるStochasticsの特別な実際の機能です。各分布関数は、特定の条件下での分布関数の逆関数である一般化逆分布関数に割り当てることができます。一般化された逆分布関数は、分布関数がこの数値を超えるゼロと1つの最小値の間で各数値を割り当てます。

たとえば、確率分布がヨーロッパ人の靴のサイズを記述し、対応する分布関数である場合、関連する一般化された逆分布関数がポイントに与える

${displaystyle 0 {、} 9}$

最小の靴のサイズ

${displaystyleS}$

ヨーロッパ人の90％以上が靴のサイズが小さいように

${displaystyleS}$

運ぶ。

一般化された逆分布関数は、とりわけ分位を決定するために使用されます。また、指定された分布を備えたランダム変数の構築へのアプローチも提供します。同じ根本的なアイデアに従って、標準数から所定の分布で乱数を作成するための反転法で役立ちます。

多分

${displaystyle x}$

一

${displaystyle mathbb {r}}$

– 変数と

${displaystyle f_ {x}コロンMathbb {r}から[0,1]}$

その分布関数。それはを意味します

${displaystyle f_ {x}}$

適用可能です

1. 
   ${displaystyle f_ {x}}$

   単調は右側で成長し、安定しています。

2. 以下は、値の動作を制限するために適用されます
   ${displaystyle lim _ {xto -infty} f_ {x}（x）= 0}$

   と

   ${displaystyle lim _ {xto infty} f_ {x}（x）= 1}$

   。

${displaystyle alpha}$

– Quantil：

毎日

${displaystyle rin mathbb {r}}$

と

${displaystyle mathbb {p}（x$

呼ばれています

${displaystyle alpha}$

-Quantil 。

左翼一般的な逆分布関数：

関数

${displaystyle f_ {x – }^{ – 1}コロン（0,1）からmathbb {r}}へ$

によって定義されます

${displaystyle f_ {x – }^{ – 1}（u）：= min {xin mathbb {r} mid f_ {x}（x）geq u}}}$

という意味です 左一般化された逆分布関数 から

${displaystyle f_ {x}}$

。 ^[初め] 一般に、これは単にと言われています 一般化された逆分布関数 。

権利一般化された逆分布関数：

関数

${displaystyle f_ {x+}^{-1}コロン（0,1）からmathbb {r}}へ$

によって定義されます

${displaystyle f_ {x+}^{-1}（u）：= inf {xin mathbb {r} mid f（x）> u}}}$

${displaystyle f_ {x}}$

。

は

${displaystyle f_ {x}}$

厳密に単調な上昇 その後、適用されます

${displaystyle f_ {x – }^{ – 1}（u）= f_ {x+}^{ – 1}（u）。}$

一般化された逆分布関数が定義されている分布関数は、必ずしも確率分布の一部である必要はないことに注意する必要があります。上記の4つのプロパティ（単調、法的能力、2つの制限値プロパティ）を満たすだけです。これは、分布関数を備えた確率分布の構築のための一般化された逆分布関数に基づいています

${displaystyle f}$

使用されている。したがって、定義におけるそのような確率分布の存在は循環されます。

一般化された逆分布関数の表記

${displaystyle f^{ – 1}}$

分布関数として理解されるべきです

${displaystyle f}$

常に反転可能である必要はありません。これは、たとえば、間隔で一定の場合に発生します。は

${displaystyle f}$

ただし、反転可能、分布関数の逆数と一般化された逆分布関数一致。一般化された逆分布関数は、逆とは対照的に、常に「一般化」として存在します。

定義によれば、一般化された逆分布関数の機能値はポイントにあります

${displaystyleu}$

分布機能が関数値の最小数

${displaystyleu}$

超えて。

分布関数が着実にある場合、この値は次の方法で明確に取得されます。

${displaystyleu}$

上向きに移動します。これにより、分布関数が1ポイントまたは間隔で削減されます。ある時点で分布関数を削減します

${displaystyle（x、u）}$

、そうです

${displaystyle x}$

ポイントでの一般化逆分布関数の関数値

${displaystyleu}$

。分布関数が間隔で分布関数を削減する場合、最小の間隔からポイントを選択します

${displaystyle x}$

-Coodinateは持っています。

例として、指数分布の分布関数を考慮してください。彼女は介して与えられます

${displaystyle f_ {x}（x）= {begin {cases} 1-mathrm {e} ^{ – lambda x}＆xgeq 0、\ 0＆x <0、end {cases}}}}}$

したがって

${displaystyle lambda}$

本当にポジティブな実際のパラメーターです。彼女はオンです

${displaystyle（0、infty）}$

厳密に単調な成長を行い、この間隔の生物を形成します

${displaystyle（0.1）}$

あちらへ。これは、明確な反転関数があることを意味します

${displaystyle f_ {x – }^{ – 1}}$

、溶解することによって

${displaystyle u = 1-mathrm {e} ^{ – lambda x}}$

後

${displaystyle x}$

結果。これにより、一般化された逆分布関数が提供されます

${displaystyle f_ {x – }^{ – 1}（u）= {frac {-ln（1-u）} {lambda}}}}$

。

一般に、ここで一般化された逆分布関数を直接計算することはめったにありません。しばしば一定の領域を持っているため、分布関数はほとんど反転しません。この例は、離散分布の分布関数です。同様に、分布関数が利用できなくても、可逆性があっても、後退できる閉じたディスプレイはありません。正規分布の分布関数は、常に数値的に計算する必要があります。

一般化された逆分布関数は単調であり、左側は着実に、したがってランダムな変数または測定可能です

${displaystyle（（0,1）、{mathcal {b}}（（0,1））}}$

後

${displaystyle（mathbb {r}、{mathcal {b}}（mathbb {r}）}$

。測定室を提供する場合

${displaystyle（（0,1）、{mathcal {b}}（（0,1））}}$

一定の等分布で

${displaystyle {mathcal {u}} _ {（0,1）}}}$

または、ルベーグの測定値に相当すると、以下が適用されます。

の分布

${displaystyle f^{ – 1}}$

下

${displaystyle {mathcal {u}} _ {（0,1）}}}$

その確率はオンです

${displaystyle mathbb {r}}$

、分布関数

${displaystyle f}$

所有。

すべての確率

${displaystyle p}$

の上

${displaystyle mathbb {r}}$

分布関数

${displaystyle f_ {p}}$

ランダム変数の分布として

${displaystyle f_ {p}^{-1}コロン（（0,1）、{mathcal {b}}（（0,1））、{mathcal {u}} _ {（0,1）}）to$

理解されます。

ランダム変数が指定された分布の構築 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ランダム変数は、測定室間の測定可能な画像として導入されます。基本領域で確率がまだ定義されている場合、分布を定義できます。ただし、さらなる抽象化の過程では、ランダム変数の分布とは対照的に、基本的な部屋と関連する確率がますます重要になっています。特定の分布を持つすべてのランダム変数について、確率寸法を備えた適切な基本空間を補充できることが効果的に見ることができます。一般化された逆分布関数は、実際の分布のためのこのような引数を提供します。特定の分布を持つすべての実際のランダム変数は、ゼロから1までの間隔のランダム変数として、一定の等分布で理解できます。 ^[4] したがって、ランダム変数とその分布の調査は、基礎となる確率領域から切り離すことができます。

確率的に独立したランダム変数を構築します [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

上記の構造は、実際の独立したランダム変数の存在を示すために部分的に使用されています。間隔での確率的に独立した存在は、最初に近似引数を介して使用されます

${displaystyle（0.1）}$

表示されている独立したランダム変数。指定された一般化逆分布関数を備えたこれらのランダム変数のチェーンは、特定の分布を備えた実際のランダム変数であり、再び確率的に独立しています。 ^[5]

分位の決定 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

確率分布です

${displaystyle p}$

（またはランダム変数

${displaystyle x}$

分布

${displaystyle p_ {x} = p}$

）与えられた場合、関連する一般化された逆分布関数が配信されます

${displaystyle f^{ – 1}}$

、ポイントで評価されます

${displaystyleu}$

、常にa

${displaystyleu}$

-Quantil。これは定義から直接続きます。

1. ↑ ^{a b} Kusolitsch： 測定と確率理論。 2014、S。113。
2. ↑ ジョージ： 安stic。 2009年、S。23。
3. ↑ エリック・W・ポインターシュタイン： 分位機能 。 の： Mathworld （英語）。
4. ↑ Achim Klenke： 確率理論 。 3.エディション。 Springer-Verlag、Berlin Heidelberg 2013、ISBN 978-3-642-36017-6、 S. 43 、doi： 10,1007/978-3-642-36018-3 。
5. ↑ ジョージ： 安stic。 2009年、S。72–73。