ポアソン多様体 – Wikipedia

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多様体 M がポアソン多様体（ポアソンたようたい、英: Poisson Manifold）であるとは、M 上の C^∞ 級関数全体のなすベクトル空間を C^∞(M) と表すとき、次の性質を満たす写像

${displaystyle {cdot ,cdot }colon C^{infty }(M)times C^{infty }(M)to C^{infty }(M)}$

が存在することをいう。

1. 
   ${displaystyle {cdot ,cdot }}$

   は、

   ${displaystyle mathbb {R} }$

   -双線形形式である。

2. 
   ${displaystyle ,{f,g}=-{g,f},}$

   

3. 
   ${displaystyle ,{{f,g},h}+{{g,h},f}+{{h,f},g}=0,}$

   　:ヤコビ律

4. 
   ${displaystyle ,{f,gh}=g{f,h}+h{f,g},}$

   

このとき、写像

${displaystyle {cdot ,cdot }colon C^{infty }(M)times C^{infty }(M)to C^{infty }(M)}$

を M 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。

${displaystyle ,(M,omega ),}$

をシンプレクティック多様体とする。このとき、

${displaystyle M}$

上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

${displaystyle ,{f,g}=omega (X_{f},X_{g}),}$

ここで、

${displaystyle ,X_{f},X_{g},}$

はそれぞれ

${displaystyle ,f,g,}$

から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

${displaystyle (q_{1},cdots ,q_{n},p_{1},cdots ,p_{n})}$

をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

${displaystyle {f,g}=sum _{i=1}^{n}left({frac {partial f}{partial p_{i}}}{frac {partial g}{partial q_{i}}}-{frac {partial f}{partial q_{i}}}{frac {partial g}{partial p_{i}}}right)}$

と書ける。

関連項目[編集]