リーマンの曲率 – ウィキペディア

リーマンの曲率 （短い riemntensor 、 リーマンの曲率 また 曲率 ）任意の寸法の部屋の曲率、より正確にはriemannscherまたはpseudo-riemannの多様性について説明します。彼は数学者のベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられ、リーマン幾何学の最も重要な援助の一つです。彼は、一般的な相対性理論の時空の曲率に関連して別の重要な用途を見つけます。

Riemannの曲率はレベル4のテンソルです。たとえば、できます。

${displaystyle r_ {ikp}^{m}}$

示す。この記事では、アインシュタインサム条約が使用されています。

diffeyomorphismは、微分可能な多様体の間の構造を浸透させるものであり、それに応じて（滑らかな）アイソメトリーは、リーマンのマニホールド間の構造画像です。マニホールドの多様性を区別することはユークリッド地域で局所的に異なっているため、リーマンの多様性が局所的にも密になっているかどうかについて疑問が生じました

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

それは。これはそうではありません。したがって、リーマンの曲率が導入されました。

${displaystyle mathbb {r} ^{n}}$

は。リーマンの曲率の定義をよりよく理解するために、次の考慮事項

${displaystyle mathbb {r} ^{2}}$

前に。

多分

${displaystyle zin gamma（tmathbb {r} ^{2}）}$

ベクトルフィールド。ユークリウズスで

${displaystyle mathbb {r} ^{2}}$

ユニットベクトルフィールドに適用されます

${displaystyle partial _ {1}、partial _ {2}}$

平等の座標軸に沿って

${displaystyle nabla _ {partial _ {1}} urla _ {partial _ {2}} z = ubla _ {partial _ {2}} ubla _ _ partial {1}} of、}}$

黒の文が確保する。一般的なベクトルフィールドの場合

${displaystyle x、y}$

これは、にも適用されます

${displaystyle mathbb {r} ^{2}}$

もう違います。もつ

${displaystyle with}$

プレゼンテーションを調整します

${dispasSastyle textStyle z = z^{i} partial _ {i}}$

適用されます

${displaystyle nabla _ {x} nabla _ {y} z = nabla _ {x} yz^{i} partial _ {i} = xyz^{i} partial _ {i}。}$

表現

${displaystyle yz^{i}}$

の方向の方向を説明します

${displaystyle z^{i}}$

方向

${displaystyle y}$

。の非契約を調べ続けている場合

${displaystyle nabla _ {x} nabla _ {y}}$

だからあなたはユークリッドのスペースに入ります

${displaystyle nabla _ {x} nabla _ {y} z-n-nabla _ {y} nabla _ {x} z =（xyz^{i} -yxz^{i}）partial _ {i} = nabla _ {{x、y] z} z。$

これは、一般的な多様性では間違っています。このため、次の定義が行われます。

多分

${displaystyle m}$

コンテキストとのスムーズな多様性

${displaystyle nabla}$

。その後、Riemannの曲率はイラストです

${displaystyle gamma ^{infty}（m、tm）times gamma ^{infty}（m、tm）times gamma ^{infty}（m、tm）to gamma ^{infty}（m、tm）、}$

それを通して

${displaystyle r（x、y）z = nabla _ {x} nabla _ {y} z-n-nabla _ {y} nabla _ {x} z-nabla _ {[x、y]} z}$

定義されています。と

${displaystyle gamma ^{infty}（m、tm）}$

滑らかなベクトルフィールドの空間であり、

${displaystyle [。、。]}$

嘘のクリップを意味しました。

ローカル座標では、Christoffelsシンボルを使用して曲率を表示できます。

${displaystyle r_ {ikp}^{m} = partial _ {k} gamma _ {ip}^{m} -partial _ {p} gamma _ {ik}^{m}+gamma _ {{ip}^{a}ガンマ_ {ak}^{ak}^{ak} {ak} {ak}ガンマ_ {ap}^{m}}$

注釈 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Do Carmoなどの一部の著者 ^[初め] Oder Gallot、Hulin、Lafontaine、 ^[2] Riemannの曲率をリバースサインで定義します。この場合、この兆候は、主要な曲率とリッチの湾曲の定義も回転しているため、すべての著者が主要な曲率、リッチの曲率、スカラー曲率の兆候と一致します。

テンソルフェルド [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

曲率は1つです

${displaystyle（1,3）}$

-TENSORFELD。

曲率の​​対称 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

差別化された多様性について

${displaystyle m}$

どんな文脈でも、曲率は最初の2つのエントリで曲がっています。つまり、適用されます

最初の交換対称	${displaystyle r（x、y）z = -r（y、x）zqquad}$	${displaystyle r_ {abcd} = -r_ {abdc} leftrightarrow r_ {ab（cd）} = 0}$

リーマンの多様性のために

${displaystyle（m、g）}$

Levi-Civitaのコンテキストでは、以下も適用されます

2番目の交換対称	${displaystyle g（r（x、y）z、t）= -g（r（x、y）t、z）qquad}$	${displaystyle r_ {abcd} = -r_ {bacd} leftrightarrow r _ {（ab）cd} = 0}$
ブロック交換対称性	${displaystyle g（r（x、y）z、t）= g（r（z、t）x、y）}$	${displaystyle r_ {abcd} = r_ {cdab}}$

ビアンキのアイデンティティ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

は

${displaystyle m}$

コンテキストとの差別化された多様性

${displaystyle nabla}$

そしてそうです

${displaystyle W、X、Y、Zin Gamma ^{infty}（m、tm）}$

ベクトルフィールド、次に、最初のビアンキのアイデンティティが適用されます

• 
  ${displaystyle r（x、y）z+r（y、z）x+r（z、x）y =（nabla _ {x} t）（y、z）+t（t（x、y）、z）+（nabla _ {y} t）（z、x）+t（y、z）、x） }$

  

ねじれスタノで

${displaystylet}$

と

${displaStyle（nabla _ {x} t）（y、z）= napla _ {x（y、z）） – t（napla _ {x} y、z）-t（y、nah、nabla _ {x} z）。}}$

2番目のビアンキのアイデンティティはです

• 
  ${displaystyle（nabla _ {x} r）（y、z）+r（t（x、y）、z）+（nabla _ {y} r）（z、x）+r（t（y​​、z）、x）+（nabla _ {z} r）（x、y）+r（z、x）、x）、y）= 0}$

  

と

${displaystyle（nabla _ {x} r）（y、z）w = nabla _ {x}（r（y、z）w）-r（nabla _ {x} y、z）w-r（y、nabla _ {x} z）w-r（y、z）nabla _ {x} w。} w。$

は

${displaystyle nabla}$

ねじれ – フリー、これはこれらの方程式が単純化する方法です

• 
  ${displaystyle r（x、y）z+r（y、z）x+r（z、x）y = 0}$

  

と

• 
  ${displaystyle（nabla _ {x} r）（y、z）+（nabla _ {y} r）（z、x）+（nabla _ {z} r）（x、y）= 0.}$

  

は

${displaystyle（m、g）}$

Levi-CivitaのコンテキストとのRiemannの多様性

${displaystyle nabla}$

、次に、最初のビアンキのアイデンティティが適用されます

• 
  ${displaystyle r（x、y）z+r（y、z）x+r（z、x）y = 0}$

  

そして、2番目のビアンキのアイデンティティは可能です

• 
  ${displaystyle nabla _ {w} g（r（x、y）z、v）+nabla _ {z} g（r（x、y）v、w）+nabla _ {v} g（r（x、y）w、z）= 0}$

  

書く。最初のビアンキのアイデンティティは、代数ビアンキアイデンティティとも呼ばれ、2番目の微分ビアンキアイデンティティとも呼ばれます。これらのアイデンティティは、数学者のルイージ・ビアンキにちなんで命名されています。

意味 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

リーマンの多様性

${displaystyle（m、g）}$

ユークリッド空間に対して局所的にアイソメトリーである場合、平らなことを意味します。つまり、あらゆる点についてです

${DisplayStyle Pin M}$

環境があります

${displaystyleu}$

そしてイラスト

${displaystyle phi colon uto vsubset mathbb {r} ^{n}}$

これはアイソメトリックなので、どちらの場合です

${displaystyle g（x、y）= phi ^{*} {overline {g}}（x、y）= {overline {g}}（phi _ {*} x、phi _ {*}}}$

適用可能です。ここで説明します

${displaystyle {overline {g}}}$

ユークリッドスカラー製品と

${displaystyle phi _ {*}}$

のプッシュフォワード

${displaystylephi}$

。

曲率への接続 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Levi-Civitaコンテキストを持つRiemannの多様性

${displaystyle nabla}$

リーマンの曲率がゼロと同一である場合、正確に平らです。したがって、ハンドルベアブル領域は、フラットな多様性に対する2次元の類似物です。

パン粉 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Riemann幾何学の最も重要な曲率変数の1つは、主要な曲率です。ガウスの通常の地域の曲率を一般化します。すべてのレベルはです

${displaystyle sigma}$

リーマンの多様性の時点での接線部屋で

${displaystyle m}$

曲率が割り当てられました。これは、中のエリアの曲率です

${displaystyle m}$

、

${displaystyle sigma}$

接線レベルとして、多様性の中で湾曲していません。

${displaystyle sigma}$

。ただし、定義はこの領域の助けを借りて行われるのではなく、Riemannの曲率とレベルの2つのベクトルの助けを借りて実行されます。

${displaystyle sigma}$

留め金。

リーマンの多様性があります

${displaystyle m}$

Riemannscher Metrikと

${displaystyle g}$

、1つの点

${displaystyle p}$

の

${displaystyle m}$

と2次元サブスペース（レベル）

${displaystyle sigmaサブセットt_ {p} m}$

接線部屋の

${displaystyle t_ {p} m}$

から

${displaystyle m}$

ポイントで

${displaystyle p}$

。なれ

${displaystyle v}$

と

${displaystyle in}$

このレベルを固定する2つの接線ベクトル。と

${displaystyle | vwedge w | = {sqrt {g（v、v）g（w、w）-g（v、w）^{2}}}}}$

の領域の場合

${displaystyle v}$

と

${displaystyle in}$

緊張した平行四辺形。
その後、サイズが掛けられます

${displaystyle k（v、w）= {frac {g（r（v、w）w、v）} {| vwedge w |^{2}}}} = {frac {g（r（v、w）w、v）} {g（v、v）g（w、w）-g（v、w）^{2}}}}}}$

レベルからのみ

${displaystyle sigma}$

オフですが、ベクトルの選択からではありません

${displaystyle v}$

と

${displaystyle in}$

。だからあなたは書く

${displaystyle k（v、w）}$

また

${displaystyle k（sigma）}$

これを呼びます パン粉 から

${displaystyle sigma}$

。

は

${displaystyle m}$

2次元で、すべてのポイントにあります

${displaystyle p}$

から

${displaystyle m}$

接線部屋のそのような2次元の部分空間、つまり接線部屋自体だけ、そして

${displaystyle k（sigma）}$

その後、ガウスルミングです

${displaystyle m}$

ポイントで

${displaystyle p}$

リッチテンソル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

アインシュタインフィールド方程式では、 リッチテンソル

${displaystyle r_ {mu nu}}$

（Gregorio Ricci-Curbastroによると）使用されています。テンソルの若返りの曲率に起因します。

${displaystyle r_ {mu nu} = pm r_ {mu lambda nu}^{lambda}}}$

Einstein Sum条約によると、発生するインデックスが追加されており、そのうちの1つは上部にあり、もう1つは以下です。リッチテンソルの形成、インデックス

${displaystyle lambda}$

追加した。サインは慣習によって設定されており、原則として自由に選択できます。

スカラー曲率 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

リッチテソルのテンソルの若返りまたは収縮は 曲率 （また ricci-sklar また スカラー曲率 ）。その形状を説明するために、表現は最初です

${displaystyle r_ {kappa}^{lambda}}$

ricci-tesorから派生した：

${displaystyle r_ {kappa} ^ {lambda} = g ^ {in lambda} r_ {in cappa}。}$

ある

${displaystyle g^{mu lambda}}$

矛盾したメートルテンソル。曲率の​​スケールは収縮に起因し、インデックスを超えています

${displaystyle lambda}$

追加した。

${displaystyle r = r_ {lambda}^{lambda}}$

曲率スケールは、リッチテンソルからも直接販売することができます

${displaystyle r_ {mu rho}}$

勝つ：

${displaystyle r = g^{mu rho} r_ {mu rho}}$

インデックス

${displaystyle mu}$

と

${displaystyle rho}$

追加した。

相対性の一般理論では、曲率のスケールはアインシュタイン要因にかかっています

${displaystyle kappa}$

とともに Laueスケール

${displaystylet}$

一緒に、エネルギーの衝動からの収縮によって

${displaystyle t_ {nu}^{mu}}$

形成されます：

${displaystyle t = t_ {lambda}^{lambda} = r/kappa}$

1. ↑ ManfredoPerdigãodoCarmo： Riemannian Geometry。 1992、S。89
2. ↑ Sylvestre Gallot、Dominique Hulin、Jacques Lafontaine： Riemannian Geometry。 第2版​​1990、p。107

• ManfredoPerdigãodoCarmo： Riemannian Geometry。 Birkhäuser、Boston 1992、ISBN 0-8176-3490-8。
• Sylvestre Gallot、Dominique Hulin、Jacques Lafontaine： Riemannian Geometry。 第2版​​。 Springer-Verlag、ベルリン /ハイデルベルク1990、ISBN 3-540-52401-0。
• ジョン・M・リー： Riemannianマニホールド。曲率の​​紹介。 Springer、New York 1997、ISBN 0387983228。
• ピーター・W・ミシュール： 微分形状のトピック。 AMS、プロビデンス、2008年、ISBN 978-0-8218-2003-2。