差分多項式 – Wikipedia

数学の複素解析の分野における一般差分多項式列（いっぱんさぶんたこうしきれつ、英: general difference polynomials）とは、シェファー多項式列のある特別な部分クラスに属する多項式列であり、ニュートン多項式列、セルバーグ多項式列 (Selberg’s polynomials) およびスターリング補間多項式列 (Stirling interpolation polynomials) を特殊な場合として含むものである。

適当な定数 β に対して、一般差分多項式列は

${displaystyle p_{n}(z)={frac {z}{n}}{{z-beta n-1} choose {n-1}}}$

で与えられる。ここで

${displaystyle textstyle {z choose n}}$

は二項係数である。

• β = 0 のとき、生成される p_n(z) は、ニュートン多項式列

  ${displaystyle p_{n}(z)={z choose n}={frac {z(z-1)cdots (z-n+1)}{n!}}}$

  

である。

• β = 1 のとき、セルバーグ多項式列が生成される。
• β =
  

  −1⁄2 のとき、スターリング補間多項式列が生成される。

移動差分[編集]

解析関数

${displaystyle f(z)}$

に対し、その移動差分 (moving difference) を

${displaystyle {mathcal {L}}_{n}(f)=Delta ^{n}f(beta n)}$

で定める。ここで

${displaystyle Delta }$

は前進差分作用素である。このとき、f がある特別な総和可能性 (summability) についての条件を満たすなら、それは次のような多項式表現を許す。

${displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }p_{n}(z){mathcal {L}}_{n}(f).}$

この列の総和可能性（すなわち、収束）に関する条件は、複雑な問題である。一般に、その必要条件は解析関数が指数型（英語版）よりも小さいことであるとされる。総和可能性の条件については、Boas & Buck (1964) において詳細に議論されている。

一般差分多項式に対する母関数は、次で与えられる。

${displaystyle e^{zt}=sum _{n=0}^{infty }p_{n}(z)left[left(e^{t}-1right)e^{beta t}right]^{n}.}$

この母関数には、次のような一般化アペル表現が存在する。

${displaystyle K(z,w)=A(w)Psi (zg(w))=sum _{n=0}^{infty }p_{n}(z)w^{n}.}$

ここで

${displaystyle A(w)=1}$

、

${displaystyle Psi (x)=e^{x}}$

、

${displaystyle g(w)=t}$

および

${displaystyle w=(e^{t}-1)e^{beta t}}$

とされる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

• Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.