Trong toán học, hình học đại số và hình học giải tích là hai môn học liên quan chặt chẽ với nhau. Trong khi hình học đại số nghiên cứu các giống đại số, hình học phân tích liên quan đến các đa tạp phức tạp và các không gian phân tích tổng quát hơn được xác định cục bộ bằng cách biến mất các hàm phân tích của một số biến phức. Mối quan hệ sâu sắc giữa các môn học này có nhiều ứng dụng trong đó các kỹ thuật đại số được áp dụng cho các không gian phân tích và kỹ thuật phân tích cho các giống đại số.

Tuyên bố chính [ chỉnh sửa ]

Đặt X là một đại số phức tạp dự phóng. Bởi vì X là một loại phức tạp, tập hợp các điểm phức tạp của nó X ( C ) có thể được cung cấp cấu trúc của một không gian phân tích phức tạp nhỏ gọn. Không gian phân tích này được ký hiệu là X ^và . Tương tự như vậy, nếu

F { displaystyle { mathcal {F}}}

là một con điếm trên X thì có một sheaf tương ứng

F một { displaystyle { mathcal {F}} ^ { text {an}}}

trên X ^một . Sự kết hợp của một đối tượng phân tích với một đại số là một functor. Định lý nguyên mẫu liên quan đến X và X ^một nói rằng đối với bất kỳ hai nào thì các chuỗi kết hợp

F { display F}}}

và

G { displaystyle { mathcal {G}}}

Hom O X ( F G ) → Hom O ] một ( F một G một ) { displaystyle { text {Hom}} _ {{ mathcal {O }} _ {X}} ({ mathcal {F}}, { mathcal {G}}) rightarrow { text {Hom}} _ {{ mathcal {O}} _ {X} ^ { text {an}}} ({ mathcal {F}} ^ { text {an}}, { mathcal {G}} ^ { text {an}})}

là một đẳng cấu. Ở đây

O X { displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}

là cấu trúc điếc của đại số X và

O X một { displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ { text {an}} }

là công trình cấu trúc của giống phân tích X ^an . Nói cách khác, phạm trù kết hợp trên đại số X tương đương với loại phân tích kết hợp phân tích trên giống phân tích X ^và và tương đương được đưa ra trên các đối tượng bằng cách ánh xạ

F { displaystyle { mathcal {F}}}

thành

F { displaystyle { mathcal {F}} ^ { text {an}}}

. (Đặc biệt lưu ý rằng

O X an { displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ { text {an}}}

chính nó đã kết hợp, một kết quả được gọi là định lý kết hợp Oka .)

Một tuyên bố quan trọng khác như sau: Đối với bất kỳ người điếc mạch lạc nào

F { displaystyle { mathcal {F}}}

trên một đại số đa dạng X phép đồng hình

ε q : H q ( X F ) H q ( X a n F a n ) { displaystyle varepsilon _ {q} : H ^ {q} (X, { mathcal {F}}) rightarrow H ^ {q} (X ^ {an}, { mathcal {F}} ^ {an})}

là đẳng cấu cho tất cả q ' s. Điều này có nghĩa là nhóm cohomology q trên X là đẳng cấu của nhóm cohomology trên X ^và .

Định lý áp dụng chung hơn nhiều so với quy định ở trên (xem tuyên bố chính thức dưới đây). Nó và bằng chứng của nó có nhiều hậu quả, chẳng hạn như định lý Chow, nguyên lý Lefschetz và định lý biến mất Kodaira.

Bối cảnh [ chỉnh sửa ]

Các giống đại số được định nghĩa cục bộ là các tập hợp đa thức không phổ biến và vì đa thức trên các số phức là các hàm đa hình, đại số trên có thể được hiểu là không gian phân tích. Tương tự, hình thái thường xuyên giữa các giống được hiểu là ánh xạ biến hình giữa các không gian phân tích. Thật đáng ngạc nhiên, thường có thể đi theo một cách khác, để giải thích các đối tượng phân tích theo cách đại số.

Ví dụ, thật dễ dàng để chứng minh rằng các hàm phân tích từ hình cầu Riemann cho đến chính nó các hàm hữu tỷ hoặc hàm vô cực giống hệt nhau (một phần mở rộng của định lý Liouville). Vì nếu một chức năng như vậy f là không quan trọng, thì vì tập hợp z trong đó f (z) là vô cực được cô lập và hình cầu Riemann nhỏ gọn, ở đó là rất nhiều z với f (z) bằng vô hạn. Hãy xem xét sự mở rộng Laurent ở tất cả z và trừ đi phần số ít: chúng ta còn lại một hàm trên quả cầu Riemann với các giá trị trong C theo định lý Liouville là không đổi. Do đó f là một hàm hợp lý. Thực tế này cho thấy không có sự khác biệt cơ bản giữa đường chiếu phức tạp như một đại số đại số, hoặc như hình cầu Riemann.

Kết quả quan trọng [ chỉnh sửa ]

Có một lịch sử lâu dài về kết quả so sánh giữa hình học đại số và hình học phân tích, bắt đầu từ thế kỷ XIX và vẫn còn tiếp tục cho đến ngày nay. Một số tiến bộ quan trọng hơn được liệt kê ở đây theo thứ tự thời gian.

Định lý tồn tại của Riemann [ chỉnh sửa ]

Lý thuyết bề mặt Riemann cho thấy một bề mặt Riemann nhỏ gọn có đủ các chức năng phân hình trên nó, biến nó thành một đường cong đại số. Dưới cái tên Định lý tồn tại của Riemann một kết quả sâu sắc hơn về lớp phủ lan rộng của bề mặt Riemann nhỏ gọn đã được biết đến: chẳng hạn lớp phủ hữu hạn vì các không gian tôpô được phân loại theo biểu diễn hoán vị của nhóm cơ bản của các điểm phân nhánh. Do đặc tính bề mặt Riemann là cục bộ, nên các lớp phủ như vậy khá dễ thấy là các lớp phủ theo nghĩa phân tích phức tạp. Sau đó, có thể kết luận rằng chúng đến từ việc che các bản đồ của các đường cong đại số – nghĩa là, các lớp phủ như vậy đều đến từ các phần mở rộng hữu hạn của trường hàm.

Nguyên tắc Lefschetz [ chỉnh sửa ]

Trong thế kỷ XX, nguyên tắc Lefschetz được đặt tên theo Solomon Lefschetz, được đặt tên theo Solomon Lefschetz. về các kỹ thuật tôpô cho hình học đại số trên bất kỳ trường đóng đại số nào K của đặc tính 0, bằng cách xử lý K như thể đó là trường số phức. Một dạng cơ bản của nó khẳng định rằng các phát biểu đúng về lý thuyết thứ tự đầu tiên của các trường về C là đúng đối với bất kỳ trường đóng đại số nào K về số 0 đặc trưng. Một nguyên tắc chính xác và bằng chứng của nó là do Alfred Tarski và dựa trên logic toán học. ^{[1] [2]}

Nguyên tắc này cho phép thực hiện một số kết quả thu được bằng cách sử dụng phương pháp phân tích hoặc tôpô cho các giống đại số trên C cho các trường mặt đất đại số khép kín khác của đặc tính 0.

Định lý Chow [ chỉnh sửa ]

Định lý Chow được chứng minh bởi Wei-Liang Chow, là một ví dụ về loại so sánh hữu ích nhất có sẵn. Nó nói rằng một không gian con phân tích của không gian chiếu phức tạp được đóng lại (theo nghĩa tôpô thông thường) là một phân nhóm đại số. Điều này có thể được gọi lại là "bất kỳ không gian con phân tích nào của không gian chiếu phức tạp được đóng trong cấu trúc liên kết mạnh được đóng trong cấu trúc liên kết Zariski." Điều này cho phép sử dụng khá miễn phí các phương pháp phân tích phức tạp trong các phần cổ điển của hình học đại số.

GAGA [ chỉnh sửa ]

Các nền tảng cho nhiều mối quan hệ giữa hai lý thuyết đã được đưa ra vào đầu những năm 1950, như là một phần của việc đặt nền móng của hình học đại số để bao gồm, ví dụ, các kỹ thuật từ lý thuyết Hodge. Bài viết chính củng cố lý thuyết là Géometrie Algébrique et Géométrie Phân tích Serre (1956) của Jean-Pierre Serre, bây giờ thường được gọi là GAGA . Nó chứng minh các kết quả chung liên quan đến các lớp giống đại số, hình thái thường xuyên và các chuỗi với các lớp không gian phân tích, ánh xạ và biến đổi hình học. Nó làm giảm tất cả những điều này để so sánh các loại hạt.

Ngày nay, cụm từ Kết quả kiểu GAGA được sử dụng cho bất kỳ định lý so sánh nào, cho phép chuyển giữa một loại đối tượng từ hình học đại số và hình thái của chúng sang một thể loại con được xác định rõ của các đối tượng hình học phân tích và ánh xạ đa hình.

Tuyên bố chính thức của GAGA [ chỉnh sửa ]

1. Hãy
   ( X O X { displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}
   là một sơ đồ loại hữu hạn trên C . Sau đó, có một không gian tôpô X ^và như một tập hợp bao gồm các điểm đóng của X với bản đồ bao gồm liên tục λ _X : X ^một → X . Cấu trúc liên kết trên X ^an được gọi là "cấu trúc liên kết phức tạp" (và rất khác với cấu trúc liên kết không gian con).
2. Giả sử: X → Y là một hình thái của các sơ đồ thuộc loại hữu hạn cục bộ hơn C . Sau đó, tồn tại một bản đồ liên tục φ ^một : X ^an → Y ^một như λ _Y ° ^an = φ ° _X .
3. Có một chiếc điếc
   O X a n { displaystyle { {O}} _ {X} ^ { mathrm {an}}}
   trên X ^một sao cho X a n O X a n ) { displaystyle (X ^ { mathrm {an}}, { mathcal {O}} _ {X} ^ { mathrm {an}})}
   ( X a n O X a n ) displaystyle (X ^ { mathrm {an}}, { mathcal {O}} _ {X} ^ { mathrm {an}})}
   được gọi là "phân tích" của ( X O X ) { displaystyle (X , { mathcal {O}} _ {X})}
   và là một không gian phân tích. Với mọi φ: X → Y bản đồ φ ^một được xác định ở trên là ánh xạ của các không gian phân tích. Hơn nữa, bản đồ φ ↦ ^một ánh xạ nhập vai mở vào nhập vai mở. If X = Spec ( C [ x ₁ …, x _n ]) sau đó X ^an = C ⁿ và O X a n 19659089] U ) { displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ { mathrm {an}} (U)}
   cho mọi polydisc U là một thương số phù hợp của không gian của các hàm biến hình trên U .
4. Đối với mọi người điếc
   F displaystyle { mathcal {F}}}
   vào ngày X (được gọi là điếc đại số) có một con điếc F a n ] { displaystyle { mathcal {F}} ^ { mathrm {an}}}
   trên X ^một (được gọi là phân tích sheaf) và một bản đồ của sheaves O X { displaystyle { mathcal {O }} _ {X}}
   -modules λ X ∗ : F → ] ( λ X ) ∗ F a n { displaystyle lambda _ {X} ^ {*}: { mathcal {F}} rightarrow ( lambda _ {X}) _ {*} { mathcal {F}} ^ { mathrm {an}}}
   . The sheaf F a n { displaystyle { mathcal {F}} ^ { mathrm {an}}}
   λ X – 1 F ⊗ λ X O X O X a n { displaystyle lambda _ {X} ^ {- 1} { mathcal {F}} otimes _ { lambda _ {X} ^ {- 1} { mathcal {O}} _ {X}} { mathcal {O}} _ {X} ^ { mathrm {an}}}
   . Sự tương ứng F ↦ F a n { displaystyle { mathcal {F}} mapsto { mathcal {F}} ^ { mathrm {an}}}
   định nghĩa một functor chính xác từ danh mục của sheaves qua ( X ] O X ) { displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}
   loại sheaves của ( X a n O X a n ) { displaystyle (X ^ { mathrm {an}}, { mathcal {O}} _ {X} ^ { mathrm {an}})}
   .
   Hai tuyên bố sau đây là trái tim của định lý GAGA của Serre (như được mở rộng bởi Alexander Grothendieck, Amnon Neeman và những người khác.)
5. Nếu f : X → Y là một hình chữ nhật tùy ý m của các sơ đồ loại hữu hạn trên C và
   F { displaystyle { mathcal {F}}}
   map ( f ∗ F ) a n → f ∗ 19659317] F a n { displaystyle (f _ {*} { mathcal {F}}) ^ { mathrm {an}} rightarrow f _ {*} ^ { mathrm {an }} { mathcal {F}} ^ { mathrm {an}}}
   là tiêm truyền. Nếu f là phù hợp thì bản đồ này là một đẳng cấu. Người ta cũng có sự đồng hình của tất cả các sheaves hình ảnh trực tiếp cao hơn ( R i f ∗ F ) a n [1965955] R i f ∗ a n F a n { displaystyle (R ^ {i } f _ {*} { mathcal {F}}) ^ { mathrm {an}} cong R ^ {i} f _ {*} ^ { mathrm {an}} { mathcal {F}} ^ { mathrm {an}}}
   trong trường hợp này.
6. Bây giờ giả sử rằng X ^một là hausdorff và nhỏ gọn. Nếu
   F G { displaystyle { mathcal {F}}, { mathcal {G}}}
   ( X O X ) { displaystyle (X, { mathcal {O} _ {X})}
   và nếu f : F a n → [1945] G a n { displaystyle f colon { mathcal {F}} ^ { mathrm {an}} rightarrow { mathcal {G}} ^ { mathrm {an}}}
   là bản đồ của các nhánh của O X a n { displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ { mathrm {an}}} [19659157] mathcal O_X ^ mathrm {an} “/> -modules sau đó tồn tại một bản đồ duy nhất của các sheaves của O X { displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}
   -modules : F → G { displaystyle varphi: { }} rightarrow { mathcal {G}}}
   với f = φ ^một . Nếu R { displaystyle { mathcal {R}}} mathcal R “/> là một máy phân tích mạch lạc của O X 19659155] n { displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ { mathrm {an}}}
   -modules trên X ^một sau đó tồn tại một con điếm đại số kết hợp F { displaystyle { mathcal {F}}}
   của [196590048] X { displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}
   -modules và một đẳng cấu F a n ] ≅ R { displaystyle { mathcal {F}} ^ { mathrm {an}} cong { mathcal {R}}}
   .

Trong tính tổng quát ít hơn một chút, định lý GAGA khẳng định rằng phạm trù đại số kết hợp trên một loại dự án phức tạp X ent phân tích trên không gian phân tích tương ứng X ^và là tương đương. Không gian phân tích X ^và có được khoảng bằng cách kéo về X cấu trúc phức tạp từ C ⁿ thông qua các biểu đồ tọa độ. Thật vậy, việc đưa ra định lý theo cách này gần với tinh thần của bài báo của Serre, xem cách thức ngôn ngữ lý thuyết đầy đủ mà tuyên bố chính thức nói trên sử dụng chưa được phát minh vào thời điểm xuất bản của GAGA.

Tài liệu tham khảo [ chỉnh sửa ]