Satz Ven-Frobenius – ウィキペディア

ペロン・フロベニウスの文 非陰性行列の肯定的で最大の特異性に対する肯定的な自己ベクトルの存在を扱います。ステートメントには、効力法やマルコーチェーンなど、重要な意味があります。

この文は当初、正のマトリックスのより単純なケースのためにOskar Perronによって示され、その後、非陰性行列のためにFerdinand Georg Frobeniusによって一般化されました。

用語は、理解するのが肯定的であり、陰性です。

${displaystyle a = {begin {pmatrix} a_ {11}＆ldots＆a_ {1n} \ vdots && vdots \ a_ {n1}＆ldots＆a_ {nn} end {pmatrix}}>$

${displaystyle aleq b}$

、 もしも

${displaystyle b-ageq 0}$

適用可能です。

マトリックスからのみ

after-content-x4

${displaystyle ageq 0}$

必要な場合（一部の要素もゼロにすることもできます）、マトリックスを解体できるかどうかについて区別する必要があります。正方行列は、線と列の同時順列によって次の形式に転送できる場合、分解（減少）を意味します。

${displaystyle {hat {a}} = {begin {pmatrix} b＆0 \ c＆dend {pmatrix}}}$

;

${displaystyle b}$

と

${displaystyle d}$

正方形のマトリックスです。これが不可能な場合、マトリックスは避けられません（灌漑）。

Frobeniusの文は次のとおりです。

「アクセスできない非陰性行列

${displaystyle a = {begin {vatrix} a_ {i} end {vatrix}} _ {1}^{n}}}}}$

常にポジティブな特徴的なルートがあります

${displaystyle r}$

、特性方程式の単純なルート。他のすべての特徴的な根の量はこの数を超えています

${displaystyle r}$

いいえ。 「最大」特性ルート

${displaystyle r}$

独自のベクトルに対応します

${displaystyle with}$

正の座標で。

もっている

${displaystyle a}$

合計で

${displaystyle h}$

特徴的な根

${displaystyle lambda _ {0} = r、lambda _ {1}、…、lambda _ {h-1}}$

金額から

${displaystyle r}$

、したがって、これらの数値はすべて異なり、方程式のルーツです

${displaystyle lambda ^{h} -r ^{h} = 0}$

;

すべての特徴的な根を見ると

${displaystyle lambda _ {0}、lambda _ {1}、…、lambda _ {h-1}}$

マトリックス

${displaystyle a = {begin {vatrix} a_ {i} end {vatrix}} _ {1}^{n}}}}}$

複合体のポイントとして

${displaystyle lambda}$

レベル、これらの根のシステムが角度とともに起源の周りでレベルが回転したときに進むにつれて

${displaystyle {frac {2pi} {h}}}}$

それ自体が。ために

${displaystyle h> 1}$

${displaystyle a}$

行の「循環」形状への順列によって

${displaystyle a = {begin {pmatrix} 0＆a_ {12}＆0＆0＆…＆0 \ 0＆a_ {23}＆…＆0 \$

転送することができ、すべての対角線要素は正方形です。」 ^[初め]

ご覧のとおり、この文は、量の異なる固有値が量であるという事実を排除していません

${displaystyle | lambda | = varrho（a）= r}$

存在する可能性があります。ただし、

${displaystyle a}$

原生的 つまり、その効力です

${displaystyle a^{m}}$

のために

${displaystyle min mathbb {n}}$

ポジティブであり、それから固有えもののみがあります

${displaystyle lambda}$

から

${displaystyle a}$

と

${displaystyle | lambda | = varrho（a）}$

。

非陰性行列の場合、「最大」特性ルートと関連する独自のベクトルが非陰性であるように、Frobeniusの文は弱体化する必要があります。

「ポジティブマトリックス

${displaystyle a = {begin {vatrix} a_ {i} end {vatrix}} _ {1}^{n}}}}}$

常に実際のよりポジティブな特徴的なルートがあります

${displaystyle r}$

、特性方程式の単純なルートであり、他のすべての特性根の量を超えます。 「最大」特性ルートに

${displaystyle r}$

独自のベクトルはありますか

${displaystyle z =（z_ {1}、z_ {2}、…、z_ {n}）}$

マトリックス

${displaystyle a}$

正の座標で

${displaystyle z_ {i}> 0quad（i = 1,2、…、n）}$

[2]

ペロンの文は、フロベニウスの判決から論理的に続きます。これは、次の単純な考慮事項から見ることができます。マトリックスのすべての要素が正である場合、上記の円形構造は不可能です。しかし、これらは必然的に量のいくつかの根の存在から

${displaystyle r}$

この場合、量の想像上の特徴的な根はありません

${displaystyle r}$

。

正のマトリックスの場合

${displaystyle a> 0}$

${displaystyle varrho（a）}$

から

${displaystyle a}$

同時に、のポジティブでシンプルな特異性

${displaystyle a}$

は、

${displaystyle lambda _ {1} = varrho（a）> 0、}$

${displaystyle z> 0}$

${displaystyle az = varrho（a）z。}$

も、また

${displaystyle lambda _ {1}}$

マトリックスの他のすべての固有値の量よりも大きく、

${displaystyle lambda _ {1}> | lambda _ {j} |、j = 2、ldots、n。}$

${displaystyle 0$

この文は、より一般的にはプリミティブマトリックスに適用されます。

非陰性マトリックスを見ます

${displaystyle a = {begin {pmatrix} 0＆1＆0 \ 1＆0＆0 \ 0＆0＆1END {pmatrix}}、b = {begin {pmatrix} 0＆0＆0＆1 \ 1＆0＆0＆0＆0＆0＆1＆0END}} 0＆2end {pmatrix}}。}$

ダイマトリックス

${displaystyle a}$

二重値があります

${displaystyle 1 = varrho（a）}$

それは削減されているからと固有ヴァロンを減らしているからです

${displaystyle -1}$

、ブロックだからです

${displaystyle a_ {mm}}$

周期的です。
マトリックスもあります

${displaystyle b}$

は

${displaystyle varrho（b）= 1}$

固有値ですが、同じ量の2つの複雑な固有値があります。

${displaystyle b}$

周期的です。でのみ;時だけ

${displaystyle c}$

は

${displaystyle lambda _ {1} = 3 = varrho（c）}$

他の量よりも大きい

${displaystyle {frac {1} {2}}（1pm i {sqrt {3}}}}$

、そして最大の特異性はポジティブなベクトルです

${displaystyle（1,1,1）^{t}}$

。

文の重要性は、本質的な前提条件を直接または非依存性を確認できるという事実に基づいており、そのステートメントは、マークチェーンの効力法の収束と収束との収束に重要です。

収束の場合、固有値量の分離は特に

${displaystyle varrho（a）> | lambda |}$

${displaystyle lambda not = varrho（a）}$

重要なのは、プリミティブ（したがって特に正の）マトリックスにのみ適用されることです。それが、減衰係数を持つGoogleがGoogleのPagerankアルゴリズムにある理由です

${displaystyle d> 0}$

${displaystyle tgeq 0}$

正のマトリックスを使用しました。

Frobeniusの文は、Piero Sraffaによって開発された経済モデルの数学的根拠です。 ^[3]

• Bertram Huppert： 適用された線形代数 、ウォルター・ザ・グリュリーター（1990）。 ISBN 3-11-012107-7。
• O.ペロン： マトリックスの理論について 、 良い。そこには。 64、248-263（1907）。
• G. Frobenius： 非陰性要素からのマトリックスについて 、ベル。 ber。 1912年、456–477。
• トーマス・W・ホーキンス： 継続的な分数とペロン・フロベニウスの定理の起源 、アーカイブ履歴Exact Sciences、62、2008、655–717

1. ↑ Felix R. Gantmacher：Matrizen Calculation PartII。Berlin1959、p。47。
2. ↑ Felix R. Gantmacher：Matrizen Calculation PartII。Berlin1959、pp。46–47。
3. ↑ Luigi L. Pasinetti：生産理論に関する講義。 Metropolis-verlag、Marburg 1988。