ポアソン多様体 – Wikipedia

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多様体 M がポアソン多様体（ポアソンたようたい、英: Poisson Manifold）であるとは、M 上の C∞ 級関数全体のなすベクトル空間を C∞(M) と表すとき、次の性質を満たす写像

{⋅,⋅}:C∞(M)×C∞(M)→C∞(M){displaystyle {cdot ,cdot }colon C^{infty }(M)times C^{infty }(M)to C^{infty }(M)}

が存在することをいう。


  1. {⋅,⋅}{displaystyle {cdot ,cdot }}

    は、 R{displaystyle mathbb {R} }

    -双線形形式である。

  2. {f,g}=−{g,f}{displaystyle ,{f,g}=-{g,f},}


  3. {{f,g},h}+{{g,h},f}+{{h,f},g}=0{displaystyle ,{{f,g},h}+{{g,h},f}+{{h,f},g}=0,}

    　:ヤコビ律

  4. {f,gh}=g{f,h}+h{f,g}{displaystyle ,{f,gh}=g{f,h}+h{f,g},}

このとき、写像

{⋅,⋅}:C∞(M)×C∞(M)→C∞(M){displaystyle {cdot ,cdot }colon C^{infty }(M)times C^{infty }(M)to C^{infty }(M)}

を M 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。

(M,ω){displaystyle ,(M,omega ),}

をシンプレクティック多様体とする。このとき、

M{displaystyle M}

上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

{f,g}=ω(Xf,Xg){displaystyle ,{f,g}=omega (X_{f},X_{g}),}

ここで、

Xf,Xg{displaystyle ,X_{f},X_{g},}

はそれぞれ

f,g{displaystyle ,f,g,}

から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

(q1,⋯,qn,p1,⋯,pn){displaystyle (q_{1},cdots ,q_{n},p_{1},cdots ,p_{n})}

をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

{f,g}=∑i=1n(∂f∂pi∂g∂qi−∂f∂qi∂g∂pi){displaystyle {f,g}=sum _{i=1}^{n}left({frac {partial f}{partial p_{i}}}{frac {partial g}{partial q_{i}}}-{frac {partial f}{partial q_{i}}}{frac {partial g}{partial p_{i}}}right)}

と書ける。

関連項目[編集]