マスター方程式-Wikipedia

一 マスター方程式 現象学的に正当化された一次方程式の微分方程式であり、システムの確率の時間発達を説明しています。

マスター方程式は、個別の量の状態からの条件です。

${displaystyle {frac {mathrm {d} p_ {k}} {mathrm {d} t}} = sum _ {ell neq k}（t_ {kell} p_ {ell} -t_ {ell k} p_ {k}）。}}}$

したがって

${displaystyle p_ {k}}$

確率は、システムが州にあるということです

${displaystyle k}$

配置されています

${displaystyle t_ {kell}}$

条件の移行率

${displaystyle ell}$

状態に

${displaystyle k}$

は。同様に、連続条件（および対応する確率）のマスター方程式は、個別の条件と同様に合計ではなく統合のみでのみ策定できます。

確率理論では、これはChapman-Kolmogorow方程式の統合されたマスター方程式がに対応する連続Markowプロセスと見なされます。 ^[初め] 。

マトリックスです

${displaystyle t_ {ell k}}$

対称性（つまり、すべての微視的遷移は可逆的であり、両方向の移行率は同じです）は次のとおりです。

${displaystyle t_ {kell} = t_ {ell k}、}$

したがって：

${displaystyle {frac {mathrm {d} p_ {k}} {mathrm {d} t}} = sum _ {ell} t_ {kell}（p_ {ell} -p_ {k}）。}}$

マスター方程式（integro差動方程式）は、無限秩序の部分微分方程式として表現できます。 ^[2] 。

マスター方程式は、コルモゴロフ前方程式の同等の変換です。時間のないマーコープロセスに

${displaystyle p_ {ij}（t）：= p（x（s+t）= jmid x（s）= i）}}$

条件からの遷移の遷移確率

${displaystyle i}$

状態にあります

${displaystyle j}$

。あなたは小さな値になることができます

${displaystyle delta t}$

形で

${displaytle p_ {ij}（tの）= dellow _ {ij} el _ {ij} ofel t+o（t）}}。$

表現します

${displaystyle q =（q_ {ij}）}$

強度マトリックスは、そのエントリがメインの対角線から離れたプロセスのジャンプレートです。エントリに

${displaystyle q_ {kk}}$

主な斜めは否定された値を取ります

${displaystyle -q_ {kk}}$

ジャンプレートの方法の役割、その相互価値

${displaystyle -1/q_ {kk}}$

指数関数的に分配された滞在期間の期待値は州にあります。と

${displaystyle delta _ {ij}}$

Kronecker Deltaは意味していますか

${displaystyle o（delta t）}$

Landau表記です。遷移確率をマトリックスに持ち込みましょう

${displaystyle P（t）：=（p_ {ij}（t））}$

一緒に、その時間的発達はコルモゴロフのような前方方程式によって記述されています

${displaystyle {frac {mathrm {d} p（t）} {mathrm {d} t}} = p（t）q、}$

ここで、初期値

${displaystyle P（0）}$

ユニットマトリックスはです。 ^[3] マトリックス指数を使用して、ソリューションはフォームにあります

${displaystyle p（t）= exp（tq）}$

代表する。このソリューションは、チャップマンコルモゴー方程式を満たします

${displaystyle p（s+t）= p（s）p（t）}$

。

強度行列の各ライン合計がゼロであるため、適用されるため

${displaytle q _ {{kk} = – sum _ {{lneq k} q_ {kl}}$

。これを使用して変換できます

${displayst {smathrm {{drm {d} {my {wik} {d}} {d} {d} {d}}。_ {kl}）。$

あなたが置き換えた場合

${displaystyle p_ {k}：= p_ {i}}$

そして、強度マトリックスはその転置を介しています

${displaystyle t_ {kl}：= q_ {lk}}$

マスター方程式の形式は、結果を説明しました。

マスター方程式を使用して、統計的に観察可能な時間の発達を説明できます

${displaystyle x}$

使用する：

${displaystyle e（x）（t）= sum _ {x} xp_ {x}（t）は{frac {mathrm {d} e（x）} {mathrm {d} t}}}（t）= sum _ {x} x {frac {mathrm {x} {x} {x} {x} {x} {x} {d} ）}$

、

マスター方程式は背面で使用できます。これを使用して（ジャンプモーメントの導入後）、線形応答理論を導出することができます。

上記の形式のマスター方程式は、最初に量子統計におけるヴォルフガングパウリに由来するため、パウリマスター方程式とも呼ばれます。これは、状態の確率、つまりシーリングマトリックスの対角線要素の微分方程式です。また、非角質要素（Lindblad形式のマスター方程式）を含む一般化もあります。 ^[4] もう1つの一般化は、森2倍形式主義における中島の20方程式です。

一般に、マスター方程式の統計力学では、確率分布の基本方程式（多くの場合、貸借対照表方程式の形で）であり、その後、fokker-planck方程式の微分方程式（拡散方程式を含む）の微分方程式（拡散方程式を含む）など、より簡単に解きやすくなり、境界交差をより簡単に導き出すことができます。顕微鏡的に有効なのは、これらの近似の背後にあります マスター方程式 したがって、名前。

• Hartmut Haug： 統計物理学 – 平衡理論と速度論 。第2版​​。 Springer 2006、ISBN 3-540-25629-6。
• マルクス・F・ウェーバー、アーウィン・フレイ： マスター方程式と確率的経路積分の理論 。の： 物理学の進捗状況に関する報告 、バンド80、nr。 4、2017、S。046601。 2：10.1088/1361-6633/AA5AE2 。 Arxiv：1609.02849 。

1. ↑ ヴァン・カンペン 物理学と化学の確率的問題 、ノースホランド、カピテルV、マスター方程式
2. ↑ 確率的プロセス：物理学から金融まで、ポール、バシュナゲル、S。47
3. ↑ GötzKersing、Anton Wakolbinger： 確率的プロセス 。 Birkhäuser（Springer Basel）、バーゼル2014。セクション5.1、pp。123–130、 最終的に状態空間を備えたMarkowプロセス 。
4. ↑ z。 B. A. J.フィッシャー オープン量子システムに関する講義 2004年 （ 記念 の オリジナル 2009年5月23日から インターネットアーカイブ ）） 情報： アーカイブリンクは自動的に使用されており、まだチェックされていません。指示に従ってオリジナルとアーカイブのリンクを確認してから、このメモを削除してください。 @初め @2 テンプレート：webachiv/iabot/www.cmmp.ucl.ac.uk