四十八角形 – Wikipedia

四十八角形（よんじゅうはちかくけい、よんじゅうはちかっけい、tetracontaoctagon）は、多角形の一つで、48本の辺と48個の頂点を持つ図形である。内角の和は8280°、対角線の本数は1080本である。

正四十八角形[編集]

正四十八角形においては、中心角と外角は7.5°で、内角は172.5°となる。一辺の長さが a の正四十八角形の面積 S は

S=484a2cot⁡π48≃183.08462a2{displaystyle S={frac {48}{4}}a^{2}cot {frac {pi }{48}}simeq 183.08462a^{2}}

S=12a2cot⁡π48=12a2(2+3+8+43+16+83+2104+603)=12a2(2+3+(6+2)+16+83+102+66)=12a2(2+3+(6+2)+24+23+26+153).{displaystyle {begin{aligned}S&=12a^{2}cot {frac {pi }{48}}&=12a^{2}left(2+{sqrt {3}}+{sqrt {8+4{sqrt {3}}}}+{sqrt {16+8{sqrt {3}}+2{sqrt {104+60{sqrt {3}}}}}}right)&=12a^{2}left(2+{sqrt {3}}+({sqrt {6}}+{sqrt {2}})+{sqrt {16+8{sqrt {3}}+10{sqrt {2}}+6{sqrt {6}}}}right)&=12a^{2}left(2+{sqrt {3}}+({sqrt {6}}+{sqrt {2}})+2{sqrt {4+2{sqrt {3}}+{sqrt {26+15{sqrt {3}}}}}}right).end{aligned}}}

cos⁡(2π/48){displaystyle cos(2pi /48)}

を有理数と平方根で表すことが可能である。

cos⁡2π48=cos⁡π24=cos⁡(7.5∘)=122+2+3=148+26+22{displaystyle cos {frac {2pi }{48}}=cos {frac {pi }{24}}=cos left(7.5^{circ }right)={frac {1}{2}}{sqrt {2+{sqrt {2+{sqrt {3}}}}}}={frac {1}{4}}{sqrt {8+2{sqrt {6}}+2{sqrt {2}}}}}

正四十八角形の作図[編集]

正四十八角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。

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関連項目[編集]

• 六角形
• 十二角形
• 二十四角形

外部リンク[編集]

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