Chiếu bản đồ – Wikipedia

Posted on by lordneo

Sự biểu diễn có hệ thống bề mặt của một hình cầu hoặc hình elip trên mặt phẳng

Một mô tả thời trung cổ của Ecumene (1482, Johannes Schnitzer, thợ khắc), được xây dựng sau tọa độ trong Địa lý của Ptolemy phép chiếu bản đồ thứ hai

Phép chiếu bản đồ là một phép biến đổi có hệ thống các vĩ độ và kinh độ của các vị trí từ bề mặt của một hình cầu hoặc một hình elip vào các vị trí trên mặt phẳng. [1] Bản đồ không thể được tạo ra mà không có bản đồ dự kiến. Tất cả các phép chiếu bản đồ nhất thiết phải làm biến dạng bề mặt trong một số thời trang. Tùy thuộc vào mục đích của bản đồ, một số biến dạng được chấp nhận và một số khác thì không; do đó, các phép chiếu bản đồ khác nhau tồn tại để bảo toàn một số thuộc tính của cơ thể giống như hình cầu với chi phí của các thuộc tính khác. Không có giới hạn về số lượng các phép chiếu bản đồ có thể có. [2]: 1

Nói chung, các bề mặt của các hành tinh có thể được ánh xạ ngay cả khi chúng quá bất thường để được mô hình hóa tốt với hình cầu hoặc hình elip; xem bên dưới. Thậm chí tổng quát hơn, các phép chiếu là một chủ đề của một số lĩnh vực toán học thuần túy, bao gồm hình học vi phân, hình học chiếu và đa tạp. Tuy nhiên, "phép chiếu bản đồ" đề cập cụ thể đến phép chiếu bản đồ.

Bối cảnh [ chỉnh sửa ]

Bản đồ có thể hữu ích hơn quả địa cầu trong nhiều tình huống: chúng nhỏ gọn hơn và dễ lưu trữ hơn; họ dễ dàng chứa một phạm vi rộng lớn của quy mô; chúng được xem dễ dàng trên màn hình máy tính; họ có thể tạo điều kiện đo lường các thuộc tính của khu vực được lập bản đồ; chúng có thể hiển thị các phần lớn hơn của bề mặt Trái đất cùng một lúc; và chúng rẻ hơn để sản xuất và vận chuyển. Những đặc điểm hữu ích này của bản đồ thúc đẩy sự phát triển của các phép chiếu bản đồ.

Tuy nhiên, Theorema Egregium của Carl Friedrich Gauss đã chứng minh rằng bề mặt của một quả cầu không thể được biểu diễn trên một mặt phẳng mà không bị biến dạng. Điều tương tự cũng áp dụng cho các bề mặt tham chiếu khác được sử dụng làm mô hình cho Trái đất, chẳng hạn như các nhân vật anh hùng bắt buộc, ellipsoids và Geoids. Vì bất kỳ phép chiếu bản đồ nào là đại diện của một trong những bề mặt đó trên một mặt phẳng, tất cả các phép chiếu bản đồ đều bị biến dạng. Mỗi phép chiếu bản đồ riêng biệt biến dạng theo một cách riêng biệt. Nghiên cứu về các phép chiếu bản đồ là đặc tính của các biến dạng này.

Phép chiếu không giới hạn ở các hình chiếu phối cảnh, chẳng hạn như các hình chiếu do tạo bóng trên màn hình hoặc hình ảnh trực tràng được tạo bởi máy ảnh pinhole trên tấm phim phẳng. Thay vào đó, bất kỳ hàm toán học nào chuyển đổi tọa độ từ bề mặt cong sang mặt phẳng là một hình chiếu. Vài dự đoán trong sử dụng thực tế là quan điểm.

Để đơn giản, hầu hết bài viết này giả định rằng bề mặt được ánh xạ là hình cầu. Trong thực tế, Trái đất và các thiên thể lớn khác thường được mô hình hóa tốt hơn dưới dạng các nhân vật anh hùng bắt buộc, trong khi các vật thể nhỏ như tiểu hành tinh thường có hình dạng bất thường. Io được mô hình hóa tốt hơn bởi ellipsoid ba trục hoặc hình cầu có tỷ lệ nhỏ với độ lệch tâm nhỏ. Hình dạng của Haumea là một hình elip Jacobi, với trục chính dài gấp đôi trục phụ và với trục giữa dài gấp rưỡi so với trục phụ của nó. Những bề mặt khác cũng có thể được ánh xạ. Do đó, nói chung, phép chiếu bản đồ là bất kỳ phương pháp "làm phẳng" bề mặt cong liên tục nào trên mặt phẳng.

Thuộc tính số liệu của bản đồ [ chỉnh sửa ]

Nhiều thuộc tính có thể được đo trên bề mặt Trái đất độc lập với địa lý của nó. Một số thuộc tính này là:

Các phép chiếu bản đồ có thể được xây dựng để bảo tồn ít nhất một trong các thuộc tính này, mặc dù chỉ trong một cách hạn chế đối với hầu hết. Mỗi phép chiếu bảo tồn, thỏa hiệp hoặc xấp xỉ các thuộc tính số liệu cơ bản theo các cách khác nhau. Mục đích của bản đồ xác định phép chiếu nào sẽ tạo thành cơ sở cho bản đồ. Bởi vì nhiều mục đích tồn tại cho bản đồ, một loạt các phép chiếu đã được tạo ra để phù hợp với các mục đích đó.

Một xem xét khác trong cấu hình của phép chiếu là khả năng tương thích của nó với các bộ dữ liệu sẽ được sử dụng trên bản đồ. Tập dữ liệu là thông tin địa lý; bộ sưu tập của họ phụ thuộc vào mốc (mô hình) được chọn của Trái đất. Các mốc dữ liệu khác nhau gán các tọa độ hơi khác nhau cho cùng một vị trí, vì vậy trong các bản đồ tỷ lệ lớn, chẳng hạn như các bản đồ từ các hệ thống bản đồ quốc gia, điều quan trọng là phải khớp dữ liệu này với phép chiếu. Sự khác biệt nhỏ trong phân công phối hợp giữa các mốc khác nhau không phải là mối quan tâm đối với bản đồ thế giới hoặc các lãnh thổ rộng lớn khác, nơi những khác biệt như vậy bị thu hẹp đến mức không thể nhận ra.

Biến dạng [ chỉnh sửa ]

Các chỉ số của Tissot trên phép chiếu Mercator

Cách cổ điển thể hiện sự biến dạng vốn có trong phép chiếu là sử dụng chỉ thị của Tissot. Đối với một điểm nhất định, sử dụng hệ số tỷ lệ h dọc theo kinh tuyến, hệ số tỷ lệ k dọc theo vĩ tuyến và góc θ ′ giữa chúng, Nicolas Tissot mô tả cách xây dựng một hình elip đặc trưng cho số lượng và hướng của các thành phần của biến dạng. [2]: 147 Biệt149 [3] Bằng cách đặt các hình elip đều đặn dọc theo kinh tuyến và vĩ tuyến, mạng lưới biểu thị cho thấy sự biến dạng khác nhau như thế nào trên bản đồ.

Thiết kế và xây dựng [ chỉnh sửa ]

Việc tạo ra một phép chiếu bản đồ bao gồm hai bước:

  1. Lựa chọn mô hình cho hình dạng Trái đất hoặc cơ thể hành tinh (thường chọn giữa hình cầu hoặc hình elip). Do hình dạng thực tế của Trái đất là không đều, nên thông tin bị mất trong bước này.
  2. Chuyển đổi tọa độ địa lý (kinh độ và vĩ độ) sang Cartesian ( x y ) hoặc tọa độ mặt phẳng cực . Trong các bản đồ tỷ lệ lớn, tọa độ Descartes thường có mối quan hệ đơn giản với hướng đông và hướng bắc được định nghĩa là một lưới được đặt chồng lên trên hình chiếu. Trong các bản đồ tỷ lệ nhỏ, hướng đông và hướng bắc không có ý nghĩa và lưới không bị chồng lên nhau.

Một số phép chiếu bản đồ đơn giản nhất là phép chiếu theo nghĩa đen, như đã đạt được bằng cách đặt một nguồn sáng tại một số điểm xác định liên quan đến quả địa cầu và chiếu các tính năng của nó lên một bề mặt xác định. Đây không phải là trường hợp của hầu hết các phép chiếu, được định nghĩa chỉ theo các công thức toán học không có giải thích hình học trực tiếp. Tuy nhiên, hình dung mô hình quả cầu nguồn sáng có thể hữu ích trong việc tìm hiểu khái niệm cơ bản của phép chiếu bản đồ

Chọn một bề mặt chiếu [ chỉnh sửa ]

Một bề mặt có thể được mở ra hoặc không được điều khiển vào một mặt phẳng hoặc tấm mà không kéo dài, rách hoặc co lại được gọi là bề mặt có thể phát triển . Các hình trụ, hình nón và mặt phẳng đều có thể phát triển. Hình cầu và ellipsoid không có bề mặt có thể phát triển, do đó, bất kỳ hình chiếu nào của chúng lên mặt phẳng sẽ phải làm biến dạng hình ảnh. (Để so sánh, người ta không thể làm phẳng vỏ cam mà không làm rách và cong vênh nó.)

Một cách để mô tả một phép chiếu trước tiên là chiếu từ bề mặt Trái đất lên một bề mặt có thể phát triển như hình trụ hoặc hình nón, sau đó để điều khiển bề mặt vào một mặt phẳng. Trong khi bước đầu tiên chắc chắn làm biến dạng một số tính chất của địa cầu, bề mặt có thể phát triển sau đó có thể được mở ra mà không bị biến dạng thêm.

Khía cạnh của phép chiếu [ chỉnh sửa ]

Một khi lựa chọn được đưa ra giữa chiếu lên hình trụ, hình nón hoặc mặt phẳng, khía cạnh của hình dạng phải được chỉ định. Khía cạnh mô tả cách bề mặt có thể phát triển được đặt so với quả địa cầu: nó có thể là bình thường (sao cho trục đối xứng của bề mặt trùng với trục Trái đất), nằm ngang (ở góc bên phải theo trục của Trái đất) hoặc xiên (bất kỳ góc nào ở giữa).

Các dòng đáng chú ý [ chỉnh sửa ]

Bề mặt có thể phát triển cũng có thể là tiếp tuyến hoặc secant Tiếp tuyến có nghĩa là bề mặt chạm nhưng không cắt xuyên qua toàn cầu; secant có nghĩa là bề mặt cắt lát trên toàn cầu. Di chuyển bề mặt có thể phát triển ra khỏi tiếp xúc với toàn cầu không bao giờ bảo tồn hoặc tối ưu hóa các thuộc tính số liệu, do đó khả năng đó không được thảo luận thêm ở đây.

Các dòng tiếp tuyến và tiếp tuyến ( các dòng tiêu chuẩn ) được thể hiện không bị biến dạng. Nếu các đường này là song song của vĩ độ, như trong các hình chiếu hình nón, nó được gọi là song song tiêu chuẩn . Kinh tuyến trung tâm là kinh tuyến mà quả cầu được quay trước khi chiếu. Kinh tuyến trung tâm (thường được viết 0 ) và song song xuất xứ (thường được viết φ 0 ) thường được sử dụng để xác định nguồn gốc của phép chiếu bản đồ. [4][5]

Tỷ lệ [ chỉnh sửa ]

Một quả địa cầu là cách duy nhất để biểu thị trái đất với tỷ lệ không đổi trên toàn bộ bản đồ theo mọi hướng. Một bản đồ không thể đạt được tài sản đó cho bất kỳ khu vực nào, dù nhỏ đến đâu. Tuy nhiên, nó có thể đạt được quy mô không đổi dọc theo các dòng cụ thể.

Một số thuộc tính có thể là:

  • Thang đo phụ thuộc vào vị trí, nhưng không phụ thuộc vào hướng. Điều này tương đương với việc bảo toàn các góc, đặc tính xác định của bản đồ tuân thủ.
  • Tỷ lệ không đổi dọc theo bất kỳ song song nào theo hướng song song. Điều này áp dụng cho bất kỳ phép chiếu hình trụ hoặc giả hình nào ở khía cạnh bình thường.
  • Kết hợp các yếu tố trên: thang đo chỉ phụ thuộc vào vĩ độ, không phụ thuộc vào kinh độ hoặc hướng. Điều này áp dụng cho phép chiếu Mercator ở khía cạnh bình thường.
  • Tỷ lệ không đổi dọc theo tất cả các đường thẳng tỏa ra từ một vị trí địa lý cụ thể. Đây là đặc điểm xác định của một phép chiếu tương đương như phép chiếu đẳng thức Azimuthal. Ngoài ra còn có các phép chiếu (Phép chiếu tương đương hai điểm của Maurer, Đóng) trong đó khoảng cách thực sự từ hai điểm được bảo tồn. [2]: 234

Chọn mô hình cho hình dạng của cơ thể [19659008] [ chỉnh sửa ]

Cấu trúc chiếu cũng bị ảnh hưởng bởi cách hình dạng của Trái đất hoặc cơ thể hành tinh gần đúng. Trong phần sau đây về các loại hình chiếu, trái đất được lấy làm hình cầu để đơn giản hóa cuộc thảo luận. Tuy nhiên, hình dạng thực tế của Trái đất gần với hình elip hơn. Cho dù hình cầu hoặc hình elip, các nguyên tắc thảo luận giữ mà không mất tính tổng quát.

Chọn mô hình cho hình dạng Trái đất liên quan đến việc lựa chọn giữa ưu điểm và nhược điểm của hình cầu so với hình elip. Các mô hình hình cầu rất hữu ích cho các bản đồ tỷ lệ nhỏ như bản đồ thế giới và quả địa cầu, vì lỗi ở tỷ lệ đó thường không đáng chú ý hoặc đủ quan trọng để biện minh cho việc sử dụng ellipsoid phức tạp hơn. Mô hình ellipsoidal thường được sử dụng để xây dựng các bản đồ địa hình và cho các bản đồ quy mô lớn và trung bình khác cần mô tả chính xác bề mặt đất. Các vĩ độ phụ trợ thường được sử dụng trong việc chiếu ellipsoid.

Mô hình thứ ba là Geoid, một đại diện chính xác và phức tạp hơn về hình dạng Trái đất trùng với mực nước biển có nghĩa là gì nếu không có gió, thủy triều hoặc đất liền. So với ellipsoid phù hợp nhất, một mô hình địa lý sẽ thay đổi đặc tính của các tính chất quan trọng như khoảng cách, sự phù hợp và tương đương. Do đó, trong các phép chiếu địa lý bảo tồn các tính chất như vậy, mạng lưới được ánh xạ sẽ đi chệch khỏi lưới của ellipsoid được ánh xạ. Tuy nhiên, thông thường, Geoid không được sử dụng làm mô hình Trái đất cho các phép chiếu, tuy nhiên, vì hình dạng Trái đất rất đều đặn, với sự nhấp nhô của Geoid có độ dài dưới 100 m so với mô hình elip trong bán kính Trái đất 6,3 triệu m. Tuy nhiên, đối với các hành tinh không đều như các tiểu hành tinh, đôi khi, các mô hình tương tự với Geoid được sử dụng để chiếu các bản đồ từ. [6][7][8][9][10]

Phân loại [ chỉnh sửa ]

loại bề mặt chiếu mà trên đó toàn cầu được chiếu theo khái niệm. Các phép chiếu được mô tả theo cách đặt một bề mặt khổng lồ tiếp xúc với trái đất, theo sau là một thao tác mở rộng ngụ ý. Các bề mặt này có dạng hình trụ (ví dụ: Mercator), hình nón (ví dụ: Albers) và mặt phẳng (ví dụ: lập thể). Tuy nhiên, nhiều phép chiếu toán học không phù hợp với bất kỳ phương pháp chiếu khái niệm nào trong ba phương pháp này. Do đó, các thể loại ngang hàng khác đã được mô tả trong tài liệu, chẳng hạn như pseudoconic, pseudocylindument, pseudoazimuthal, retroazimuthal, và polyconic.

Một cách khác để phân loại các phép chiếu là theo các thuộc tính của mô hình mà chúng bảo tồn. Một số loại phổ biến hơn là:

  • Hướng bảo toàn ( phương vị hoặc thiên đỉnh ), một đặc điểm chỉ có thể từ một hoặc hai điểm đến mọi điểm khác [11]
  • Bảo tồn hình dạng cục bộ ([194590028] hoặc orthomorphic )
  • Khu vực bảo tồn ( diện tích bằng nhau hoặc tương đương hoặc tương đương ])
  • Giữ khoảng cách ( tương đương ), một đặc điểm chỉ có thể có giữa một hoặc hai điểm và mọi điểm khác
  • Bảo toàn tuyến đường ngắn nhất, một đặc điểm chỉ được bảo tồn bởi phép chiếu gnomonic

hình cầu không phải là một bề mặt có thể phát triển, không thể xây dựng một phép chiếu bản đồ có diện tích bằng nhau và phù hợp.

Các phép chiếu theo bề mặt [ chỉnh sửa ]

Ba bề mặt có thể phát triển (mặt phẳng, hình trụ, hình nón) cung cấp các mô hình hữu ích để hiểu, mô tả và phát triển các phép chiếu bản đồ. Tuy nhiên, những mô hình này bị hạn chế theo hai cách cơ bản. Đối với một điều, hầu hết các dự đoán trên thế giới sử dụng không thuộc bất kỳ loại nào trong số đó. Đối với một điều khác, ngay cả hầu hết các dự đoán rơi vào các loại đó không thể đạt được một cách tự nhiên thông qua phép chiếu vật lý. Như L.P Lee lưu ý,

Không có tài liệu tham khảo nào được đưa ra trong các định nghĩa trên cho hình trụ, hình nón hoặc mặt phẳng. Các hình chiếu được gọi là hình trụ hoặc hình nón bởi vì chúng có thể được coi là được phát triển trên một hình trụ hoặc hình nón, như trường hợp có thể, nhưng cũng là để phân tán với hình trụ và hình nón, vì chúng đã gây ra nhiều hiểu lầm. Đặc biệt là như vậy đối với các hình chiếu hình nón có hai vĩ tuyến chuẩn: chúng có thể được coi là được phát triển trên hình nón, nhưng chúng là hình nón không có mối quan hệ đơn giản với hình cầu. Trong thực tế, hình trụ và hình nón cung cấp cho chúng ta các thuật ngữ mô tả thuận tiện, nhưng ít khác. [12]

Sự phản đối của Lee đề cập đến cách các thuật ngữ hình trụ hình nón và (phương vị) đã được trừu tượng hóa trong lĩnh vực dự đoán bản đồ. Nếu các bản đồ được chiếu như ánh sáng chiếu xuyên qua một quả địa cầu lên một bề mặt có thể phát triển, thì khoảng cách các điểm tương đồng sẽ tuân theo một loạt các khả năng rất hạn chế. Một hình chiếu hình trụ như vậy (ví dụ) là một trong đó:

  1. Có hình chữ nhật;
  2. Có kinh tuyến thẳng đứng, cách đều nhau;
  3. Có các vĩ tuyến thẳng đặt đối xứng về đường xích đạo;
  4. Có các vĩ tuyến bị giới hạn ở nơi chúng rơi khi ánh sáng chiếu qua quả cầu, với nguồn sáng ở đâu đó dọc theo đường được hình thành bởi giao điểm của kinh tuyến gốc với đường xích đạo và tâm của quả cầu.

(Nếu bạn xoay quả cầu trước khi chiếu thì các vĩ tuyến và kinh tuyến sẽ không nhất thiết vẫn là các đường thẳng. Xoay thường được bỏ qua cho mục đích phân loại.)

Trường hợp nguồn sáng phát ra dọc theo đường được mô tả trong ràng buộc cuối cùng này là điều mang lại sự khác biệt giữa các hình chiếu hình trụ "tự nhiên" khác nhau. Nhưng thuật ngữ hình trụ như được sử dụng trong lĩnh vực chiếu bản đồ giúp nới lỏng hoàn toàn các ràng buộc cuối cùng. Thay vào đó, các vĩ tuyến có thể được đặt theo bất kỳ thuật toán nào mà nhà thiết kế đã quyết định phù hợp với nhu cầu của bản đồ. Phép chiếu Mercator nổi tiếng là một trong đó vị trí của các vĩ tuyến không phát sinh bởi "phép chiếu"; thay vào đó, các vĩ tuyến được đặt như thế nào chúng cần để thỏa mãn tính chất mà một quá trình chịu lực liên tục luôn được vẽ như một đường thẳng.

Hình trụ [ chỉnh sửa ]

Phép chiếu Mercator hiển thị hình thoi như những đường thẳng. Một rhumb là một quá trình mang liên tục. Vòng bi là hướng di chuyển của la bàn.

"Phép chiếu hình trụ bình thường" là bất kỳ phép chiếu nào trong đó kinh tuyến được ánh xạ tới các đường thẳng đứng cách đều nhau và các vòng tròn vĩ độ (vĩ tuyến) được ánh xạ thành các đường nằm ngang.

Việc ánh xạ các kinh tuyến thành các đường thẳng đứng có thể được hình dung bằng cách tưởng tượng một hình trụ có trục trùng với trục quay của Trái đất. Hình trụ này được quấn quanh Trái đất, chiếu lên, và sau đó không được điều khiển.

Bằng hình học xây dựng của chúng, các hình chiếu trụ kéo dài khoảng cách đông-tây. Lượng giãn là như nhau ở bất kỳ vĩ độ đã chọn nào trên tất cả các hình chiếu hình trụ, và được đưa ra bởi mật độ của vĩ độ là bội số của thang đo của đường xích đạo. Các hình chiếu trụ khác nhau được phân biệt với nhau chỉ bằng cách kéo dài theo hướng bắc-nam (trong đó vĩ độ được cho bởi φ):

  • Kéo dài bắc-nam bằng với kéo dài đông-tây (giây ): Thang đo đông-tây phù hợp với quy mô bắc-nam: hình trụ hoặc Mercator phù hợp; điều này làm biến dạng các khu vực quá mức ở vĩ độ cao (xem thêm Mercator ngang).
  • Sự kéo dài theo hướng Bắc-Nam phát triển với vĩ độ nhanh hơn so với kéo dài theo hướng đông-tây (giây 2 φ ): Phối cảnh hình trụ (hoặc hình trụ trung tâm) chiếu; không phù hợp vì độ méo thậm chí còn tồi tệ hơn so với phép chiếu Mercator.
  • Kéo dài theo hướng Bắc-Nam phát triển theo vĩ độ, nhưng nhanh hơn so với kéo dài theo hướng đông-tây: chẳng hạn như phép chiếu hình trụ Miller (giây 4 / [19659090] 5 φ ).
  • Khoảng cách Bắc-Nam không kéo dài cũng không nén (1): phép chiếu bằng phương pháp hoặc "tấm carrée".
  • Nén theo hướng bắc-nam bằng với cosin của vĩ độ ( đối ứng của kéo dài đông-tây): hình trụ có diện tích bằng nhau. Phép chiếu này có nhiều chuyên môn được đặt tên chỉ khác nhau ở hằng số tỷ lệ, chẳng hạn như GallTHER Peters hoặc Gall orthographic (không bị biến dạng ở vĩ tuyến 45 °), Behrmann (không bị biến dạng ở vĩ tuyến 30 °) và diện tích hình trụ bằng Lambert (không bị biến dạng ở đường xích đạo). Do phép chiếu này chia tỷ lệ khoảng cách bắc-nam bằng sự đối ứng của kéo dài theo hướng đông-tây, nó bảo toàn diện tích bằng chi phí của hình dạng.

Trong trường hợp đầu tiên (Mercator), tỷ lệ đông-tây luôn bằng với quy mô bắc-nam. Trong trường hợp thứ hai (hình trụ trung tâm), tỷ lệ bắc-nam vượt quá quy mô đông-tây ở mọi nơi cách xa xích đạo. Mỗi trường hợp còn lại có một cặp đường thẳng liên kết một cặp vĩ độ giống hệt nhau của dấu hiệu đối diện (hoặc đường xích đạo khác) mà tại đó thang đo phía đông-tây khớp với quy mô bắc-nam.

Các hình chiếu hình trụ bình thường ánh xạ toàn bộ Trái đất dưới dạng hình chữ nhật hữu hạn, ngoại trừ trong hai trường hợp đầu tiên, trong đó hình chữ nhật trải dài vô hạn trong khi vẫn giữ được chiều rộng không đổi.

Pseudocylindrial [ chỉnh sửa ]

Một hình chiếu hình sin cho thấy kích thước tương đối chính xác, nhưng làm biến dạng hình dạng. Sự biến dạng có thể được giảm bớt bằng cách "làm gián đoạn" bản đồ.

Các hình chiếu giả hành đại diện cho kinh tuyến trung tâm như một đoạn thẳng. Các kinh tuyến khác dài hơn kinh tuyến trung tâm và hướng ra ngoài, cách xa kinh tuyến trung tâm. Phép chiếu giả ngẫu ánh xạ tương tự như các đường thẳng. Dọc theo vĩ tuyến, mỗi điểm từ bề mặt được ánh xạ ở khoảng cách từ kinh tuyến trung tâm tỷ lệ với sự khác biệt về kinh độ của nó so với kinh tuyến trung tâm. Do đó, kinh tuyến cách đều nhau dọc theo một vĩ tuyến cho trước. Trên bản đồ giả hình, bất kỳ điểm nào cách xa xích đạo hơn một số điểm khác có vĩ độ cao hơn điểm khác, bảo toàn các mối quan hệ bắc-nam. Đặc điểm này rất hữu ích khi minh họa các hiện tượng phụ thuộc vào vĩ độ, chẳng hạn như khí hậu. Ví dụ về các phép chiếu giả bao gồm:

  • Sinusoidal, đó là hình chiếu giả mạc đầu tiên được phát triển. Trên bản đồ, như trong thực tế, độ dài của mỗi vĩ tuyến tỷ lệ thuận với cosin của vĩ độ. [13] Diện tích của bất kỳ khu vực nào là đúng.
  • Phép chiếu Collignon, trong các dạng phổ biến nhất của nó đại diện cho mỗi kinh tuyến là hai Các đoạn thẳng, một đoạn từ mỗi cực đến xích đạo.

Hybrid [ chỉnh sửa ]

Phép chiếu HEALPix kết hợp phép chiếu hình trụ có diện tích bằng nhau ở vùng xích đạo với phép chiếu Collignon ở cực khu vực.

Conic [ chỉnh sửa ]

Albers conic.

Thuật ngữ "phép chiếu hình nón" được sử dụng để chỉ bất kỳ phép chiếu nào được ánh xạ tới các vạch cách đều nhau. đỉnh và các đường tròn vĩ độ (vĩ tuyến) được ánh xạ tới các cung tròn tập trung ở đỉnh. [14]

Khi tạo bản đồ hình nón, nhà sản xuất bản đồ tự ý chọn hai song song tiêu chuẩn. Các vĩ tuyến tiêu chuẩn đó có thể được hình dung như các đường thẳng trong đó hình nón giao nhau với quả cầu hình cầu hoặc, nếu nhà sản xuất bản đồ chọn song song hai lần, là đường tiếp tuyến trong đó hình nón tiếp tuyến với quả địa cầu. Bản đồ hình nón thu được có độ méo thấp về tỷ lệ, hình dạng và diện tích gần các vĩ tuyến tiêu chuẩn đó. Khoảng cách dọc theo vĩ tuyến về phía bắc của cả hai vĩ tuyến tiêu chuẩn hoặc về phía nam của cả hai vĩ tuyến tiêu chuẩn đều được kéo dài; khoảng cách dọc theo vĩ tuyến giữa các vĩ tuyến tiêu chuẩn được nén. Khi sử dụng song song tiêu chuẩn duy nhất, khoảng cách dọc theo tất cả các vĩ tuyến khác được kéo dài.

Các phép chiếu hình nón thường được sử dụng là:

  • Hình nón tương đương, giữ các vĩ tuyến cách đều nhau dọc theo kinh tuyến để duy trì thang đo khoảng cách không đổi dọc theo mỗi kinh tuyến, thường có cùng tỷ lệ hoặc tương tự như dọc theo vĩ tuyến tiêu chuẩn.
  • Albers conic, điều chỉnh khoảng cách bắc-nam giữa Các vĩ tuyến không chuẩn để bù cho sự kéo dài hoặc nén về phía đông-tây, tạo ra một bản đồ có diện tích bằng nhau.
  • Hình nón phù hợp Lambert, điều chỉnh khoảng cách bắc-nam giữa các vĩ tuyến phi tiêu chuẩn để bằng với sự kéo dài theo hướng đông-tây một bản đồ phù hợp.

Pseudoconic [ chỉnh sửa ]

  • Bonne, một hình chiếu diện tích bằng nhau mà hầu hết các kinh tuyến và vĩ tuyến xuất hiện dưới dạng các đường cong. Nó có một tiêu chuẩn song song có thể định cấu hình dọc theo đó không có biến dạng.
  • Dạng dây của Werner, trên đó khoảng cách là chính xác từ một cực, cũng như dọc theo tất cả các vĩ tuyến.
  • Đa giác của Mỹ

Azimuthal (hình chiếu lên một mặt phẳng) [ chỉnh sửa ]

Phép chiếu đẳng thức phương vị cho thấy khoảng cách và hướng chính xác từ điểm trung tâm, nhưng làm biến dạng hình dạng và kích thước ở nơi khác.

Các hình chiếu phương vị có đặc tính hướng từ điểm trung tâm được bảo tồn và do đó các vòng tròn lớn thông qua điểm trung tâm được thể hiện bằng các đường thẳng trên bản đồ. Các hình chiếu này cũng có tính đối xứng xuyên tâm theo tỷ lệ và do đó trong các biến dạng: khoảng cách bản đồ từ điểm trung tâm được tính bởi một hàm r ( d ) của khoảng cách thực d không phụ thuộc vào góc; tương ứng, các vòng tròn có điểm trung tâm là trung tâm được ánh xạ thành các vòng tròn có tâm điểm là trung tâm trên bản đồ.

Việc ánh xạ các đường xuyên tâm có thể được hình dung bằng cách tưởng tượng một mặt phẳng tiếp tuyến với Trái đất, với điểm trung tâm là điểm tiếp tuyến.

Thang đo xuyên tâm là r ′ ( d ) và thang đo ngang r ( d ) / ( sin d / R ) trong đó R là bán kính Trái đất.

Một số dự đoán phương vị là dự đoán phối cảnh thực sự; nghĩa là, chúng có thể được chế tạo một cách cơ học, chiếu lên bề mặt Trái đất bằng cách kéo dài các đường từ một điểm phối cảnh (dọc theo một đường vô hạn qua điểm tiếp tuyến và phản cực của điểm tiếp tuyến) lên mặt phẳng:

  • Phép chiếu gnomonic hiển thị các vòng tròn lớn dưới dạng các đường thẳng. Có thể được xây dựng bằng cách sử dụng một điểm phối cảnh ở trung tâm Trái đất. r ( d ) = c tan d / do đó, ngay cả một bán cầu cũng đã vô hạn trong phạm vi. [15] [16]
  • Phép chiếu phối cảnh chung có thể được xây dựng bằng cách sử dụng một điểm phối cảnh bên ngoài trái đất. Hình ảnh về Trái đất (chẳng hạn như những bức ảnh từ Trạm vũ trụ quốc tế) đưa ra viễn cảnh này.
  • Phép chiếu chính tả ánh xạ từng điểm trên trái đất đến điểm gần nhất trên mặt phẳng. Có thể được xây dựng từ một điểm quan điểm một khoảng cách vô hạn từ điểm tiếp tuyến; r ( d ) = c sin d / [17] Có thể hiển thị tới một bán cầu trên một vòng tròn hữu hạn. Các bức ảnh về Trái đất từ ​​rất xa, như Mặt trăng, gần đúng với viễn cảnh này.
  • Phép chiếu lập thể, phù hợp, có thể được xây dựng bằng cách sử dụng phản âm của điểm tiếp tuyến làm điểm phối cảnh. r ( d ) = c tan d / 2 ; thang đo là c / (2 R cos 2 d / 2 ). [18] Có thể hiển thị gần như toàn bộ bề mặt của quả cầu trên một vòng tròn hữu hạn. Bề mặt đầy đủ của hình cầu đòi hỏi một bản đồ vô hạn.

Các hình chiếu phương vị khác không phải là hình chiếu phối cảnh thực:

  • Bình đẳng phương vị: r ( d ) = cd ; nó được sử dụng bởi các nhà khai thác vô tuyến nghiệp dư để biết hướng để hướng ăng-ten của họ tới một điểm và xem khoảng cách đến nó. Khoảng cách từ điểm tiếp tuyến trên bản đồ tỷ lệ thuận với khoảng cách bề mặt trên trái đất (; [19] đối với trường hợp điểm tiếp tuyến là Bắc Cực, xem cờ của Liên Hợp Quốc)
  • Lambert góc phương vị bằng nhau. Khoảng cách từ điểm tiếp tuyến trên bản đồ tỷ lệ thuận với khoảng cách đường thẳng xuyên qua trái đất: r ( d ) = c sin d / 2 R [20]
  • Phương vị phương vị logarit được xây dựng sao cho mỗi khoảng cách từ tâm của bản đồ là logarit. khoảng cách của nó từ điểm tiếp tuyến trên Trái đất. r ( d ) = c ln d / ); các vị trí gần hơn ở khoảng cách bằng hằng số d 0 không được hiển thị. [21][22]
So sánh một số phép chiếu phương vị tập trung ở 90 ° N ở cùng tỷ lệ, được sắp xếp theo độ cao chiếu trong Trái đất . (bấm vào để biết chi tiết)

Dự đoán bằng cách bảo quản một thuộc tính số liệu [ chỉnh sửa ]

Tuân thủ [ chỉnh sửa ]

, các phép chiếu bản đồ bảo tồn các góc cục bộ, ngụ ý rằng chúng ánh xạ các vòng tròn vô hạn có kích thước không đổi ở bất cứ đâu trên Trái đất thành các vòng tròn vô hạn có kích thước khác nhau trên bản đồ. Ngược lại, ánh xạ không phù hợp làm biến dạng hầu hết các vòng tròn nhỏ như vậy thành hình elip biến dạng. Một hậu quả quan trọng của sự phù hợp là các góc tương đối tại mỗi điểm của bản đồ là chính xác và tỷ lệ cục bộ (mặc dù khác nhau trên toàn bản đồ) theo mọi hướng xung quanh bất kỳ một điểm nào là không đổi. Đây là một số dự đoán phù hợp:

Diện tích bằng nhau [ chỉnh sửa ]

Bản đồ diện tích bằng nhau bảo tồn thước đo diện tích, thường làm biến dạng hình dạng để thực hiện điều đó. Các bản đồ có diện tích bằng nhau cũng được gọi là tương đương hoặc authalic . Đây là một số dự báo bảo tồn khu vực:

Equidistant [ chỉnh sửa ]

Đây là một số phép chiếu giữ khoảng cách từ một số điểm hoặc đường chuẩn:

Gnomonic [ chỉnh sửa ]

Các vòng tròn lớn được hiển thị dưới dạng các đường thẳng:

Retroazimuthal [ chỉnh sửa ]

Hướng đến một vị trí cố định B (ổ đỡ tại vị trí bắt đầu A của tuyến đường ngắn nhất) tương ứng với hướng trên bản đồ từ A đến B:

Các phép chiếu thỏa hiệp [ chỉnh sửa ]

Các phép chiếu thỏa hiệp từ bỏ ý tưởng bảo toàn hoàn hảo các thuộc tính số liệu, thay vào đó tìm cách cân bằng giữa các biến dạng hoặc đơn giản là làm cho mọi thứ "nhìn đúng" . Hầu hết các loại hình chiếu này làm biến dạng hình dạng ở các vùng cực nhiều hơn ở xích đạo. Đây là một số dự đoán thỏa hiệp:

Phép chiếu nào là tốt nhất? [ chỉnh sửa ]

Toán học về phép chiếu không cho phép bất kỳ phép chiếu bản đồ cụ thể nào là "tốt nhất" cho mọi thứ. Một cái gì đó sẽ luôn luôn bị bóp méo. Do đó, nhiều dự đoán tồn tại để phục vụ cho việc sử dụng nhiều bản đồ và phạm vi rộng lớn của chúng.

Các hệ thống bản đồ quốc gia hiện đại thường sử dụng Mercator ngang hoặc biến thể gần cho các bản đồ tỷ lệ lớn để duy trì sự phù hợp và thay đổi tỷ lệ thấp trên các khu vực nhỏ. Đối với các bản đồ tỷ lệ nhỏ hơn, chẳng hạn như các lục địa trải dài hoặc toàn thế giới, nhiều dự đoán được sử dụng phổ biến theo mục đích của chúng cho mục đích, chẳng hạn như Winkel tripel, Robinson và Mollweide. [23] Bản đồ tham khảo về thế giới thường xuất hiện trên thỏa hiệp dự đoán. Do những biến dạng vốn có trong bất kỳ bản đồ nào của thế giới, sự lựa chọn chiếu trở thành một trong những yếu tố thẩm mỹ.

Thematic maps normally require an equal area projection so that phenomena per unit area are shown in correct proportion.[24] However, representing area ratios correctly necessarily distorts shapes more than many maps that are not equal-area.

The Mercator projection, developed for navigational purposes, has often been used in world maps where other projections would have been more appropriate.[25][26][27][28] This problem has long been recognized even outside professional circles. For example, a 1943 New York Times editorial states:

The time has come to discard [the Mercator] for something that represents the continents and directions less deceptively … Although its usage … has diminished … it is still highly popular as a wall map apparently in part because, as a rectangular map, it fills a rectangular wall space with more map, and clearly because its familiarity breeds more popularity.[2]:166

A controversy in the 1980s over the Peters map motivated the American Cartographic Association (now Cartography and Geographic Information Society) to produce a series of booklets (including Which Map Is Best[29]) designed to educate the public about map projections and distortion in maps. In 1989 and 1990, after some internal debate, seven North American geographic organizations adopted a resolution recommending against using any rectangular projection (including Mercator and Gall–Peters) for reference maps of the world.[30][31]

See also[edit]

References[edit]

  1. ^ Snyder, J.P. (1989). Album of Map Projections, United States Geological Survey Professional Paper. Văn phòng In ấn Chính phủ Hoa Kỳ. 1453.
  2. ^ a b c d Snyder, John P. (1993). Flattening the earth: two thousand years of map projections. Nhà xuất bản Đại học Chicago. ISBN 0-226-76746-9.
  3. ^ Snyder. Working Manual, p. 24.
  4. ^ "Projection parameters".
  5. ^ "Map projections".
  6. ^ Cheng, Y.; Lorre, J. J. (2000). "Equal Area Map Projection for Irregularly Shaped Objects". Cartography and Geographic Information Science. 27 (2): 91. doi:10.1559/152304000783547957.
  7. ^ Stooke, P. J. (1998). "Mapping Worlds with Irregular Shapes". The Canadian Geographer. 42: 61. doi:10.1111/j.1541-0064.1998.tb01553.x.
  8. ^ Shingareva, K.B.; Bugaevsky, L.M.; Nyrtsov, M. (2000). "Mathematical Basis for Non-spherical Celestial Bodies Maps" (PDF). Journal of Geospatial Engineering. 2 (2): 45–50.
  9. ^ Nyrtsov, M.V. (August 2003). "The Classification of Projections of Irregularly-shaped Celestial Bodies" (PDF). Proceedings of the 21st International Cartographic Conference (ICC): 1158–1164.
  10. ^ Clark, P. E.; Clark, C. S. (2013). "CSNB Mapping Applied to Irregular Bodies". Constant-Scale Natural Boundary Mapping to Reveal Global and Cosmic Processes. SpringerBriefs in Astronomy. tr. 71. doi:10.1007/978-1-4614-7762-4_6. ISBN 978-1-4614-7761-7.
  11. ^ Snyder, John Parr (1987). Map Projections – a Working Manual. Văn phòng In ấn Chính phủ Hoa Kỳ. tr. 192.
  12. ^ Lee, L.P. (1944). "The nomenclature and classification of map projections". Empire Survey Review. VII (51): 190–200. doi:10.1179/sre.1944.7.51.190. p. 193
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Sinusoidal Projection". MathWorld.
  14. ^ Carlos A. Furuti. "Conic Projections"
  15. ^ Weisstein, Eric W. "Gnomonic Projection". MathWorld.
  16. ^ "The Gnomonic Projection". Retrieved November 18, 2005.
  17. ^ Weisstein, Eric W. "Orthographic Projection". MathWorld.
  18. ^ Weisstein, Eric W. "Stereographic Projection". MathWorld.
  19. ^ Weisstein, Eric W. "Azimuthal Equidistant Projection". MathWorld.
  20. ^ Weisstein, Eric W. "Lambert Azimuthal Equal-Area Projection". MathWorld.
  21. ^ Snyder, John P. "Enlarging the Heart of a Map". Archived from the original on July 2, 2010. Retrieved April 14, 2016.
  22. ^ Snyder, John P. "Enlarging the Heart of a Map (accompanying figures)". Archived from the original on April 10, 2011. Retrieved November 18, 2005. (see figure 6-5)
  23. ^ Choosing a World Map. Falls Church, Virginia: American Congress on Surveying and Mapping. 1988. tr. 1. ISBN 0-9613459-2-6.
  24. ^ Slocum, Terry A.; Robert B. McMaster; Fritz C. Kessler; Hugh H. Howard (2005). Thematic Cartography and Geographic Visualization (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall. tr. 166. ISBN 0-13-035123-7.
  25. ^ Bauer, H.A. (1942). "Globes, Maps, and Skyways (Air Education Series)". Newyork. tr. 28
  26. ^ Miller, Osborn Maitland (1942). "Notes on Cylindrical World Map Projections". Geographical Review. 32 (3): 424–430. doi:10.2307/210384.
  27. ^ Raisz, Erwin Josephus. (1938). General Cartography. New York: McGraw–Hill. 2d ed., 1948. p. 87.
  28. ^ Robinson, Arthur Howard. (1960). Elements of Cartographysecond edition. New York: John Wiley and Sons. tr. 82.
  29. ^ American Cartographic Association's Committee on Map Projections, 1986. Which Map is Best p. 12. Falls Church: American Congress on Surveying and Mapping.
  30. ^ Robinson, Arthur (1990). "Rectangular World Maps—No!". Professional Geographer. 42 (1): 101–104. doi:10.1111/j.0033-0124.1990.00101.x.
  31. ^ "Geographers and Cartographers Urge End to Popular Use of Rectangular Maps". American Cartographer. 16: 222–223. 1989. doi:10.1559/152304089783814089.

Notes

  • Fran Evanisko, American River College, lectures for Geography 20: "Cartographic Design for GIS", Fall 2002
  • Map Projections—PDF versions of numerous projections, created and released into the Public Domain by Paul B. Anderson … member of the International Cartographic Association's Commission on Map Projections

External links[edit]

  • "An Album of Map Projections" (PDF). (12.6 MB)U.S. Geological Survey Professional Paper 1453, by John P. Snyder (USGS) and Philip M. Voxland (U. Minnesota), 1989.
  • Cartography at Curlie
  • A Cornucopia of Map Projections, a visualization of distortion on a vast array of map projections in a single image.
  • G.Projector, free software can render many projections (NASA GISS).
  • Color images of map projections and distortion (Mapthematics.com).
  • Geometric aspects of mapping: map projection (KartoWeb.itc.nl).
  • Java world map projections, Henry Bottomley (SE16.info).
  • Map projections http://www.3dsoftware.com/Cartography/USGS/MapProjections/ at the Wayback Machine (archived January 4, 2007) (3DSoftware).
  • Map projections, John Savard.
  • Map Projections (MathWorld).
  • Map Projections An interactive JAVA applet to study deformations (area, distance and angle) of map projections (UFF.br).
  • Map Projections: How Projections Work (Progonos.com).
  • Map Projections Poster (U.S. Geographical Survey).
  • MapRef: The Internet Collection of MapProjections and Reference Systems in Europe
  • PROJ.4 – Cartographic Projections Library.
  • Projection Reference Table of examples and properties of all common projections (RadicalCartography.net).
  • "Understanding Map Projections" (PDF). (1.70 MB)Melita Kennedy (Esri).
  • World Map Projections, Stephen Wolfram based on work by Yu-Sung Chang (Wolfram Demonstrations Project).
  • Compare Map Projections
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994]"Cartographic projection", Encyclopedia of MathematicsSpringer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4