Biểu thức dạng đóng – Wikipedia

Posted on September 26, 2017 by lordneo

Công thức toán học được xây dựng với các phép toán số học và các hàm được xác định trước đó

Trong toán học, biểu thức dạng đóng là một biểu thức toán học có thể được đánh giá trong một số phép toán hữu hạn. Nó có thể chứa các hằng số, biến số, các hoạt động "nổi tiếng" nhất định (ví dụ: + – ×) và các hàm (ví dụ: n gốc, hàm mũ, hàm số logarit, hàm lượng giác và hàm hyperbol ngược) , nhưng thường không có giới hạn. Tập hợp các hoạt động và chức năng được thừa nhận trong biểu thức dạng đóng có thể thay đổi theo tác giả và bối cảnh.

Ví dụ: gốc của đa thức [ chỉnh sửa ]

Các nghiệm của bất kỳ phương trình bậc hai với các hệ số phức có thể được biểu diễn dưới dạng đóng, cộng, trừ, nhân, chia khai thác căn bậc hai, mỗi trong số đó là một chức năng cơ bản. Ví dụ: phương trình bậc hai

{ ax ^ {2} + bx + c = 0,}

có thể điều chỉnh được vì các giải pháp của nó có thể được biểu thị dưới dạng biểu thức đóng, tức là về mặt cơ bản chức năng:

{displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

Tương tự các giải pháp của phương trình bậc ba và bậc bốn (bậc ba và bậc bốn) có thể được biểu thị bằng cách sử dụng số học, căn bậc hai và căn bậc ba hoặc sử dụng các hàm số học và lượng giác. Tuy nhiên, có các phương trình tinh túy không có các giải pháp dạng đóng sử dụng các hàm cơ bản, chẳng hạn như x ⁵ – x + 1 = 0. Một lĩnh vực nghiên cứu trong toán học được gọi chung là lý thuyết Galois liên quan đến việc chứng minh rằng không có biểu thức dạng đóng tồn tại trong các bối cảnh nhất định, dựa trên ví dụ trung tâm của các giải pháp dạng đóng cho đa thức.

Các định nghĩa thay thế [ chỉnh sửa ]

Thay đổi định nghĩa "nổi tiếng" để bao gồm các hàm bổ sung có thể thay đổi tập phương trình với các giải pháp dạng đóng. Nhiều hàm phân phối tích lũy không thể được biểu thị ở dạng đóng, trừ khi người ta coi các hàm đặc biệt như hàm lỗi hoặc hàm gamma được biết đến. Có thể giải phương trình tinh túy nếu bao gồm các hàm siêu bội tổng quát, mặc dù giải pháp này quá phức tạp về mặt đại số là hữu ích. Đối với nhiều ứng dụng máy tính thực tế, hoàn toàn hợp lý khi giả định rằng chức năng gamma và các chức năng đặc biệt khác đã được biết đến vì việc triển khai số có sẵn rộng rãi.

Biểu thức phân tích [ chỉnh sửa ]

Một biểu thức phân tích (hoặc ở dạng phân tích được sử dụng tốt- biết hoạt động cho vay mình dễ dàng để tính toán. Tương tự như biểu thức dạng đóng, tập hợp các hàm nổi tiếng được phép có thể thay đổi tùy theo ngữ cảnh nhưng luôn bao gồm các phép toán số học cơ bản (cộng, trừ, nhân và chia), lũy thừa cho số mũ thực (bao gồm trích xuất [19659045] n gốc), hàm logarit và hàm lượng giác. Tuy nhiên, lớp biểu thức được coi là biểu thức phân tích có xu hướng rộng hơn so với biểu thức dạng đóng. Cụ thể, các hàm đặc biệt như hàm Bessel và hàm gamma thường được cho phép và thường là chuỗi vô hạn và các phân số tiếp tục. Mặt khác, các giới hạn nói chung và các tích phân nói riêng thường bị loại trừ. ^{[ cần trích dẫn ]} Nếu một biểu thức phân tích chỉ liên quan đến các phép toán đại số (phép cộng, phép trừ , nhân, chia và lũy thừa cho số mũ hợp lý) và hằng số hợp lý sau đó nó được gọi cụ thể hơn là biểu thức đại số.
So sánh các loại biểu thức khác nhau [ chỉnh sửa ]
Biểu thức dạng đóng là một phân lớp quan trọng của biểu thức phân tích, chứa trích dẫn giới hạn ^{[ cần thiết ]} hoặc số lượng ứng dụng không giới hạn của các chức năng nổi tiếng. Không giống như các biểu thức phân tích rộng hơn, các biểu thức dạng đóng không bao gồm chuỗi vô hạn hoặc các phân số tiếp tục; không bao gồm tích phân hoặc giới hạn. Thật vậy, theo định lý Stone Stone Weierstrass, bất kỳ hàm liên tục nào trong khoảng đơn vị có thể được biểu diễn dưới dạng giới hạn của đa thức, do đó, bất kỳ loại hàm nào chứa đa thức và đóng dưới giới hạn nhất thiết sẽ bao gồm tất cả các hàm liên tục. Tương tự, một phương trình hoặc hệ phương trình được cho là có giải pháp dạng đóng nếu và chỉ khi, ít nhất một giải pháp có thể được biểu diễn dưới dạng biểu thức dạng đóng; và nó được cho là có một giải pháp phân tích nếu và chỉ khi ít nhất một giải pháp có thể được biểu thị dưới dạng biểu thức phân tích. Có một sự phân biệt tinh tế giữa "hàm đóng " và "dạng đóng " trong cuộc thảo luận về "giải pháp dạng đóng", được thảo luận trong (Chow 1999 ) và dưới đây. Một giải pháp dạng đóng hoặc phân tích đôi khi được gọi là một giải pháp rõ ràng .
Xử lý các biểu thức không đóng [ chỉnh sửa ]

Chuyển đổi thành biểu thức dạng đóng [ chỉnh sửa ]
Biểu thức:

${displaystyle f(x)=sum _{i=0}^{infty }{x over 2^{i}}}$

không ở dạng đóng vì tổng kết đòi hỏi vô số các thao tác cơ bản. Tuy nhiên, bằng cách tóm tắt một loạt hình học biểu thức này có thể được biểu thị ở dạng đóng: ^[1]

${displaystyle f(x)=2x.}$

Lý thuyết Galois khác biệt [ chỉnh sửa ] [19659091] Tích phân của biểu thức dạng đóng có thể hoặc không thể biểu thị dưới dạng biểu thức dạng đóng. Nghiên cứu này được gọi là lý thuyết Galois khác biệt, bằng cách tương tự với lý thuyết Galois đại số.

Định lý cơ bản của lý thuyết Galois khác biệt là do Joseph Liouville trong những năm 1830 và 1840 và do đó được gọi là Định lý Liouville .

Một ví dụ tiêu chuẩn của một hàm cơ bản có tính chống đối không có biểu thức dạng đóng là:

${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}},}$

có tính năng chống đối kháng (tối đa là hằng số) hàm lỗi:

${displaystyle operatorname {erf} (x)={frac {2}{sqrt {pi }}}int _{0}^{x}e^{-t^{2}},dt.}$

Mô hình toán học và mô phỏng máy tính [ chỉnh sửa ]

Các phương trình hoặc hệ thống quá phức tạp đối với các giải pháp dạng đóng hoặc phân tích thường có thể được phân tích bằng mô hình toán học và mô phỏng máy tính.

Số dạng đóng [ chỉnh sửa ]

Ba trường con của các số phức C đã được đề xuất là mã hóa khái niệm "số dạng đóng" ; theo thứ tự tăng dần, đây là các số Liouville, số EL và số cơ bản. Các số Liouville ký hiệu là L (không bị nhầm lẫn với các số Liouville theo nghĩa gần đúng hợp lý), tạo thành trường con nhỏ nhất C đã đóng cửa theo cấp số nhân và logarit (chính thức, giao điểm của tất cả các trường con như vậy) .ththat là, các số liên quan đến lũy thừa lũy thừa và logarit, nhưng cho phép rõ ràng và của đa thức); điều này được định nghĩa trong (Ritt 1948, trang 60). L ban đầu được gọi là số cơ bản nhưng thuật ngữ này hiện được sử dụng rộng rãi hơn để chỉ các số được định nghĩa rõ ràng hoặc ngầm định về các phép toán đại số, hàm mũ và logarit. Một định nghĩa hẹp hơn được đề xuất trong (Chow 1999, tr 441 Chân442), ký hiệu là E và được gọi là Số EL là trường con nhỏ nhất của C đóng theo cấp số nhân và logarit, điều này không cần phải đóng theo đại số, và tương ứng với rõ ràng các phép toán đại số, hàm mũ và logarit. "EL" là viết tắt của "Exponential-Logarit" và là viết tắt của "sơ cấp".

Việc một số có phải là số đóng hay không có liên quan đến việc một số có siêu việt hay không. Chính thức, số Liouville và số cơ bản chứa các số đại số, và chúng bao gồm một số nhưng không phải tất cả các số siêu việt. Ngược lại, số EL không chứa tất cả các số đại số, nhưng bao gồm một số số siêu việt. Số dạng đóng có thể được nghiên cứu thông qua lý thuyết số siêu việt, trong đó một kết quả chính là định lý Schelfider của Gelfond, và một câu hỏi mở lớn là phỏng đoán của Schanuel.

Tính toán số [ chỉnh sửa ]

Đối với mục đích tính toán số, nói chung là không cần thiết, vì nhiều giới hạn và tích phân có thể được tính toán một cách hiệu quả.

Chuyển đổi từ các dạng số [ chỉnh sửa ]

Có phần mềm cố gắng tìm các biểu thức dạng đóng cho các giá trị số, bao gồm RIES, ^[2] `xác định` trong Maple [19659137] và SymPy, ^[4] Biến tần của Plouffe, ^[5] và Máy tính biểu tượng nghịch đảo. ^[6]

Xem thêm ]

Đọc thêm [ chỉnh sửa ]

Ritt, JF (1948), Tích hợp theo thuật ngữ hữu hạn

Chow, Timothy Y. (tháng 5 năm 1999), "Số dạng đóng là gì?", Hàng tháng toán học Mỹ 106 (5): 440 đùa448, arXiv: math / 9805045 doi: 10.2307 / 2589148, JSTOR 2589148

Jonathan M. Borwein và Richard E. Crandall (tháng 1 năm 2013), "Các hình thức đóng: Chúng là gì và tại sao chúng ta quan tâm", Thông báo của Hiệp hội toán học Hoa Kỳ 60 (1): 50 bóng65, doi: 10.1090 / noti936

Liên kết ngoài [ chỉnh sửa ]