Biến đổi Box Mull Muller – Wikipedia

Trực quan hóa biến đổi Box Mull Muller – các điểm được tô màu trong ô vuông đơn vị (u1, u2), được vẽ dưới dạng hình tròn, được ánh xạ tới 2D Gaussian (z0, z1), được vẽ dưới dạng hình chữ thập. Các ô ở lề là các hàm phân phối xác suất của z0 và z1. Lưu ý rằng z0 và z1 không bị ràng buộc; chúng có vẻ là trong [-2.5,2.5] do sự lựa chọn của các điểm minh họa. Trong tệp SVG, di chuột qua một điểm để làm nổi bật nó và điểm tương ứng của nó.

Biến đổi Box kiếm Muller bởi George Edward Pelham Box và Mervin Edgar Muller, ^[1] là giả ngẫu nhiên phương pháp lấy mẫu số để tạo các cặp số ngẫu nhiên độc lập, tiêu chuẩn, phân phối bình thường (không kỳ vọng, phương sai đơn vị), được cung cấp một nguồn các số ngẫu nhiên phân bố đồng đều. Trên thực tế, phương pháp này lần đầu tiên được đề cập rõ ràng bởi Raymond E. A. C. Paley và Norbert Wiener vào năm 1934. ^[2]

Phép biến đổi Box Mull Muller thường được thể hiện dưới hai dạng. Mẫu cơ bản được đưa ra bởi Box và Muller lấy hai mẫu từ phân phối đồng đều trong khoảng [0, 1] và ánh xạ chúng thành hai mẫu chuẩn, phân phối chuẩn. Dạng cực lấy hai mẫu từ một khoảng khác nhau, [−1, +1] và ánh xạ chúng thành hai mẫu được phân phối bình thường mà không sử dụng các hàm sin hoặc cos.

Biến đổi Boxer Muller được phát triển như một phương pháp thay thế hiệu quả hơn về mặt tính toán cho phương pháp lấy mẫu biến đổi nghịch đảo. ^[3] Thuật toán ziggurat đưa ra một phương pháp hiệu quả hơn ^{[ cần trích dẫn ]} ]. Hơn nữa, phép biến đổi Boxer Muller có thể được sử dụng để vẽ từ mật độ Gaussian bivariate bị cắt ngắn. ^[4]

Dạng cơ bản [ chỉnh sửa ]

Giả sử U _{và U ₂ là các mẫu độc lập được chọn từ phân phối đồng đều trên khoảng đơn vị (0, 1). Để cho}

{displaystyle Z_{0}=Rcos(Theta )={sqrt {-2ln U_{1}}}cos(2pi U_{2}),}

và

{ displaystyle Z_ {1} = R sin ( Theta) = { sqrt {-2 ln U_ {1}}} sin (2 pi U_ {2}). ,} [19659067] Z_1 = R sin ( Theta) = sqrt {-2 ln U_1} sin (2 pi U_2). , “/>

Sau đó Z ₀ và Z ₁ là các biến ngẫu nhiên độc lập với phân phối chuẩn thông thường. Đạo hàm ^[5] dựa trên tính chất của hệ thống Cartesian hai chiều, trong đó tọa độ X và Y được mô tả bởi hai biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối thông thường, các biến ngẫu nhiên cho R ² và (hiển thị ở trên) trong tọa độ cực tương ứng cũng độc lập và có thể được biểu thị bằng

^ {2} = – 2 cdot ln U_ {1} ,}

và

{displaystyle Theta =2pi U_{2}.,}

Bởi vì R ² là bình phương của định mức của tiêu chuẩn biến thông thường bivariate ( X Y, ), nó có phân phối chi bình phương với hai bậc tự do. Trong trường hợp đặc biệt của hai bậc tự do, phân phối chi bình phương trùng với phân bố hàm mũ và phương trình cho R ² ở trên là một cách đơn giản để tạo ra biến thiên theo hàm mũ cần thiết.

Dạng cực [ chỉnh sửa ]

Hai giá trị phân bố đồng đều, u và v được sử dụng để tạo ra giá trị = R ²được phân phối đồng đều như vậy. Các định nghĩa về sin và cos sau đó được áp dụng cho dạng cơ bản của phép biến đổi Box Mull Muller để tránh sử dụng các hàm lượng giác.

Dạng cực được đề xuất đầu tiên bởi J. Bell ^[6] và sau đó được sửa đổi bởi R. Knop. ^[7] Trong khi một số phiên bản khác nhau của phương pháp cực đã được mô tả, phiên bản của R. Knop sẽ được mô tả ở đây vì nó được sử dụng rộng rãi nhất, một phần do được đưa vào Công thức toán số .

Đã cho u và v phân phối độc lập và thống nhất trong khoảng thời gian đóng [−1, +1]đặt s = R ² = u ² + v ². (Rõ ràng

{ displaystyle scriptstyle R = { sqrt {s}}}

$scriptstyle R = sqrt {s}$ ) . Nếu s = 0 hoặc s ≥ 1 loại bỏ u và v và thử một cặp khác [ u v ). Bởi vì u và v được phân phối đồng đều và vì chỉ các điểm trong vòng tròn đơn vị đã được thừa nhận, các giá trị của s sẽ được phân phối đồng đều trong khoảng thời gian mở ( 0, 1) cũng vậy. Cái sau có thể được nhìn thấy bằng cách tính hàm phân phối tích lũy cho s trong khoảng (0, 1). Đây là khu vực của một vòng tròn có bán kính