中心 (代数学) – Wikipedia

数学の分野である代数学において、多元環や群などの中心 (英: center, 独: Zentrum) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。

群の中心[編集]

${displaystyle G}$

を群とすると、その中心は集合

${displaystyle mathrm {Z} (G):={zin Gmid forall gin G_gz=zg}}$

である。

性質[編集]

${displaystyle G}$

の中心は部分群である。なぜならば、

${displaystyle x}$

と

${displaystyle y}$

を

${displaystyle Z(G)}$

の元とすると、任意の

${displaystyle gin G}$

に対して、

${displaystyle (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)}$

なので、

${displaystyle xy}$

も中心に入る。同様にして、

${displaystyle x^{-1}}$

も中心に入る。

${displaystyle x^{-1}g=(g^{-1}x)^{-1}=(xg^{-1})^{-1}=gx^{-1}}$

.

群の単位元

${displaystyle e}$

は常に中心に入る。

${displaystyle eg=g=ge}$

.

中心はアーベル群で

${displaystyle G}$

の正規部分群である。

${displaystyle G}$

の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。

${displaystyle G}$

がアーベル群であることと

${displaystyle Z(G)=G}$

は同値である。

中心はちょうど、

${displaystyle z}$

による共役、すなわち

${displaystyle left(gmapsto z^{-1}gzright)}$

が恒等写像であるような、

${displaystyle G}$

の元

${displaystyle z}$

からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。

${displaystyle C_{G}(G)=Z(G)}$

である。

例[編集]

• 3次対称群（英語版）
  ${displaystyle S_{3}=left{mathrm {id} ,(1;2),(1;3),(2;3),(1;2;3),(1;3;2)right}}$

  の中心は単位元

  ${displaystyle mathrm {id} }$

  のみからなる、なぜならば：

${displaystyle (1;2)(1;3)=(1;3;2)neq (1;3)(1;2)=(1;2;3)}$

${displaystyle (1;2)(2;3)=(1;2;3)neq (2;3)(1;2)=(1;3;2)}$

${displaystyle (1;2;3)(1;2)=(1;3)neq (1;2)(1;2;3)=(2;3)}$

${displaystyle (1;3;2)(1;2)=(2;3)neq (1;2)(1;3;2)=(1;3)}$

• 二面体群
  ${displaystyle D_{4}}$

  は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。

• 実数を成分に持つ可逆 n×n-行列の乗法群の中心は単位行列の（0 でない）実数倍からなる。

環の中心[編集]

環 R の中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。

${displaystyle mathrm {Z} (R)={zin Rmid za=az {text{for all}} ain R}.}$

中心

${displaystyle Z(R)}$

は R の可換な部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。

結合多元環の中心[編集]

結合多元環 A の中心は可換な部分多元環

${displaystyle mathrm {Z} (A)={zin Amid za=az {text{for all}} ain A}}$

である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。

リー代数の中心[編集]

定義[編集]

リー代数

${displaystyle {mathfrak {g}}}$

の中心は（可換な）イデアル

${displaystyle {mathfrak {z}}({mathfrak {g}})={zin {mathfrak {g}}mid [x,z]=0 {text{for all}} xin {mathfrak {g}}}}$

である。ただし

${displaystyle [cdot ,cdot ]}$

はブラケット積、つまり

${displaystyle {mathfrak {g}}}$

の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。

例[編集]

${displaystyle Zleft(mathrm {GL} (n,K)right)={lambda E_{n}colon lambda in K^{*}}}$

.

参考文献[編集]

外部リンク[編集]