円分指標 – Wikipedia

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円分指標 (えんぶんしひょう　Cyclotomic_character）

In number theory, a cyclotomic character is a character of a Galois group giving the Galois action on a group of roots of unity. As a one-dimensional representation over a ring R, its representation space is generally denoted by R(1) (that is, it is a representation χ : G → Aut_R(R(1)) ≈ GL(1, R)).

p-進 円分指標[編集]

p を素数、 G_Q を有理数体の絶対ガロア群とする。

ζ_n を1の原始pⁿ乗根とする。 g∈ G_Q は ζ_n を別の1の原始pⁿ乗根に送る。

g(ζ)=ζnag,n{displaystyle g(zeta )=zeta _{n}^{a_{g,n}}}

ただしa_g,n ∈ (Z/pⁿ)^×.
これにより定まる群準同型

χpn¯:GQ→Z/pnZ×{displaystyle {bar {chi _{p^{n}}}}:G_{mathbb {Q} }rightarrow mathbf {Z} /p^{n}mathbf {Z} ^{times }}

を法pⁿ 円分指標^[1]という。

ここでgを固定した状況下で、 n を動かすと系列 a_g,n は 系列 (Z/pⁿ)^×の逆極限、すなわちZ_p^×の元をなす。

このようにして定まる群準同型

χp:GQ→Zp×{displaystyle chi _{p}:G_{mathbb {Q} }rightarrow mathbf {Z} _{p}^{times }}

をp-進 円分指標という^[2]。

ここで

χp{displaystyle chi _{p}}

は連続写像でもある。

Therefore, the p-adic cyclotomic character sends g to the system (a_g,n)_n, thus encoding the action of g on all p-power roots of unity.

関連項目[編集]