二十六角形 – Wikipedia

二十六角形（にじゅうろくかくけい、にじゅうろっかっけい、icosihexagon）は、多角形の一つで、26本の辺と26個の頂点を持つ図形である。内角の和は4320°、対角線の本数は299本である。

正二十六角形[編集]

正二十六角形においては、中心角と外角は13.846…°で、内角は166.153…°となる。一辺の長さが a の正二十六角形の面積 S は

S=264a2cot⁡π26≃53.53232a2{displaystyle S={frac {26}{4}}a^{2}cot {frac {pi }{26}}simeq 53.53232a^{2}}

cos⁡(2π/26){displaystyle cos(2pi /26)}

を平方根と立方根で表すと

cos⁡2π26=cos⁡π13=11272+72⋅cos⁡2π13=11272+72⋅112(104−2013+12−393+104−2013−12−393+13−1)=0.970941…{displaystyle cos {frac {2pi }{26}}=cos {frac {pi }{13}}={frac {1}{12}}{sqrt {72+72cdot cos {frac {2pi }{13}}}}={frac {1}{12}}{sqrt {72+72cdot {frac {1}{12}}left({sqrt[{3}]{104-20{sqrt {13}}+12{sqrt {-39}}}}+{sqrt[{3}]{104-20{sqrt {13}}-12{sqrt {-39}}}}+{sqrt {13}}-1right)}}=0.970941…}

関係式

α=2cos⁡2π26+2cos⁡6π26+2cos⁡18π26=1+132β=2cos⁡14π26+2cos⁡10π26+2cos⁡22π26=1−132{displaystyle {begin{aligned}&alpha =2cos {frac {2pi }{26}}+2cos {frac {6pi }{26}}+2cos {frac {18pi }{26}}={frac {1+{sqrt {13}}}{2}}&beta =2cos {frac {14pi }{26}}+2cos {frac {10pi }{26}}+2cos {frac {22pi }{26}}={frac {1-{sqrt {13}}}{2}}end{aligned}}}

三次方程式の係数を求めると

2cos⁡2π26⋅2cos⁡6π26+2cos⁡6π26⋅2cos⁡18π26+2cos⁡18π26⋅2cos⁡2π26=−12cos⁡2π26⋅2cos⁡6π26⋅2cos⁡18π26=β−2{displaystyle {begin{aligned}&2cos {frac {2pi }{26}}cdot 2cos {frac {6pi }{26}}+2cos {frac {6pi }{26}}cdot 2cos {frac {18pi }{26}}+2cos {frac {18pi }{26}}cdot 2cos {frac {2pi }{26}}=-1&2cos {frac {2pi }{26}}cdot 2cos {frac {6pi }{26}}cdot 2cos {frac {18pi }{26}}=beta -2end{aligned}}}

解と係数の関係より

x3−αx2−x−(β−2)=0{displaystyle x^{3}-alpha x^{2}-x-(beta -2)=0}

変数変換

x=y+α/3{displaystyle x=y+alpha /3}

整理すると

y3−13+136y+26+51327=0{displaystyle y^{3}-{frac {13+{sqrt {13}}}{6}}y+{frac {26+5{sqrt {13}}}{27}}=0}

三角関数、逆三角関数を用いて解は

x=1+136+2313+132cos⁡(13arccos⁡−(26+513)2(13+132)32){displaystyle x={frac {1+{sqrt {13}}}{6}}+{frac {2}{3}}{sqrt {frac {13+{sqrt {13}}}{2}}}cos left({frac {1}{3}}arccos {frac {-(26+5{sqrt {13}})}{2left({frac {13+{sqrt {13}}}{2}}right)^{tfrac {3}{2}}}}right)}

平方根、立方根を用いて

x=1+136+1313+132−(26+513)2(13+132)32+i3392(13+132)323+1313+132−(26+513)2(13+132)32−i3392(13+132)323{displaystyle x={frac {1+{sqrt {13}}}{6}}+{frac {1}{3}}{sqrt {frac {13+{sqrt {13}}}{2}}}{sqrt[{3}]{{frac {-(26+5{sqrt {13}})}{2left({frac {13+{sqrt {13}}}{2}}right)^{tfrac {3}{2}}}}+i{frac {3{sqrt {39}}}{2left({frac {13+{sqrt {13}}}{2}}right)^{tfrac {3}{2}}}}}}+{frac {1}{3}}{sqrt {frac {13+{sqrt {13}}}{2}}}{sqrt[{3}]{{frac {-(26+5{sqrt {13}})}{2left({frac {13+{sqrt {13}}}{2}}right)^{tfrac {3}{2}}}}-i{frac {3{sqrt {39}}}{2left({frac {13+{sqrt {13}}}{2}}right)^{tfrac {3}{2}}}}}}}

x=1+136+13−(26+513)2+i33923+13−(26+513)2−i33923{displaystyle x={frac {1+{sqrt {13}}}{6}}+{frac {1}{3}}{sqrt[{3}]{{frac {-(26+5{sqrt {13}})}{2}}+i{frac {3{sqrt {39}}}{2}}}}+{frac {1}{3}}{sqrt[{3}]{{frac {-(26+5{sqrt {13}})}{2}}-i{frac {3{sqrt {39}}}{2}}}}}

cos⁡(2π/26){displaystyle cos(2pi /26)}

を平方根と立方根で表すと

cos⁡2π26=1+1312+16−(26+513)2+i33923+16−(26+513)2−i33923{displaystyle cos {frac {2pi }{26}}={frac {1+{sqrt {13}}}{12}}+{frac {1}{6}}{sqrt[{3}]{{frac {-(26+5{sqrt {13}})}{2}}+i{frac {3{sqrt {39}}}{2}}}}+{frac {1}{6}}{sqrt[{3}]{{frac {-(26+5{sqrt {13}})}{2}}-i{frac {3{sqrt {39}}}{2}}}}}

正二十六角形の作図[編集]

正二十六角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正二十六角形は折紙により作図可能である。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]