ルートシステム – ウィキペディア

ルートシステム 数学では、有限反射グループの分類と最終的に寸法半シングルインチワンの複雑なLie-al-Breadのエイズとして機能します。

部分

${displaystyle r}$

ベクタールームの

${displaystyle v}$

体の上

${displaystyle k}$

特性0は意味します ルート教室 、それが次の条件を満たしている場合：

1. 
   ${displaystyle r}$

   ついにそうです。

2. 
   ${displaystyle r}$

   の線形生産システムです

   ${displaystyle v}$

   。

3. それぞれに
   ${r}のdisplaystyleアルファ}$

   明確な線形形状があります

   ${displaystyle alpha ^{vee} in v ^{*}}$

   プロパティで：

${r}のdisplaystyleアルファ}$

呼ばれます 根。

a ルートシステムの削減 さらに適用される場合は利用できます

4. 2つの根です

${displaystyle alpha、beta}$

線形に依存するので、適用されます

${displaystyle alpha = PMベータ}$

linearformをdieします

${displaystyle alpha ^{vee}}$

どうしますか 牛 に

${displaystyle alpha}$

呼び出された;名前は、コックが二重空間の根系であるという事実によって正当化されます

${displaystyle v^{*}}$

形状。
イラスト

${displaystyle s_ {alpha}}$

反射であり、もちろん明確に決定されています。

それは

${displaystyle alpha}$

と

${displaystyleベータ}$

で2つのルーツ

${displaystyle alpha ^{vee}（beta）= 0}$

だからあなたもそれを示すことができます

${displaystyle beta ^{vee}（alpha）= 0}$

適用して、あなたは呼び出します

${displaystyle alpha}$

と

${displaystyleベータ}$

直交 お互いに。
あなたは組合としてこのようなルートシステムをできますか

${displaystyle r = r_ {1} cup r_ {2}}$

2つの非空白は、各ルートを書いています

${displaystyle r_ {1}}$

すべてのルートの直交

${displaystyle r_ {2}}$

それはルートシステムを意味します reduzibel 。この場合、あなたもできます

${displaystyle v}$

直接合計

${displaystyle v_ {1} oplus v_ {2}}$

それを分解してください

${displaystyle r_ {1} subleteq v_ {1}}$

と

${displaystyle r_ {2} subleteq v_ {2}}$

ルートシステムはです。ただし、空でないルートシステムが減少していない場合、それは言われています Irrezibel 。

ベクトル空間の寸法

${displaystyle v}$

呼ばれています ロースト ルートシステムの。部分

${displaystylepi}$

ルートシステムの

${displaystyle r}$

呼ばれています 基礎 、滝

${displaystylepi}$

の基礎

${displaystyle v}$

のすべての要素です

${displaystyle r}$

の要素の整数線形結合として

${displaystylepi}$

排他的または排他的に負の係数を伴う。

2つのルートシステム

${displaystyle rsubset v}$

と

${displaystyle r’subset v ‘}$

それからお互いにまさにそうです Isomorph ベクトルルームの同型がある場合

${displaystyle varphi colon vto v ‘}$

と

${displaystyle varphi（r）= r ‘}$

与えます。

あなたはオンすることができます

${displaystyle v}$

イラストがあるスカラー製品を定義します

${displaystyle s_ {alpha}}$

反射はそうです。削減の場合、これはコンポーネント上のスカラー製品で構成できます。ただし、

${displaystyle r}$

関係はありませんが、このスカラー製品は、要因を除いてさらに明確です。これは、最短の根が長さ1を持つように標準化できます。

原則として、1つのルートシステムが

${displaystyle k^{n}}$

（ほとんどの時間

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

）標準のスカラー製品「Live」を使用。の整数

${displaystyle alpha ^{vee}（beta）}$

と

${displaystyle beta ^{vee}（alpha）}$

次に、2つの根の間の可能な角度の重大な制限を意味します

${displaystyle alpha}$

と

${displaystyleベータ}$

。それが発生するからです

${displaystyle langle alpha、beta rangle = {sqrt {langle alpha、alpha rangle langle beta、beta rangle}}$

それか

${displaystyle 4cos ^{2}測定値（alpha、beta）}$

整数でなければなりません。これは、0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°の角度のみです。ベースの2つの異なる根の間には、角度が90°、120°、135°、150°のみが可能です。これらの角度はすべて実際に発生します。ランク2の例を参照してください。また、同じ刺激成分の2つの根の長さに対して数個の値だけが可能であるという事実もあります。

の自動化グループのサブグループ

${displaystyle v}$

反射の量のそれ

${displaystyle {s_ {alpha} | alpha in r}}$

手段が作成されます Weyl Group （Hermann Weylによると）そして一般的に

${displaystyle in}$

専用。定義されたスカラー製品に関しては、Weylgruppe Orthogonalのすべての要素は

${displaystyle s_ {alpha}}$

反射です。

グループ

${displaystyle in}$

実施された

${displaystyle r}$

したがって、最終的には常にです。また操作されています

${displaystyle in}$

の塩基の量で推移的

${displaystyle r}$

。

その場合

${displaystyle k = mathbb {r}}$

のミラーレベルを分解します

${displaystyle s_ {alpha}}$

セミスペースの部屋、合計いくつかの開いた凸パーティー、SO -Called ワイルチェンバーズ 。
これでも動作しています

${displaystyle in}$

Transitiv。

ワイルチャンバーの選択

${displaystyle {mathfrak {a}}^{+}}$

の量はありますか 正の根 （呼ばれます 基本的なワイルチャンバー ）によって定義します

${displaystyle r^{+}：= left {alpha in r：alpha^{vee}（x）> 0 forall xin {mathfrak {a}}^{+}右}}}$

${displaystyle r}$

終えた

${displaystyle alpha> beta longleftrightarrow alpha -beta in mathbb {z} _ {geq 0} r^{+}}$

${displaystyle alpha> 0}$

${displaystyle alpha <0}$

。 （この定義は、Weylチャンバーの選択に依存していることに注意してください。各Weylチャンバーの配置が得られます。）

一 単純なルート いくつかの正の根の合計として分解できない正の根です。

単純な根はの基礎を形成します

${displaystyle v}$

。正の（負の）根は、単純な根と非陰性（非陽性の）係数の線形組み合わせとして分解できます。

空の量は、ランク0の唯一の根系であり、削減も灌漑もない唯一のルートシステムでもあります。

イソモルフィアを除き、ランク1から根系が減少しています。

${displaystyle {alpha、-alpha}}$

と一緒です

${displaystyle a_ {1}}$

専用。還元されていない根系も見るなら、

${displaystyle {-2alpha、-alpha、alpha、2alpha}}$

ランク1の唯一の例。

Isomorphiaを除くランクからの根系のすべてが、次の形式のいずれかを持っています。

${displaystyle（alpha、beta）}$

ルートシステムの基礎です。

ランク2からのルートシステムの削減

教室を応援します 初め ×a 初め	教室を応援します 2
ルート教室b 2	ルートクラスシステムg 2

最初の例では、

${displayStyle a_ {1}回A_ {1}}$

、の長さの比率です

${displaystyle alpha}$

と

${displaystyleベータ}$

一方、他の場合には、幾何学的条件によって明確に決定されます。

イソモルフィアを除き、根系の削減に関するすべての情報は

${displaystyle r}$

彼のカルタンマトリックスで

${displaystyle c（r）=（beta ^{vee}（alpha））_ {alpha、beta in pi}}}$

含む。これを1つの形で行うこともできます Dynkin図 代表する。これを行うには、ベースの各要素のポイントを設定し、ポイントαとβをラインに接続します。

${displaystyle beta ^{vee}（alpha）alpha ^{vee}（beta）}$

決定されます。これらが複数の場合、関係マーク>または<、dを設定します。 H.短いルートに向かって「矢印」。 Dynkin図のコンテキストコンポーネントは、ルートシステムの灌漑コンポーネントに正確に対応しています。イライラ的な根系の図として、発生のみが発生する可能性があります。

インデックス

${displaystyle n}$

ランク、したがって図内のポイントの数を指定します。
ランクが小さい場合、Dynkin図からいくつかのアイデンティティを読むことができます。

• 
  ${displaystyle a_ {1} = b_ {1} = c_ {1}}$

  

• 
  ${displaystyle b_ {2} = c_ {2}}$

  

• 
  ${displaystyle a_ {3} = d_ {3}}$

  

したがって、たとえばフォーム

${displaystyle b}$

からのみ

${displaystyle n = 2}$

と

${displaystyle d}$

からのみ

${displaystyle n = 4}$

独立したクラス。
シリーズの1つ

${displaystyle a_ {n}}$

それまで

${displaystyle d_ {n}}$

帰属ルートシステムもあります 古典的なルートシステム 参照してください、残りの5つはAsです exempy また 例外的なルートシステム 。
言及されたすべての根系は、たとえば、半シングルの複雑なLie-albenの根系としても発生します。

Table of Contents

非還元ルートシステム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

灌漑、非還元根系の場合、1つの結合と考えることができるいくつかのオプションしかありません

${displaystyle b_ {n}}$

とともに

${displaystyle c_ {n}}$

（と

${displaystyle ngeq 1}$

）またはとして

${displaystyle b_ {n}}$

、その二重根が追加されました。

Lie-algebren [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

そうです

${displaystyle {mathfrak {g}}}$

最終的に寸法半分の嘘の代数と

${displaystyle {mathfrak {a}} subset {mathfrak {g}}}}$

カルタン亜代数。次に意味します

${displaystyle alpha in {mathfrak {a}}}$

ルートの場合

${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha}：= left {yin {mathfrak {g}}：左[x、yright] = alpha ^{vee}（x）y forall xin {mathfrak {a}}右}$

は。ここは

${displaystyle alpha ^{vee} in {mathfrak {a}} ^{*}}$

殺しフォームを使用しています

${displaystyle b}$

終えた

${displaystyle alpha ^{vee}（x）= 2 {frac {b（alpha、x）} {b（alpha、alpha）}} forall xin {mathfrak {a}}}}}$

定義された線形図。

多分

${displaystyle rsubset {mathfrak {a}}}$

根の量、そしてあなたはそれを示すことができます

${displaystyle（{mathfrak {a}}、r）}$

ルートシステムです。

特性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

このルートシステムには、次のプロパティがあります。

1. 
   ${displaystyle {mathfrak {a}}（mathbb {r}）：= left {ain {mathfrak {a}}：alpha ^{vee}（a）forall alpha in right}（a）}}}$

   の本当の形です

   ${displaystyle {mathfrak {a}}}$

   。

2. ために
   ${r}のdisplaystyleアルファ}$

   適用可能です

   ${displaystyle nalpha in r}$

   正確にいつ

   ${displaystyle n = PM 1}$

   。

3. すべてのために
   ${r}のdisplaystyleアルファ}$

   は

   ${displaystyle operatorname {dim}（{mathfrak {g}} _ {alpha}）= 1}$

   。

4. すべてのために
   ${displaystyle alpha、beta in r}$

   は

   ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha +beta} = left [{mathfrak {g}} _ {alpha}、{mathfrak {g}} _ {beta}右]}}$

   、 特に

   ${displaystyle left [{mathfrak {g}} _ {alpha}、{mathfrak {g}} _ {-alpha} right] Subset {mathfrak {a}}}}}}$

   。

5. 
   ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha}、{mathfrak {g}} _ {alpha}、left [{mathfrak {g}} _ {alpha}、{mathfrak {g}}} _ {{alpha}}} _$

   嘘嘘の代替sl（2、c）の等型の嘘嘘代節の緊張。

6. ために
   ${displaystyle alpha not = pm beta}$

   は

   ${displaystyle b（{mathfrak {g}} _ {alpha}、{mathfrak {g}} _ {beta}）= 0}$

   、d。つまり、ルートルームは殺害フォームに関する直交です。殺害フォームの制限

   ${displaystyle {mathfrak {a}}}$

   と

   ${displaystyle {mathfrak {g}} _ {alpha} oplus {mathfrak {g}} _ { – alpha}}}$

   ではありません。殺害フォームの制限

   ${displaystyle {mathfrak {a}}（mathbb {r}）}$

   リアルでポジティブです。

最終的に次元の半分の単純な複雑な嘘の嘘アルブレッドは、根系、すなわちダイナキン図を介して分類されます。

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

そうです

${displaystyle {mathfrak {g}} = sl（n、mathbb {r}）}$

。殺害フォームはです

${displaystyle b（x、y）= 2ntr（xy）}$

、カルタン亜代数

${displaystyle {mathfrak {a}}}$

レーン0の対角線マトリックスの代数です。

${displaystyle {mathfrak {a}} = left {operatorname {diag}（lambda _ {1}、ldots、lambda _ {n}）：lambda _ {1} +ldots +lambda _ {n} = 0right}}}}$

。参照します

${displaystyle e_ {i}}$

斜めのマトリックス

${displaystyle i}$

-TEM斜めのエントリ

${displaystyle lambda _ {i} = 1}$

および他の対角線エントリ0。

のルートシステム

${displaystyle {mathfrak {a}}}$

は

${displaystyle r = left {e_ {i} -e_ {j}：1leq inot = jleq nright}}$

。 1つも

${displaystyle alpha = e_ {i} -e_ {j}}$

デュアルフォーム

${displaystyle alpha ^{vee} in {mathfrak {a}} ^{*}}$

は

${displaystyle alpha ^{vee}（operatorname {diag}（lambda _ {1}、ldots、lambda _ {n}）= lambda _ {i} -lambda _ {j}}}$

。

ポジティブなワイルチャンバーとして、できることはありません

${displaystyle {mathfrak {a}}^{+} = left {operatorname {diag}（lambda _ {1}、ldots、lambda _ {n}）：ラムダ_ {1}> ldots> lambda = 0right}}$

${displaystyle r^{+} = left {e_ {i} -e_ {j}：1leq i$

。

単純な根はそうです

${displaystyle左{e_ {i} -e_ {i+1}：1leq ileq n-1right}}}$

。

ミラーリンググループ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

コクセターグループは、プレゼンテーションのあるグループとして抽象的に定義されています

${displaystyle左下r_ {1}、r_ {2}、ldots、r_ {n} mid（r_ {i} r_ {j}）^{m_ {ij}} = 1rightrangle} = 1$

と

${displaystyle m_ {ii} = 1}$

と

${displaystyle m_ {ij} geq 2}$

ために

${displaystyle inq j}$

、大会と同様に

${displaystyle m_ {ij} = infty}$

、滝

${displaystyle（r_ {i} r_ {j}）}$

無限の順序、つまりH.フォームの関係ではありません

${displaystyle（r_ {i} r_ {j}）^{m}}$

与えます。

コクセターグループは、ミラーリンググループの概念の抽象化です。

各コクセターグループは、dynkin図の不明瞭に対応しています。図のポイントは生産者に対応しています

${displaystyle r_ {1}、r_ {2}、ldots、r_ {n}}$

。

${displaystyle r_ {i}}$

と

${displaystyle r_ {j}}$

対応するポイントは通過します

${displaystyle m_ {ij}}$

接続されたバンド。

特異点 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ウラジミールアーノルドによると、初等災害はADE Dynkin図によって分類できます。

• Jean-Pierre Serre： 複雑な半嘘代数 、スプリンガー、ベルリン、2001年。