メインファイバーバンドル – ウィキペディア

それは数学です メインファイバーバンドル 、 また 主ファイバーバンドル また バンドル 、疲れた製品が形式化されており、とりわけ物理学で使用されている違いの理論、特にヤンミルの分野を説明する違いの幾何学の概念。

原則は、デカルト製品の概念を一般化します

${displaystyle xtimes g}$

部屋

${displaystyle x}$

トポロジーグループ

${displaystyle g}$

。デカルト製品のように

${displaystyle xtimes g}$

また、原則の束もあります

${displaystyle p}$

次のプロパティ：

1. のグループ操作
   ${displaystyle g}$

   の上

   ${displaystyle p}$

   と同じように

   ${displaystyle（x、g）h =（x、gh）}$

   製品室用

2. の投影マッピング
   ${displaystyle p}$

   後

   ${displaystyle x、}$

   これは、製品スペースが発生した場合の最初の要因への投影を表します。

   ${displaystyle（x、g）からx}$

   。

製品の施設とは異なり、グループの中立要素のために製品の場合の場合のように、主要なバンドルには好ましいカットがありません

${displaystyle g}$

与えられた。そのため、要素があります

${displaystyleをお願いしますx}$

好ましい要素はありません

${displaystyle p}$

の識別として

${displaystyle（x、e）}$

。また、一般的に安定した投影はありません

${displaystyle g、}$

製品スペースの2番目の要素への投影を一般化します。

${displaystyle（x、g）からg}$

。したがって、原理のバンドルは、たとえいくつかの追加の仮定が行われたとしても、バンドルの表現を製品ルームとして妨げる複雑なトポロジを持つことができます。

機能

${displaystyle fcolon xRightArrow g}$

些細な束のカットとして使用できます

${displaystyle pi colon xtimes grightarrow x}$

解釈、つまり、

${displaystyle s（x）=（x、f（x））}$

。プリンシパルバンドルのカットは、Gに値するイラストの概念を一般化します。

原則の束は繊維の束です

${displaystyle p}$

部屋の上

${displaystyle x}$

投影付き

${displaystyle pi colon pto x}$

、一定の正しい手術を提供します

${displaystyle ptimes grightarrow p}$

（次のように書き留めます

${displaystyle（p、g）mapsto pg}$

）トポロジーグループ

${displaystyle g}$

、操作がそれ自体のすべての繊維を描写するように（つまり、

${displaystyle pi（pg）= pi（p）}$

すべてのために

${DisplayStyle Pin P}$

そしてすべて

${displaystyle gin g}$

）そして、すべてのファイバーでは、グループフリー（すべてのポイントはグループ不変のニュートラル要素のみの下にあります）とトランシティブ（繊維のすべてのポイントが他のポイントによって他のポイントに到達されます）。グループ

${displaystyle g}$

呼ばれています 構造グループ 主要なバンドルの。

それは

${displaystyle p}$

と

${displaystyle x}$

滑らかなマニホールド、構造グループA嘘グループ、および操作自体がスムーズに、それが主要なバンドルの名前です 滑らかなバンドル 。

他のファイバーバンドルと同様に、投影はトポロジー的に些細なことをすることができます：だからすべてがあります

${displaystyleをお願いしますx}$

オープン環境

${displaystyle usubset x}$

、 となることによって

${displaystyle pi ^{ – 1}（u）}$

ホーマーフも

${displaystyle utimes g}$

。各繊維は、トポロジカル領域と見なされている構造グループに同質的です

${displaystyle g}$

。グループの手術を考慮して、主要なバンドルの些細なことは可能です。

${displaystyle phi colon pi ^{ – 1}（u）rightArrow utimes g}$

それを選択してください

${displaystyle pi（ug）= pi（u）、phi（and）= phi（u）g}$

すべてのために

${displaystyle uin pi ^{ – 1}（u）、gin g}$

。すべての地元の些細なこと

${displaystylephi}$

ローカルカットを誘導します

${displaystyle fcolon uto p}$

富

${displaystyle f（x）= phi ^{ – 1}（（x、e））}$

、それによって

${displaystyle a g}$

ニュートラルな要素を説明してください。

逆に、すべてのローカルカットも誘導します

${displaystyle fcolon uto p}$

地元の些細なこと

${displaystylephi}$

によって与えられた

${displaystyle phi（p）=（pi（p）、g_ {p}）}$

と

${displaystyle f（pi（p））g_ {p} = p}$

。したがって、地元の些細なことは、一般的に繊維束に存在する局所的なカットの存在から続きます。一般的な繊維の束とは対照的に（たとえば、スムーズな多様性の接線束を見ると）、グローバルな些細な可能性がグローバルなカットの存在を意味するだけでなく、グローバルなカットの存在も意味します。

物理的な文脈では、キャリブレーションの選択は、（ローカルまたはグローバルな状況に応じて）些細なことまたはカットの選択として理解できます。 ^[初め]

フレームバンドル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle m}$

分化したN次元マニホールド。フレームバンドル

${displaystyle f（m）}$

接線部屋のすべての基地の量です

${displaystyle t_ {x} m、xin m}$

、標準投影付き

${displaystyle pi colon f（m）rightarrow m}$

。グループ

${displaystyle g：= operatorname {gl}（n、mathbb {r}）}$

繊維に忠実で忠実に見えます。

オーバーラップ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Galois Overlaysは、構造グループとしてのトップトランスフォーメーションの慎重なグループとの主要なバンドルです。

同種の部屋 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

多分

${displaystyle g}$

嘘のグループと

${displaystyle hsubset g}$

完成したサブグループ、そうです

${displaystyle piコロンgrightarrow g/h}$

構造グループを持つ原則の束

${displaystyle h}$

。

トポロジと微分ジオメトリには、主要なバンドルからいくつかのアプリケーションがあります。物理学には主要なバンドルのアプリケーションもあります。そこで彼らは、オーク理論の数学的枠組みの決定的な部分を形成します。

の場合には

${displaystyle g = operatorname {gl}（n、mathbb {c}）}$

みんなに行けますか

${displaystyle g}$

-Principalバンドル

${displaystyle piコロンprightarrow b}$

関連する複雑なベクトルバンドル

${displaystyle pi colon erightarrow b}$

定義

${displaystyle e =（ptimes mathbb {c} ^{n}）/sim}$

同等の関係で

${displaystyle（p、v）sim（pg、g^{-1} v）quad forall gin operatorname {gl}（n、mathbb {c}）}$

。

あなたができるすべての人に似ています

${displaystyle operatorname {gl}（n、mathbb {r}）}$

– 関連する実際のベクトルバンドルの原理のバンドルを定義します。

たとえば、be

${displaystyle m}$

分化したN次元マニホールドと

${displaystyle f（m）}$

フレームバンドル。その後、接線バンドルはです

${displaystyleTm}$

の標準的な効果のためのベクトルの関連する束

${displaystyle operatorname {gl}（n、mathbb {r}）}$

の上

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

。

メインファイバーバンドルの関連するベクトルのバンドルも、より一般的に定義できます。このために

${displaystyle prightarrow m}$

a

${displaystyle g}$

– プリンカルバンドルと

${displaystyle rho：gto mathrm {aut}（v）}$

実際の表現または複雑な表現。それから

${displaystyle e =（ptimes _ {rho} v）：=（ptimes v）/g}$

同等の関係で

${displaystyle（p、v）sim（pg、rho（g^{-1}）v）quad forall gin g}$

。

に関連付けられたベクトルバンドルと呼ばれるベクトルの束

${displaystyle piコロンprightarrow b}$

と

${displaystyle rho}$

。の場合には

${displaystyle g = operatorname {gl}（n、mathbb {c}）}$

この方法で構築されたベクトルバンドルの場合、上記と一致している場合

${displaystyle rho}$

基本的な表現が選択します。

a

${displaystyle g}$

-Principalバンドル

${displaystyle prightarrow m}$

サブグループにあることができます

${displaystyle hsubset g}$

バンドルを減らします

${displaystyle p/hrightarrow m}$

カットがあります。特に、サブグループに関しては、主要なバンドルはまさに些細なことです

${displaystyle left {1right}サブセットg}$

減少します。

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

フレームバンドルを検討してください

${displaystyle f（m）rightarrow m}$

n次元の分化マニホールド、構造グループはです

${displaystyle g = operatorname {gl}（n、mathbb {r}）}$

。次に、次のことが適用されます。

• その後、構造グループを正確に開くことができます
  ${displaystyle operatorname {gl}（k、mathbb {r}）Subset operatorname {gl}（n、mathbb {r}）}$

  接線のバンドルを減らします

  ${displaystyle n-k}$

  Linearには独立したカットがあり、

• 構造グループはいつでも開くことができます
  ${displaystyle o（n）}$

  削減、これはリーマンメトリックの選択に対応します、

• その後、構造グループを正確に開くことができます
  ${displaystyle operatorname {so}（n）}$

  多様性が向けられている場合は、減少します。

以下にあります

${displaystyle n = 2m}$

ストレート番号：

• その後、構造グループを正確に開くことができます
  ${displaystyle operatorname {gl}（m、mathbb {c}）Subset operatorname {gl}（2m、mathbb {r}）}$

  多様性が速い場合は減少してください。

• 多様性が好ましい場合、構造グループを開くことができます
  ${displaystyle u（m）}$

  削減する。

以下にあります

${displaystyle n = 2m+1}$

奇数：

• 多様性に接触構造がある場合、構造グループを開くことができます
  ${displaystyle u（m）左{1 right}}$

  削減する。

関係1フォームは、主要なバンドルの研究に重要な役割を果たします

${displaystyle omega in omega ^{1}（p、{mathfrak {g}}）}}}$

およびそれらの曲率2フォーム

${displaystyle omega = domega +{tfrac {1} {2}} [Omega Wedge Omega] inomega ^{2}（m、{mathfrak {g}}）}$

。

負荷なし

${displaystyle mathbb {r} ^{3}}$

電界を満たします

${displaystyle e}$

と磁場

${displaystyle b}$

Maxwell方程式。フィールドには可能性があります

${displaystylephi}$

と

${displaystyle a}$

と

${displaystyle e = -operatorname {grad} phi +{tfrac {partial a} {partial t}}}$

と

${displaystyle b = operatorname {rot} a}$

。ただし、この可能性は明らかではありません

${displaystyle phi ^{prime} = phi +{tfrac {partial f} {partial t}}}$

と

${displaystyle a^{prime} = a+operatorname {grad} f}$

任意の機能の場合

${displaystyle f}$

同じフィールドを与えます。

あなたはミンコフスキーの部屋の時間を見ます

${displaystyle m = mathbb {r} ^{4}}$

および主要なバンドル

${displaystyle mtimess^{1}}$

コンテキストフォームで

${displaystyle omega = mathrm {d} theta+phi、mathrm {d} t+a_ {1}、mathrm {d} x_ {1}+a_ {2}、mathrm {d} x_ {2}+a_ {3}、mathrm {d} x_}$

。電磁界は、その形式の曲率を示します。

${displaystyle omega = mathrm {d} omega = sigma e_ {i}、mathrm {d} twedge mathrm {d} x_ {i}+sigma b_ {i}、mathrm {d} x_ {j}ウェッジMathrm {d} x_ {k}。$

オーク変換は形のものです

${displaystyle omega ^{prime} = omega +mathrm {d} f}$

。

Maxwell方程式はとして策定できます

${displaystyle mathrm {d} *omega = 0}$

、それによって

${displaystyle *}$

ホッジオペレーターはです。

• David Bleecker： ゲージの理論と変動原則 。ドーバーエディションauflage。 Addison-Wesley Publishing、1981、ISBN 0-486-44546-1。
• ユルゲン・ジョスト： リーマンの幾何学と幾何学的分析 。 （第4版）。 Springer、New York 2005、ISBN 3-540-25907-4
• R. W.シャープ： 微分ジオメトリ：カルタンのクラインのエルランゲンプログラムの一般化 。スプリンガー、ニューヨーク1997、ISBN 0-387-94732-9。
• ノーマン・スティーンロッド： ファイバーバンドルのトポロジー 。プリンストン大学出版局、プリンストン1951、ISBN 0-691-00548-6。
• Martin Schottenloher： 物理学におけるジオメトリと対称 。 Vieweg、Braunschweig 1995、ISBN 3-528-06565-6。

1. ↑ Pierre Deligne、Pavel Eingof、Daniel Freed、Lisa Jeffrey、David Kazhdan、John Morgan、David Morrison、Edward Witten（編）： 量子畑と文字列：数学者のためのコース 。 American Mathematical Society、1999、ISBN 0-8218-1987-9、 S. 18 。