Riemann-RochのSatz – ウィキペディアウィキペディア

Riemann-Roch文 （数学者のベルンハルト・リーマンと彼の学生グスタフ・ロックの後）は、コンパクト・リーマン地域の理論の中心的な声明です。これは、コンパクトなリーマン領域に所定のゼロポイントとポールポイントが存在する線形に依存しないメロモ形成関数の数を示しています。この文は後に代数曲線に拡張され、さらに一般化され、現在の研究でもさらに開発されています。

特定の場所で関数のゼロポイントとポールポイントを処方できるようにするために、用語 除数 紹介された。多分

${displaystyle x}$

リーマンエリア。機能

${displaystyle dcolon xRightArrow Mathbb {z}}$

呼ばれています 除数 、ゼロから分離されたポイントでのみ異なる場合。

meromorphic関数の除数

${displaystyle F：XRightArrow Mathbb {p} ^{1}}$

リーマン分野で

${displaystyle（f）}$

記述され、各ポイントがそのような方法で定義されています

${displaystyleをお願いしますx}$

のゼロまたは極スペースオーダー

${displaystyle f}$

の

${displaystyle x}$

割り当てられています：

${displaystyle left（fright）（x）：= {begin {cases} 0、＆f {mbox {holomorph and Unequal null in}} x \ k、＆f {mbox {はゼロポイント}}} k {mox {in}} x} x f {mbox {}} xend {case}}}}}の環境で消える{$

これは、関数の除数は、のすべての接続コンポーネントの関数が最初の定義の後に実際に除数であることを意味します。

${displaystyle x}$

ゼロ関数とは異なります。 Meromorphe 1フォームの場合

${displaystyle omega}$

の上

${displaystyle x}$

除inorになります

${displaystyle（omega）}$

関数で定義されています。除数

${displaystyle d}$

呼ばれています 標準的な除数 彼がmeromorphic 1フォームの除数である場合

${displaystyle（omega）}$

書いてみましょう

${displaystyle d =（omega）}$

。

コンパクトなリーマンエリアの場合、除数の程度は

${displaystyle d}$

によって定義されます

${dispplystyle textyty deg d：= sum _ {xin x} d（x）}}}$

。最終的には、孤立したポイントからの着用者のコンパクトさのために、有限の量が必要であるためです。

多分

${displaystyle x}$

トポロジカルな性別からのコンパクトなリーマンエリア

${displaystyle gin mathbb {n} _ {0}}$

と

${displaystyle d}$

除数

${displaystyle x}$

。次に、次のことが適用されます。

${displaysyle he（d）-ell（k-d）= dr d+1-g}$

${displaystyle k}$

標準的な除数を表します

${displaystyle x}$

。

${displaystyle ell（e）}$

除数について説明されています

${displaystyle e}$

の寸法

${displaystyle mathbb {c}}$

– ベクトルスペース

${displaystyle l（e）}$

meromorphic関数

${displaystyle x}$

そのゼロポイントとポールポイントは、次のように除数によって制限されています。

${displaystyle l（e）：= left {f：xRightArrow mathbb {p} ^{1} {mbox {meromorph}}、|、left（fright）（x）geq -e（x）;$

非シングル射影代数曲線の場合

${displaystyle x}$

代数体の上

${displaystyle k}$

Riemann-Rochによる文は、通常、コホモロジー理論の助けを借りて策定されます。

それから読みます：

${displaystyle dim _ {k} h^{0}左（x、{mathcal {o}} _ {x}右）-dim _ {k} h^{1}左（x、{mathcal {o}}}} _ {x}右）= 1-g}$

${displaystyle {mathcal {o}} _ {x}}$

通常の機能の叫びです

${displaystyle x}$

。トポロジーの性別の代わりに、曲線の算術性別が発生します。

${displaystyle k = mathbb {c}}$

トポロジーと。 Serre’s Duality Setは、イベントの文言は

${displaystyle k = mathbb {c}}$

Riemannのエリアに関するセクションのそれで。

• オットーフォースター： リーマンのエリア （= ハイデルバーグペーパーバック 184）。スプリンガー、ベルリンu。 1977、ISBN 3-540-08034-1（英語： リーマンの表面に関する講義 （= 数学の大学院テキスト 81）。修正された2番目の印刷。 Ebonda 1991、ISBN 3-540-90617-7）。
• ロビン・ハートショーン： 代数形状 （= 数学の大学院テキスト 52）。スプリンガー、ニューヨークu。 a。 1977、ISBN 0-387-90244-9。
• クラウスラモトカ： リーマンのエリア。 スプリンガー、ベルリンu。 a。 2005年、ISBN 3-540-57053-5。
• ジェレミー・グレイ、リーマン・ロック定理と幾何学、1854-1914 、ICMベルリン1998、Documenta Mathematica、1998、S。811–822