Chức năng phỏng đoán – Wikipedia

Posted on by lordneo

Trong toán học, một hàm f từ một tập X thành một tập Y là thành từ [hoặc), hoặc từ chối nếu với mọi phần tử y trong tên miền Y của f có ít nhất một phần tử x trong miền X của f sao cho f ( x ) = y . Không bắt buộc rằng x là duy nhất; hàm f có thể ánh xạ một hoặc nhiều phần tử của X vào cùng một phần tử của Y .

Một hàm tính từ miền X sang tên miền Y . Hàm này là tính từ vì mọi điểm trong tên miền là giá trị của f ( x ) cho ít nhất một điểm x trong miền.

thuật ngữ phỏng đoán và các thuật ngữ liên quan tiêm chích và phỏng đoán đã được giới thiệu bởi Nicolas Bourbaki, [1] một nhóm các nhà toán học chủ yếu là người Pháp thế kỷ 20. một loạt các cuốn sách trình bày về toán học tiên tiến hiện đại, bắt đầu vào năm 1935. Từ tiếng Pháp sur có nghĩa là trên hoặc ở trên và liên quan đến thực tế là hình ảnh của miền của hàm so sánh hoàn toàn bao gồm tên miền của hàm.

Bất kỳ chức năng nào cũng gây ra sự từ chối bằng cách giới hạn tên miền của nó trong phạm vi của nó. Mọi hàm tính từ đều có nghịch đảo phải và mọi hàm có nghịch đảo đúng nhất thiết phải là một phép từ chối. Tổng hợp các hàm tính từ luôn luôn là tính từ. Bất kỳ chức năng có thể được phân tách thành một từ chối và tiêm.

Định nghĩa [ chỉnh sửa ]

Hàm giả định là một hàm có hình ảnh bằng với tên miền của nó. Tương tự, một chức năng f với miền X và tên miền Y là tính từ nếu mọi y trong Y tồn tại ít nhất một x trong X với

f ( x ) = y { display f (x) = y}

. Sự thay đổi đôi khi được biểu thị bằng một mũi tên phải hai đầu ( U + 21A0 ↠ RIGHTWARDS HAI M ARI TÊN TRÊN ), [2] như trong f X ↠ Y .

Về mặt tượng trưng,

If

Ví dụ [ chỉnh sửa ]

Hàm không tính từ từ tên miền X sang tên miền Y . Hình bầu dục nhỏ hơn bên trong Y là hình ảnh (còn được gọi là phạm vi) của f . Hàm này là không phải là vì hình ảnh không lấp đầy toàn bộ tên miền. Nói cách khác, Y được tô màu theo quy trình gồm hai bước: Thứ nhất, với mọi x trong X điểm f ( x ) có màu vàng; Thứ hai, tất cả các điểm còn lại trong Y không có màu vàng, có màu xanh lam. Hàm f chỉ là tính từ nếu không có điểm màu xanh.

Đối với bất kỳ tập hợp nào X id chức năng nhận dạng X trên X là tính từ.

Hàm f : Z → {0,1} được xác định bởi f ( n ) = n mod 2 (nghĩa là các số nguyên chẵn được ánh xạ thành 0 và các số nguyên lẻ thành 1) là tính từ.

Hàm f : R → R được xác định bởi f ( x ) = 2 ] x + 1 là tính từ (và thậm chí là tính từ), bởi vì với mỗi số thực y chúng ta có x sao cho f ( x ) = y : một x thích hợp là ( y – 1) / 2.

Hàm f : R → R được xác định bởi f ( x ) = x 3 – 3 x là tính từ, bởi vì hình ảnh trước của bất kỳ số thực nào y là tập giải pháp của phương trình đa thức bậc ba x [19659072] 3 – 3 x – y = 0 và mọi đa thức bậc ba với hệ số thực có ít nhất một gốc thực. Tuy nhiên, chức năng này không phải là tiêm (và do đó không phải là tính từ) vì ví dụ: hình ảnh trước của y = 2 là { x = −1, x = 2}. (Trên thực tế, hình ảnh trước của chức năng này cho mọi y −2 y 2 có nhiều hơn một yếu tố.)

Hàm g : R → R được xác định bởi g ( x ) = x 2 là không phải là bởi vì không có số thực x sao cho x 2 = −1 . Tuy nhiên, chức năng g : R → R 0 + được xác định bởi g ] x ) = x 2 (với tên miền bị hạn chế) là phỏng đoán vì với mọi y trong tên miền thực không mã hóa có ít nhất một x trong miền thực X sao cho x 2 = y .

Hàm logarit tự nhiên ln: (0, +) → R là ánh xạ phỏng đoán và thậm chí là tính toán từ tập hợp các số thực dương sang tập hợp tất cả các số thực. Hàm nghịch đảo của nó, hàm số mũ, không phải là tính từ vì phạm vi của nó là tập hợp các số thực dương và miền của nó thường được định nghĩa là tập hợp của tất cả các số thực. Số mũ của ma trận không phải là tính toán khi được xem như là một bản đồ từ không gian của tất cả n × n ma trận với chính nó. Tuy nhiên, nó thường được định nghĩa là một bản đồ từ không gian của tất cả n × n ma trận cho nhóm tuyến tính chung có cấp độ n tức là nhóm tất cả n × n ma trận khả nghịch. Theo định nghĩa này, hàm mũ của ma trận là tính từ đối với các ma trận phức tạp, mặc dù vẫn không thể so sánh được với các ma trận thực.

Phép chiếu từ một sản phẩm của cartesian A × B cho một trong các yếu tố của nó là có thể trừ khi yếu tố kia trống rỗng.

Trong trò chơi video 3D, các vectơ được chiếu lên màn hình phẳng 2D bằng chức năng so sánh.

Giải thích cho chức năng phỏng đoán trong mặt phẳng Cartesian, được xác định bởi ánh xạ f : X → Y trong đó y = f ( x ), X = miền chức năng, Y = phạm vi chức năng. Mọi phần tử trong phạm vi được ánh xạ từ một phần tử trong miền, theo quy tắc f . Có thể có một số phần tử miền ánh xạ tới cùng một phần tử phạm vi. Đó là, mỗi y trong Y được ánh xạ từ một phần tử x trong X nhiều hơn một x có thể ánh xạ tới cùng y . Còn lại: Chỉ có một tên miền được hiển thị khiến cho f bị từ chối. Phải: hai miền có thể X 1 và X 2 được hiển thị.

Các hàm không tính từ trong Cartesian máy bay. Mặc dù một số phần của chức năng là tính từ, trong đó các phần tử y trong Y có giá trị x trong X sao cho y = f ( x ), một số phần thì không. Còn lại: Có y 0 trong Y nhưng không có x 0 trong sao cho y 0 = f ( x 0 ). Phải: Có y 1 y 2 và y 3 trong nhưng không có x 1 x 2 và x 3 trong X sao cho y 1 = f ( x 1 ), y 2 f ( x 2 ), và y 3 = f ( x 3 ).

Thuộc tính [ chỉnh sửa ]

Một chức năng là tính từ nếu và chỉ khi nó là cả tính từ và tính tiêm.

Nếu (như thường được thực hiện) một chức năng được xác định bằng biểu đồ của nó, thì tính siêu thực không phải là một thuộc tính của chính chức năng, mà là một thuộc tính của ánh xạ [3]. Đây là, chức năng cùng với tên miền của nó. Không giống như tính tiêm truyền, tính siêu thực không thể được đọc ra khỏi biểu đồ của hàm.

Sự thay đổi như các chức năng không thể đảo ngược [ chỉnh sửa ]

Chức năng g : Y → X trở thành một nghịch đảo đúng của hàm f : X → Y if f ( g ( ] y )) = y cho mọi y trong Y ( g có thể được hoàn tác bởi f ]). Nói cách khác, g là một nghịch đảo đúng của f nếu thành phần f o g của g và f theo thứ tự đó là chức năng nhận dạng trên miền Y của g . Hàm g không cần phải là nghịch đảo hoàn toàn của f bởi vì thành phần theo thứ tự khác, g o f có thể không chức năng nhận dạng trên miền X của f . Nói cách khác, f có thể hoàn tác hoặc " đảo ngược " g nhưng không nhất thiết phải bị đảo ngược bởi nó.

Mọi chức năng với một nghịch đảo phải nhất thiết phải là một từ chối. Mệnh đề cho rằng mọi hàm tính từ đều có nghịch đảo đúng tương đương với tiên đề của sự lựa chọn.

Nếu f : X → Y là tính từ và B là tập con của Y f ( f −1 ( B )) = B . Do đó, B có thể được phục hồi từ tiền đề của nó f 1 ( B ) .

Ví dụ, trong hình minh họa đầu tiên, ở trên, có một số chức năng g sao cho g ( C ) = 4. Ngoài ra còn có một số chức năng f sao cho f (4) = C . Không quan trọng rằng g ( C ) cũng có thể bằng 3; nó chỉ quan trọng là f "đảo ngược" g .

  • Thành phần siêu tính: hàm đầu tiên không cần phải là tính từ.

  • Một chức năng tính từ khác. (Điều này xảy ra là một bijection)

  • Hàm không -surjective. (Điều này xảy ra là một mũi tiêm)

Sự thay đổi dưới dạng biểu hiện [ chỉnh sửa ]

Một chức năng f : X → Y chỉ khi nó được hủy bỏ đúng: [4] được cung cấp bất kỳ chức năng nào g h : Y → Z bất cứ khi nào g o f = h o f sau đó g = h . Tính chất này được xây dựng theo các chức năng và thành phần của chúng và có thể được khái quát thành khái niệm tổng quát hơn về các hình thái của một thể loại và thành phần của chúng. Các hình thái hủy bỏ phải được gọi là epimorphism. Cụ thể, các hàm tính từ chính xác là các biểu thức trong thể loại của tập hợp. Tiền tố epi có nguồn gốc từ giới từ Hy Lạp ἐπί có nghĩa là trên trên trên .

Bất kỳ hình thái nào với một nghịch đảo phải là một biểu hiện, nhưng nói chung là không đúng. Một nghịch đảo bên phải g của một hình thái f được gọi là một phần của f . Một hình thái với một nghịch đảo phải được gọi là một hình thái phân chia.

Sự thay đổi như quan hệ nhị phân [ chỉnh sửa ]

Bất kỳ chức năng nào có tên miền X và tên miền Y có thể được xem là tổng số bên trái và mối quan hệ nhị phân duy nhất phải giữa X và Y bằng cách xác định nó với biểu đồ chức năng của nó. Hàm so sánh với miền X và tên miền Y sau đó là mối quan hệ nhị phân giữa X và Y là duy nhất bên phải và cả hai bên trái -tổng và tổng phải.

Cardinality của miền từ chối [ chỉnh sửa ]

Độ chính xác của miền của hàm giả định lớn hơn hoặc bằng với số lượng của tên miền của nó: If f : X → Y là một hàm tính từ, sau đó X có ít nhất nhiều yếu tố như Y trong ý nghĩa của số hồng y. (Bằng chứng kháng cáo tiên đề của sự lựa chọn để chỉ ra rằng một hàm g : Y → X thỏa mãn f ( g ( y ) y cho tất cả y trong Y tồn tại. g dễ dàng bị coi là tiêm, do đó, định nghĩa chính thức của | Y | ≤ | X | đã hài lòng.)

Cụ thể, nếu cả hai X và Y là hữu hạn với cùng một số phần tử, thì f : X → ] Y là tính từ nếu và chỉ khi f là tiêm.

Cho hai bộ X và Y ký hiệu X ≤ * Y được sử dụng để nói rằng X trống hoặc có sự từ chối từ Y sang X . Sử dụng tiên đề của sự lựa chọn, người ta có thể chỉ ra rằng X ≤ * Y và Y ≤ * X rằng | Y | = | X |, một biến thể của định lý Schröder bồi Bernstein.

Thành phần và phân rã [ chỉnh sửa ]

Tổng hợp các chức năng phỏng đoán luôn luôn là tính từ: Nếu f và g và tên miền của g bằng với tên miền của f sau đó f o g là tính từ. Ngược lại, nếu f o g là tính từ, thì f là tính từ (nhưng g chức năng được áp dụng trước tiên, không cần thiết) . Các tính chất này khái quát hóa từ các sự thay đổi trong danh mục các tập hợp cho bất kỳ biểu thức nào trong bất kỳ danh mục nào.

Bất kỳ chức năng nào cũng có thể bị phân hủy thành từ chối và tiêm: Đối với bất kỳ chức năng nào h : X → Z tồn tại sự từ chối f : X → Y và một mũi tiêm g : Y → Z = g o f . Để thấy điều này, hãy xác định Y là tập hợp các tiền đề h 1 ( z ) trong đó z là trong h ( X ) . Những tiền đề này là rời rạc và phân vùng X . Sau đó, f mang từng x cho phần tử của Y có chứa nó, và g mang từng phần tử của Y ] đến điểm trong Z mà h gửi điểm của nó. Sau đó, f là tính từ vì nó là bản đồ chiếu và g được định nghĩa theo định nghĩa.

Từ chối gây ra và mệnh đề cảm ứng [ chỉnh sửa ]

Bất kỳ chức năng nào cũng gây ra sự từ chối bằng cách giới hạn tên miền của nó trong phạm vi của nó. Bất kỳ hàm tính từ nào cũng tạo ra một mệnh đề được xác định trên thương số của miền bằng cách thu gọn tất cả ánh xạ đối số vào một hình ảnh cố định đã cho. Chính xác hơn, mọi sự từ chối f : A → B có thể được coi là một phép chiếu theo sau là một mệnh đề như sau. Đặt A / ~ là các lớp tương đương của A theo quan hệ tương đương sau: x ~ y nếu và chỉ khi f ( x ) = f ( y ). Tương đương, A / ~ là tập hợp của tất cả các tiền đề theo f . Đặt P (~): A → A / ~ là bản đồ chiếu gửi mỗi x trong A ] với lớp tương đương của nó [ x ] ~ và để f P : A / ~ → B là chức năng được xác định rõ được đưa ra bởi f P ([ x ] ~ ) = f ( x ). Sau đó f = f P o P (~).

Xem thêm [ chỉnh sửa ]

Tài liệu tham khảo [ chỉnh sửa ]

Đọc thêm [