ハーン多項式 – Wikipedia

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ハーン多項式（はーんたこうしき、英語: Hahn polynomials）は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる^[1]。

ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:

Qn(x;α,β,N)=3F2(−n,n+α+β+1,−xα+1,−N;1),x=0,1,…,N.{displaystyle Q_{n}(x;alpha ,beta ,N)={_{3}F_{2}}left({begin{matrix}-n,n+alpha +beta +1,-xalpha +1,-Nend{matrix}};1right),quad x=0,1,ldots ,N.}

直交関係[編集]

α,β<−1{displaystyle alpha ,beta

または

α,β<−N{displaystyle alpha ,beta

に対して以下の直交関係を満たす:

∑x=0N(α+xx)(β+N−xN−x)Qm(x;α,β,N)Qn(x;α,β,N)=(−1)n(n+α+β+1)N+1(β+1)nn!(2n+α+β+1)(α+1)n(−N)nN!δmn.{displaystyle sum _{x=0}^{N}{binom {alpha +x}{x}}{binom {beta +N-x}{N-x}}Q_{m}(x;alpha ,beta ,N)Q_{n}(x;alpha ,beta ,N)={frac {(-1)^{n}(n+alpha +beta +1)_{N+1}(beta +1)_{n}n!}{(2n+alpha +beta +1)(alpha +1)_{n}(-N)_{n}N!}}delta _{mn}.}

但し、

(a)n{displaystyle (a)_{n}}

はポッホハマーの記号を表す。

漸化式[編集]

以下の漸化式が成り立つ。

−xQn(x)=AnQn+1(x)−(An+Cn)Qn(x)+CnQn−1(x).{displaystyle -xQ_{n}(x)=A_{n}Q_{n+1}(x)-(A_{n}+C_{n})Q_{n}(x)+C_{n}Q_{n-1}(x).}

但し、

Qn(x;α,β,N){displaystyle Q_{n}(x;alpha ,beta ,N)}

を

Qn(x){displaystyle Q_{n}(x)}

と略記し、

An=(n+α+β+1)(n+α+1)(N−n)(2n+α+β+1)(2n+α+β+2),Cn=n(n+α+β+N+1)(n+β)(2n+α+β)(2n+α+β+1){displaystyle {begin{aligned}A_{n}&={frac {(n+alpha +beta +1)(n+alpha +1)(N-n)}{(2n+alpha +beta +1)(2n+alpha +beta +2)}},C_{n}&={frac {n(n+alpha +beta +N+1)(n+beta )}{(2n+alpha +beta )(2n+alpha +beta +1)}}end{aligned}}}

とした。

差分方程式[編集]

次の差分方程式を満たす:

n(n+α+β+1)Qn(x)=B(x)Qn(x+1)−(B(x)+D(x))Qn(x)+D(x)Qn(x−1).{displaystyle n(n+alpha +beta +1)Q_{n}(x)=B(x)Q_{n}(x+1)-(B(x)+D(x))Q_{n}(x)+D(x)Q_{n}(x-1).}

但し、

B(x)=(x+α+1)(x−N),D(x)=x(x−β−N−1).{displaystyle {begin{aligned}B(x)&=(x+alpha +1)(x-N),D(x)&=x(x-beta -N-1).end{aligned}}}

ロドリゲスの公式に相当するもの[編集]

ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:

ω(x;α,β,N)Qn(x)=(−1)n(β+1)n(−N)n∇nω(x;α+n,β+n,N−n).{displaystyle omega (x;alpha ,beta ,N)Q_{n}(x)={frac {(-1)^{n}(beta +1)_{n}}{(-N)_{n}}}nabla ^{n}omega (x;alpha +n,beta +n,N-n).}

母関数[編集]

以下の母関数を持つ:

• 
  1F1(−xα+1;−t)1F1(x−Nβ+1;t)=∑n=0N(−N)n(β+1)nn!Qn(x;α,β,N)tn{displaystyle {_{1}F_{1}}left({begin{matrix}-xalpha +1end{matrix}};-tright){_{1}F_{1}}left({begin{matrix}x-Nbeta +1end{matrix}};tright)=sum _{n=0}^{N}{frac {(-N)_{n}}{(beta +1)_{n}n!}}Q_{n}(x;alpha ,beta ,N)t^{n}}
  
• 
  2F0(−x,−x+β+N+1−;−t)2F0(x−N,x+α+1−;t)=∑n=0N(−N)n(α+1)nn!Qn(x;α,β,N)tn{displaystyle {_{2}F_{0}}left({begin{matrix}-x,-x+beta +N+1-end{matrix}};-tright){_{2}F_{0}}left({begin{matrix}x-N,x+alpha +1-end{matrix}};tright)=sum _{n=0}^{N}{frac {(-N)_{n}(alpha +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;alpha ,beta ,N)t^{n}}
  
• 
  [(1−t)−α−β−13F2(12(α+β+1),12(α+β+2),−xα+1,−N;−4t(1−t)2)]N=∑n=0N(α+β+1)nn!Qn(x;α,β,N)tn{displaystyle left[(1-t)^{-alpha -beta -1}{_{3}F_{2}}left({begin{matrix}{frac {1}{2}}(alpha +beta +1),{frac {1}{2}}(alpha +beta +2),-xalpha +1,-Nend{matrix}};-{frac {4t}{(1-t)^{2}}}right)right]_{N}=sum _{n=0}^{N}{frac {(alpha +beta +1)_{n}}{n!}}Q_{n}(x;alpha ,beta ,N)t^{n}}
  

双対ハーン多項式との関係[編集]

変数

x{displaystyle x}

と

n{displaystyle n}

を交換することによって双対ハーン多項式

Rx(λ(n);α,β,N){displaystyle R_{x}(lambda (n);alpha ,beta ,N)}

が得られる:

Qx(n;α,β,N)=Rn(λ(x);α,β,N).{displaystyle Q_{x}(n;alpha ,beta ,N)=R_{n}(lambda (x);alpha ,beta ,N).}

参考文献[編集]