Hệ thống Hamilton – Wikipedia

A Hệ thống Hamilton là một hệ thống động lực được điều chỉnh bởi các phương trình của Hamilton. Trong vật lý, hệ động lực này mô tả sự tiến hóa của một hệ vật lý như hệ hành tinh hoặc electron trong trường điện từ. Các hệ thống này có thể được nghiên cứu trong cả cơ học Hamilton và lý thuyết hệ thống động lực.

Tổng quan [ chỉnh sửa ]

Một cách không chính thức, một hệ thống Hamilton là một hình thức toán học được Hamilton phát triển để mô tả các phương trình tiến hóa của một hệ vật lý. Ưu điểm của mô tả này là nó cung cấp cái nhìn sâu sắc quan trọng về động lực học, ngay cả khi vấn đề giá trị ban đầu không thể được giải quyết bằng phương pháp phân tích. Một ví dụ là sự chuyển động hành tinh của ba cơ thể: ngay cả khi không có giải pháp đơn giản nào cho vấn đề chung, Poincaré lần đầu tiên cho thấy nó thể hiện sự hỗn loạn xác định.

Chính thức, một hệ thống Hamilton là một hệ thống động lực được mô tả hoàn toàn bởi hàm vô hướng

H ( q p t [1965900]] { displaystyle H ({ boldsymbol {q}}, { boldsymbol {p}}, t)}

Hamiltonian. [1] Trạng thái của hệ thống,

r { displaystyle { boldsymbol {r}}}

được mô tả bởi tọa độ tổng quát 'đà'

p { displaystyle { boldsymbol {p}}}

và 'vị trí'

] q { displaystyle { boldsymbol {q}}}

trong đó cả

p { displaystyle {p}}}

q { displaystyle { boldsymbol {q}}}

là các vectơ có cùng kích thước N. Vì vậy, hệ thống được mô tả hoàn toàn bởi vectơ 2N

và sự tiến hóa phương trình được đưa ra bởi các phương trình của Hamilton:

Quỹ đạo [19659073] r ( t ) { displaystyle { boldsymbol {r}} (t)}

( 0 ) = r 0 R 2 N { display boldsymbol {r}} (0) = { boldsymbol {r}} _ {0} in mathbb {R} ^ {2N}}

.

Hệ thống Hamilton độc lập với thời gian [ chỉnh sửa ]

Nếu Hamilton không rõ ràng phụ thuộc vào thời gian, tức là nếu

H ( q [19659009] p t ) = H ( q p ) { ({ boldsymbol {q}}, { boldsymbol {p}}, t) = H ({ boldsymbol {q}}, { boldsymbol {p}})}

sau đó Hamiltonian không thay đổi theo thời gian: [1]

và do đó, Hamilton là một hằng số chuyển động, có hằng số bằng tổng năng lượng của hệ thống,

H = E { displaystyle H = E}

. Ví dụ về các hệ thống như vậy là con lắc bộ dao động điều hòa hoặc bida động.

Ví dụ [ chỉnh sửa ]

Một ví dụ về hệ thống Hamilton độc lập với thời gian là bộ dao động điều hòa. Hãy xem xét hệ thống được xác định bởi các tọa độ

p = p { displaystyle { boldsymbol {p}} = p}

q = x { displaystyle { boldsymbol {q}} = x}

Hamiltonian được đưa ra bởi

H = p 2 2 m 19659209] 1 2 k x 2 { displaystyle H = { frac {p ^ {2}} {2m}} + { frac {1} {2 }} kx ^ {2}}

Hamilton của hệ thống này không phụ thuộc vào thời gian và do đó năng lượng của hệ thống được bảo toàn.

Cấu trúc Symplectic [ chỉnh sửa ]

Một thuộc tính quan trọng của hệ thống động lực học Hamilton là nó có cấu trúc đối xứng. [1] Viết

r H ) = [ q H ( q p ] p H ( q p ) ] { displaystyle nabla _ { boldsymbol {r} ({ boldsymbol {r}}) = { started {bmatrix} part _ { boldsymbol {q}} H ({ boldsymbol {q}}, { boldsymbol {p}}) một phần _ { boldsymbol {p}} H ({ boldsymbol {q}}, { boldsymbol {p}}) end {bmatrix}}}

phương trình tiến hóa của hệ động lực có thể được viết là

trong đó

I N [194545901] N N ma trận danh tính.

Một hậu quả quan trọng của tính chất này là khối lượng không gian pha vô hạn được bảo toàn. [1] Một hệ quả của định lý này là định lý của Liouville, nói rằng trên một hệ thống Hamilton, thể tích không gian pha của một bề mặt kín được bảo toàn theo thời gian tiến hóa. [1]