立方根 – Wikipedia

立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）ともいう。

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x³ を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。

a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを

${displaystyle {sqrt[{3}]{a}}}$

と表す。

• 正の数 a に対して、

  ${displaystyle {sqrt[{3}]{-a}}=-{sqrt[{3}]{a}}.}$

  

• 1 の虚立方根の一つを ω とすると、もう一つの虚立方根は ω² であり、ω, ω² はともに 1 の原始冪根である。また、1 + ω + ω² = 0 が成り立つ。

${displaystyle 1,quad omega =-{frac {1}{2}}+{frac {sqrt {3}}{2}}i,quad omega ^{2}=-{frac {1}{2}}-{frac {sqrt {3}}{2}}i={overline {omega }}.}$

${displaystyle omega =exp left(icdot left({frac {2pi }{3}}+2kpi right)right),quad omega ^{2}=exp left(icdot left({frac {4pi }{3}}+2kpi right)right),quad {overline {omega }}=exp left(icdot left({frac {-2pi }{3}}+2kpi right)right).}$

${displaystyle omega +1=exp left(icdot left({frac {pi }{3}}+2kpi right)right)=-omega ^{2},quad {overline {omega }}+1=exp left(icdot left({frac {-pi }{3}}+2kpi right)right)=-omega .}$

${displaystyle {frac {1}{omega }}=omega ^{2},quad {frac {1}{omega ^{2}}}=omega .}$

• α が 0 でない複素数ならば、α の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 O を中心とする半径
  ${displaystyle {sqrt[{3}]{|alpha |}}}$

  の円に内接する正三角形の頂点になる。

具体的な数[編集]

複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。

${displaystyle z^{frac {1}{3}}=exp left({frac {1}{3}}ln {z}right).}$

${displaystyle {sqrt[{3}]{9}}=2.0800838230cdots }$

極形式では

${displaystyle z=rexp(itheta ),}$

ここで rは非負の実数、

${displaystyle theta }$

の定義域は以下とする（偏角は多価関数のため）。

${displaystyle -pi$

,

${displaystyle {sqrt[{3}]{z}}={sqrt[{3}]{r}}exp left({frac {itheta }{3}}right).}$

${displaystyle {sqrt[{3}]{-8}}}$

は

${displaystyle 1+{sqrt {3}}i}$

（

${displaystyle ={sqrt[{3}]{8}}e^{frac {pi i}{3}}}$

） が主要根となる（-2（

${displaystyle =(1+{sqrt {3}}i)e^{frac {2pi i}{3}}}$

）ではない）。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。

${displaystyle -{frac {pi }{3}}<{frac {theta }{3}}leq {frac {pi }{3}}}$

単位円での例

${displaystyle {sqrt[{3}]{z}}}$

と

${displaystyle {sqrt[{3}]{-z}}}$

の主要根の関係を単位円上で示すと（

${displaystyle Im (z)geq 0}$

、偏角

${displaystyle theta =21^{circ }}$

の例）

${displaystyle {sqrt[{3}]{z}}={sqrt[{3}]{cos 21^{circ }+isin 21^{circ }}}=cos 7^{circ }+isin 7^{circ }}$

${displaystyle {begin{aligned}{sqrt[{3}]{-z}}={sqrt[{3}]{-cos 21^{circ }-isin 21^{circ }}}=&{sqrt[{3}]{cos(-159^{circ })+isin(-159^{circ })}}=&cos(-53^{circ })+isin(-53^{circ })=&-omega (cos 7^{circ }+isin 7^{circ })end{aligned}}}$

関連項目[編集]

外部リンク[編集]