Trong toán học, thứ tự tuyến tính tổng thứ tự thứ tự đơn giản hoặc thứ tự (không nghiêm ngặt) là một nhị phân mối quan hệ trên một số tập hợp

X { displaystyle X}

đó là đối xứng, bắc cầu và quan hệ liên kết. Một tập hợp được ghép nối với tổng đơn hàng được gọi là tập hợp hoàn toàn được đặt hàng một tập hợp theo thứ tự tuyến tính một bộ được đặt hàng đơn giản hoặc chuỗi ].

Chính thức, một mối quan hệ nhị phân

≤ { displaystyle leq}

là tổng số thứ tự trên một tập hợp

X { displaystyle X }

nếu các câu lệnh sau giữ cho tất cả

a b { displaystyle a, b}

và

c { displaystyle c}

trong

X { displaystyle X}

:

Nếu a ≤ b { displaystyle a leq b}

và b a { displaystyle b leq a}

sau đó a = b { displaystyle a = b}

( đối xứng);

Nếu a ≤ b [19659] ] { displaystyle a leq b}

và b ≤ c { displaystyle b leq c} [19659061] { displaystyle b leq c} “/> sau đó a ≤ c { displaystyle a leq c}

(độ xuyên sáng);

a ≤ b { displaystyle a leq b}

hoặc b ≤ a { displaystyle b leq a}

( thuộc tính liên kết).

Tính đối xứng loại bỏ các trường hợp không chắc chắn khi cả

a { displaystyle a}

có trước

b { displaystyle b}

và

b { displaystyle b}

a { displaystyle a}

. ^{[1]: 325} Một mối quan hệ có thuộc tính "liên kết" có nghĩa là bất kỳ cặp phần tử nào trong tập hợp các mối quan hệ được so sánh theo quan hệ. Điều này cũng có nghĩa là tập hợp có thể được sơ đồ hóa thành một dòng các yếu tố, đặt tên là tuyến tính . ^{[1]: 330} Thuộc tính Connex cũng bao hàm tính phản xạ , tức là a ≤ a . Do đó, tổng số đơn hàng cũng là một (trường hợp đặc biệt của một) đơn hàng một phần, vì, đối với một đơn hàng một phần, thuộc tính liên kết được thay thế bằng thuộc tính phản xạ yếu hơn. Một phần mở rộng của một thứ tự từng phần cho tổng đơn hàng được gọi là phần mở rộng tuyến tính của thứ tự một phần đó.

Tổng số đơn hàng nghiêm ngặt [ chỉnh sửa ]

Đối với mỗi đơn hàng (không nghiêm ngặt) có một mối quan hệ không đối xứng (do đó không phản xạ) liên quan thứ tự có thể được định nghĩa theo hai cách tương đương:

• a < b nếu a ≤ b và a ≠ b [1965964] ] [ b nếu không b ≤ a (nghĩa là <là nghịch đảo của phần bù của ≤)

Thuộc tính:

• Mối quan hệ mang tính bắc cầu: a < b và b < c ngụ ý a ] c .
• Mối quan hệ này là trichotomous: chính xác là một trong a < b b < a a = b là đúng.
• Mối quan hệ là một trật tự yếu nghiêm ngặt, trong đó sự tương đương liên quan là bình đẳng.

Chúng ta có thể làm việc theo cách khác và bắt đầu bằng cách chọn <như một quan hệ nhị phân chuyển tiếp; sau đó tổng số thứ tự có thể được xác định theo hai cách tương đương:

• a ≤ b nếu a < b hoặc a = b
• ] ≤ b nếu không b < a

Hai mệnh lệnh liên quan nữa là bổ sung ≥ và>, hoàn thành bộ tứ {,, ≥}.

Chúng ta có thể định nghĩa hoặc giải thích cách một bộ hoàn toàn được sắp xếp theo bất kỳ mối quan hệ nào trong bốn quan hệ này; ký hiệu ngụ ý cho dù chúng ta đang nói về thứ tự không nghiêm ngặt hay nghiêm ngặt.

Ví dụ [ chỉnh sửa ]

• Các chữ cái của bảng chữ cái được sắp xếp theo thứ tự từ điển tiêu chuẩn, ví dụ: A < B < C v.v
• Bất kỳ tập hợp con nào của một tập hợp hoàn toàn được đặt hàng X hoàn toàn được ra lệnh cho việc hạn chế thứ tự trên X . tập hợp trống, ∅ là một tổng số thứ tự.
• Bất kỳ tập hợp các số chính hoặc số thứ tự nào (mạnh hơn, đây là các đơn đặt hàng tốt).
• Nếu X là bất kỳ tập hợp nào và f một chức năng tiêm chích từ X thành một tập hợp hoàn toàn được đặt hàng sau đó f bằng cách thiết lập x ₁ < x ₂ khi và chỉ khi f ( x ₁ ) < f ( x ₂ ) .
• Thứ tự từ điển trên sản phẩm Cartesian của một họ các bộ hoàn toàn được đặt hàng, được lập chỉ mục bởi một bộ được sắp xếp tốt, chính nó là một tổng số.
• Tập hợp số thực được đặt theo thứ tự thông thường ít hơn ( ] [) hoặc lớn hơn (> ) hoàn toàn có trật tự, do đó, các tập hợp con của số tự nhiên số nguyên và số . Mỗi trong số này có thể được hiển thị là ví dụ duy nhất (trong phạm vi đẳng cấu) nhỏ nhất của một tập hợp hoàn toàn được đặt hàng với một thuộc tính nhất định, (tổng số thứ tự A là nhỏ nhất với một tài sản nhất định nếu bất cứ khi nào B có tài sản, có một sự đồng hình hóa trật tự từ A đến một tập hợp con của B ):
  • Các số tự nhiên bao gồm tập hợp hoàn toàn nhỏ nhất không có giới hạn trên.
  • Các số nguyên bao gồm các số nhỏ nhất được sắp xếp hoàn toàn không có giới hạn trên cũng không có giới hạn dưới. 19659109] Các số hữu tỷ bao gồm tập hợp hoàn toàn có thứ tự nhỏ nhất là dày đặc trong các số thực. Định nghĩa về mật độ được sử dụng ở đây nói rằng cứ mỗi một và b trong các số thực sao cho a < b có một q trong các số hữu tỷ sao cho a < q < b .
  • Số thực tập hợp hoàn toàn không có thứ tự nhỏ nhất được kết nối theo cấu trúc liên kết theo thứ tự (được xác định bên dưới).
• Các trường được sắp xếp theo thứ tự hoàn toàn theo thứ tự. Chúng bao gồm các số hữu tỷ và số thực. Mỗi trường được sắp xếp chứa một trường con được sắp xếp đồng nhất với các số hữu tỷ. Bất kỳ trường được sắp xếp hoàn chỉnh nào của Dedekind đều đồng hình với các số thực.

Chiều cao của một vị trí biểu thị tính chính xác của chuỗi lớn nhất của nó theo nghĩa này. ^{[ ]}

Ví dụ, hãy xem xét tập hợp tất cả các tập hợp con của số nguyên, được sắp xếp một phần bằng cách đưa vào. Sau đó, tập { I _n : n là một số tự nhiên}, trong đó I _n các số tự nhiên bên dưới n là một chuỗi theo thứ tự này, vì nó hoàn toàn được sắp xếp theo sự bao gồm: If n ≤ k sau đó I [19659140] n là một tập hợp con của I _k .

Các khái niệm khác [ chỉnh sửa [ chỉnh sửa ]

Người ta có thể định nghĩa một tập hợp hoàn toàn được đặt là một loại mạng cụ thể, cụ thể là một trong đó chúng ta có

{ a ∨ b b } = { a b } { displaystyle {a vee b, a b } = {a, b }}

cho tất cả a b .

Sau đó chúng tôi viết a ≤ b khi và chỉ khi

a = a ] b { displaystyle a = a wedge b}

. Do đó, một tập hợp hoàn toàn có trật tự là một mạng phân phối .

Tổng số đơn đặt hàng hữu hạn [ chỉnh sửa ]

Một đối số đếm đơn giản sẽ xác minh rằng bất kỳ tập hợp hữu hạn không rỗng nào được đặt hoàn toàn (và do đó, bất kỳ tập hợp con không rỗng nào) đều có phần tử nhỏ nhất . Do đó, mỗi tổng số hữu hạn trên thực tế là một thứ tự tốt. Bằng cách chứng minh trực tiếp hoặc bằng cách quan sát rằng mọi thứ tự giếng đều là đẳng cấu đối với một thứ tự có thể cho thấy rằng mọi tổng số hữu hạn là thứ tự đẳng hình với một phân đoạn ban đầu của các số tự nhiên được sắp xếp theo <. Nói cách khác, tổng số thứ tự trên một tập hợp với các phần tử k tạo ra một mệnh đề với các số tự nhiên k . Do đó, thông thường chỉ số tổng đơn hàng hữu hạn hoặc đơn đặt hàng tốt với loại đơn đặt hàng ω theo số tự nhiên theo cách tôn trọng thứ tự (bắt đầu bằng 0 hoặc bằng một).

Lý thuyết danh mục [ chỉnh sửa ]

Các bộ được đặt hàng hoàn toàn tạo thành một tiểu thể loại đầy đủ của danh mục các bộ được đặt một phần, với các hình thái là bản đồ tôn trọng các đơn đặt hàng, tức là bản đồ f sao cho nếu a ≤ b thì f ( a ) ≤ f ] b ).

Một bản đồ phỏng đoán giữa hai bộ hoàn toàn có trật tự tôn trọng hai thứ tự là một sự đồng hình trong thể loại này.

Cấu trúc liên kết theo thứ tự [ chỉnh sửa ]

Đối với bất kỳ tập hợp hoàn toàn nào được đặt hàng X chúng ta có thể định nghĩa khoảng thời gian mở b ) = { x : a < x và x < b }, (−∞, b ) = { x : x < b }, ( a ]∞) = { x : a < x } và (−∞, ∞) = X . Chúng ta có thể sử dụng các khoảng mở này để xác định cấu trúc liên kết trên bất kỳ tập hợp được đặt hàng nào, cấu trúc liên kết đơn hàng.

Khi có nhiều hơn một đơn hàng đang được sử dụng trên một tập hợp, người ta sẽ nói về cấu trúc liên kết đơn đặt hàng được tạo ra bởi một đơn đặt hàng cụ thể. Chẳng hạn, nếu N là số tự nhiên, < is less than and > lớn hơn chúng ta có thể đề cập đến cấu trúc liên kết theo thứ tự trên N được tạo ra bởi &lt;và cấu trúc liên kết theo thứ tự trên N gây ra bởi&gt; (trong trường hợp này chúng giống hệt nhau nhưng sẽ không nói chung).

Cấu trúc liên kết đơn đặt hàng được tạo ra bởi tổng số đơn hàng có thể được hiển thị là bình thường về mặt di truyền.

Tính đầy đủ [ chỉnh sửa ]

Một bộ hoàn toàn được đặt hàng được gọi là hoàn thành nếu mọi tập hợp con không có giới hạn trên, có giới hạn trên ít nhất. Ví dụ: tập hợp các số thực R đã hoàn thành nhưng tập hợp các số hữu tỷ Q thì không.

Có một số kết quả liên quan đến các thuộc tính của cấu trúc liên kết đơn hàng với tính hoàn chỉnh của X:

• Nếu cấu trúc liên kết đơn hàng trên X được kết nối, X đã hoàn tất.
• X được kết nối theo cấu trúc liên kết đơn hàng nếu và chỉ khi nó được kết nối hoàn thành và không có khoảng cách trong X (khoảng cách là hai điểm a và b trong X a &lt; b sao cho không c thỏa mãn a &lt; c &lt; b )
• X hoàn tất nếu và chỉ khi mọi tập hợp giới hạn được đóng trong cấu trúc liên kết theo thứ tự là nhỏ gọn.

Một tập hợp hoàn toàn theo thứ tự (với cấu trúc liên kết theo thứ tự của nó) là một mạng hoàn chỉnh được thu gọn . Ví dụ là các khoảng đóng của các số thực, ví dụ: khoảng thời gian đơn vị [0,1] và hệ thống số thực được mở rộng chắc chắn (dòng số thực mở rộng). Có những sự đồng nhất bảo toàn trật tự giữa các ví dụ này.

Tổng số đơn đặt hàng [ chỉnh sửa ]

Đối với bất kỳ hai đơn đặt hàng nào khác nhau

( A 1 1 ) { displaystyle (A_ {1}, leq _ {1})}

và [19659249] ( A 2 ≤ 2 ) { displaystyle (A_ {2}, leq _ {2})} [19659257] (A_ {2}, leq _ {2}) “/>có một trật tự tự nhiên

≤ + { displaystyle leq _ {+}}

trên tập

A 1 ∪ A 2 { displaystyle A_ {1} cup A_ {2}

được gọi là tổng của hai đơn đặt hàng hoặc đôi khi chỉ là

A 1 + A 2 [19659269] { displaystyle A_ {1} + A_ {2}}

:

Dành cho x y ∈ A 1 ∪ A displaystyle x, y in A_ {1} cup A_ {2}}

x ≤ [19659229] + y { displaystyle x leq _ {+} y}

giữ nếu và chỉ khi một trong những điều sau đây giữ:

1. 
   x y ∈ A 1 { displaystyle x, y in A_ {1}}
   và x ≤ 1 y { displaystyle x leq _ {1} y}
   
2. 
   x y ∈ [196592] ] 2 { displaystyle x, y in A_ {2}}
   và x ≤ 2 y { displaystyle x leq _ {2} y}
   
3. 
   x ∈ A 1 { displaystyle x in A_ {1}}
   và y ∈ A 2 { displaystyle y in A_ {2}}
   

19659081] Một cách tích cực, điều này có nghĩa là các yếu tố của t Bộ thứ hai được thêm vào đầu các yếu tố của bộ thứ nhất.

Nói chung hơn, nếu

( I ) { displaystyle (I, leq)}

là một bộ chỉ mục được sắp xếp hoàn toàn, và với mỗi

i ∈ I { displaystyle i in I}

cấu trúc

( A i ≤ i ) { displaystyle (A_ {i} leq _ {i})}

là một thứ tự tuyến tính, trong đó các tập hợp

A i { displaystyle A_ { i}}

tách rời nhau, sau đó tổng số thứ tự tự nhiên trên

⋃ i A i { displaystyle bigcup _ } A_ {i}}

được xác định bởi

Dành cho x y ∈ ⋃ i ∈ I A { displaystyle x, y in bigcup _ {i in I} A_ {i}}

x ≤ y { displaystyle x leq y}

giữ nếu:

1. Hoặc có một số
   i ∈ I { displaystyle i in I}
   với

   i y { displaystyle x leq _ {i} y}

   

2. hoặc ở đó là một số &lt;math > i &lt; j { displaystyle i &lt;j}
   &lt;img src = &quot;https: // wikidia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60ff2d1b23e30fb2979e8c1536da03493f943cf&quot; class-class hidden = &quot;true&quot; style = &quot;vertical-align: -0.671ex; chiều rộng: 4,859ex; chiều cao: 2.509ex; &quot;alt =&quot; i trong I { displaystyle I}
   với x ∈ A i { displaystyle x i}}
   y ∈ [196592] j { displaystyle y in A_ {j}}
   

Đơn đặt hàng trên sản phẩm của Cartesian trong các bộ hoàn toàn được đặt hàng [ chỉnh sửa ]

Để tăng sức mạnh, tức là giảm các cặp, ba trong số các đơn đặt hàng có thể có trên sản phẩm của Cartesian bộ hoàn toàn được đặt hàng là:

• Thứ tự thuật ngữ học: ( a b ) ≤ ( c d ) nếu và chỉ khi &lt; c hoặc ( a = c và b ≤ d ). Đây là một tổng số thứ tự.
• ( a b ) ≤ ( c d ) nếu và chỉ khi ] a ≤ c và b d (đơn đặt hàng sản phẩm). Đây là một thứ tự từng phần.
• ( a b ) ≤ ( c d ) nếu và chỉ khi ( a &lt; c và b &lt; d ) hoặc ( a = c b = d ) (đóng cửa phản xạ của sản phẩm trực tiếp của tổng số đơn đặt hàng nghiêm ngặt tương ứng). Đây cũng là một thứ tự một phần.

Cả ba có thể được định nghĩa tương tự cho sản phẩm Cartesian của hơn hai bộ.

Áp dụng cho không gian vectơ R ⁿ mỗi cái làm cho nó trở thành một không gian vectơ theo thứ tự.

Xem thêm ví dụ về các bộ được đặt hàng một phần.

Một hàm thực của n các biến thực được xác định trên một tập hợp con của R ⁿ xác định một thứ tự yếu nghiêm ngặt và tổng thứ tự tương ứng trên tập con đó.

Các cấu trúc liên quan [ chỉnh sửa ]

Một quan hệ nhị phân có tính đối xứng, bắc cầu và phản xạ (nhưng không nhất thiết là toàn bộ) là một thứ tự từng phần.

Một nhóm có tổng thứ tự tương thích là một nhóm hoàn toàn có thứ tự.

Chỉ có một vài cấu trúc không cần thiết được giảm (có thể xác định là) trong tổng số đơn đặt hàng. Quên các định hướng dẫn đến một mối quan hệ giữa. Quên vị trí của các đầu kết quả theo thứ tự tuần hoàn. Quên cả hai kết quả dữ liệu trong một mối quan hệ phân tách. ^[3]

Xem thêm [ chỉnh sửa ]

Tài liệu tham khảo [ chỉnh sửa ]

• . Lý thuyết mạng: các khái niệm đầu tiên và các mạng phân phối. W. H. Freeman và Co. ISBN 0-7167-0442-0
• John G. Hocking và Gail S. Young (1961). Cấu trúc liên kết. In lại chính xác, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4

Liên kết ngoài [ chỉnh sửa ]