ブロカールの問題 – Wikipedia

ブロカールの問題 (ブロカールのもんだい、英: Brocard’s problem) とは、

n!+1=m2{displaystyle n!+1=m^{2}}

を満たす整数の組 (n, m) がいくつ存在するか、という数学の問題である。ただし、 n! は階乗を表す。アンリ・ブロカール（英語版）が1876年・1885年に自身の論文で提示した。1913年にはシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが同じ問題を独立に提示している。

ブラウン数[編集]

上式を満たす (n, m) の組はブラウン数 (英: Brown numbers) と呼ばれる。ブラウン数の組は

(4,5), (5,11), (7,71)（小さい方の数はオンライン整数列大辞典の数列 A146968、大きい方の数はオンライン整数列大辞典の数列 A216071を参照）

の3つしか知られていない。ポール・エルデシュは、これ以外の解は存在しないと予想した。Overholt (1993) は、ABC予想が真だとすれば解の個数が有限であることを示した。Berndt & Galway (2000) は10⁹までの n について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。

Dabrowski (1996)はOverholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ、任意の自然数 A に対し

n!+A=k2{displaystyle n!+A=k^{2}}

を満たす解は有限組しか存在しないこと、A が平方数でないときはABC予想によらず解は有限個しか存在しないこと（実際 A が p を法として平方剰余ではないような最小の素数 p をとると

k2−A{displaystyle k^{2}-A}

は p で決して割り切れないので n < p でなければならない）を示した。その後、京都大学の望月新一（日本）によってABC予想が証明され（2020）、任意の自然数Aに対して解が有限個であることが示された。Luca (2002)はこれをさらに一般化し、 2次以上で整数係数を持つ任意の多項式P(x)に対して

n!=P(x){displaystyle n!=P(x)}

を満たす解は有限組しか存在しないことを示した。

指数が2より大きい場合、および

x2+y2=n!{displaystyle x^{2}+y^{2}=n!}

の形の方程式については Erdős & Obláth (1937) が既に

xm+ym=n!(gcd(x,y)=1,m≥2){displaystyle x^{m}+y^{m}=n!(gcd(x,y)=1,mgeq 2)}

は 1+1=2! 以外の解を持たないこと、および

xm−ym=n!(x>y,gcd(x,y)=1,m≥3){displaystyle x^{m}-y^{m}=n!(x>y,gcd(x,y)=1,mgeq 3)}

m!±n!=xk(m>n>0,k≥2){displaystyle m!pm n!=x^{k}(m>n>0,kgeq 2)}

x4−1=n!{displaystyle x^{4}-1=n!}

は解を持たないことを示している。

参考文献[編集]

• Berndt, Bruce C.; Galway, William F. (2000), “The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m²”, The Ramanujan Journal 4: 41–42, doi:10.1023/A:1009873805276, http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf .
• Brocard, H. (1876), “Question 166”, Nouv. Corres. Math. 2: 287 .
• Brocard, H. (1885), “Question 1532”, Nouv. Ann. Math. 4: 391 .
• Dabrowski, A. (1996), “On the Diophantine Equation x! + A = y²”, Nieuw Arch. Wisk. 14: 321–324 .
• Erdős, Paul; Obláth, Richard (1937), “Über diophantische Gleichungen der Form
  n!=xp±yp{displaystyle n!=x^{p}pm y^{p}}
  und n!±m!=xp{displaystyle n!pm m!=x^{p}}
  ”, Acta Litt. Sci. Szeged 8: 241-255, https://www.renyi.hu/~p_erdos/1937-09.pdf .
• Guy, R. K. (1994), “D25: Equations Involving Factorial”, Unsolved Problems in Number Theory (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 193–194, ISBN 0-387-90593-6 .
• Luca, Florian (2002), “The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt”, Glasnik Matematički 37 (57): 269–273, http://web.math.hr/glasnik/37.2/37(2)-04.pdf .
• Overholt, Marius (1993), “The diophantine equation n! + 1 = m²”, Bull. London Math. Soc. 25 (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104 .
• Pollack, Richard M.; Shapiro, Harold N. (1973), “The next to last case of a factorial diophantine equation”, Comm. Pure Appl. Math. 26: 313-325, http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160260303/abstract .

外部リンク[編集]