Trong toán học, một điểm cực trị của một tập lồi S trong một không gian vectơ thực là một điểm trong S không nằm trong bất kỳ đoạn mở nào nối hai điểm S . Trong các vấn đề lập trình tuyến tính, một điểm cực trị còn được gọi là điểm đỉnh hoặc điểm góc của S [1].
Định lý Milman KerinTHER được nêu cho các không gian vectơ tôpô lồi cục bộ. Các định lý tiếp theo được nêu cho các không gian Banach với thuộc tính Radon của Nikodym:
- Một định lý của Joram Lindenstrauss nói rằng, trong một không gian Banach với thuộc tính Nikonym của Radon, một bộ không đóng và giới hạn có một điểm cực trị. (Trong các không gian vô hạn, tính chất của sự nhỏ gọn mạnh hơn các tính chất chung của việc bị đóng và bị ràng buộc). [2]
- Một định lý của Gerald Edgar nói rằng, trong một không gian Banach có thuộc tính Radon của Nikodym, một đóng và Tập giới hạn là thân lồi khép kín của các điểm cực trị của nó:
Đặt E là một không gian Banach với thuộc tính Radon-Nikodym, đặt C là một tách rời, đóng, giới hạn, tập con lồi của E và để một là một điểm trong C . Sau đó, có một thước đo xác suất p trên các bộ có thể đo lường phổ biến trong C sao cho a là barycenter của p và bộ về các điểm cực trị của C có p -measure 1. [3]
Định lý của Edgar ngụ ý định lý Lindenstrauss.
k -các điểm tối cao [ chỉnh sửa ]
Nói chung, một điểm trong tập lồi S là k cực nếu nó nằm trong phần bên trong của một bộ lồi hai chiều trong S nhưng không phải là k + 1 S . Do đó, một điểm cực trị cũng là một điểm cực trị 0. Nếu S là một đa giác, thì k điểm tối đa chính xác là các điểm bên trong của k -dimensional mặt của S . Tổng quát hơn, đối với bất kỳ tập hợp lồi nào S k – các điểm tối cao được phân chia thành k – các mặt mở rộng.
Định lý Kerin-Milman hữu hạn, là do Minkowski, có thể nhanh chóng được chứng minh bằng cách sử dụng khái niệm k – các điểm tối cao. Nếu S bị đóng, giới hạn và n -dimensional, và nếu p là một điểm trong S thì là k -tiếp theo đối với một số k < n . Định lý khẳng định rằng p là sự kết hợp lồi của các điểm cực trị. Nếu k = 0, thì đó là sự thật tầm thường. Mặt khác p nằm trên một đoạn đường trong S có thể được mở rộng tối đa (vì S bị đóng và giới hạn). Nếu các điểm cuối của đoạn là q và r thì thứ hạng cực đoan của chúng phải nhỏ hơn p và định lý theo sau là cảm ứng.
Xem thêm [ chỉnh sửa ]
Tài liệu tham khảo [ chỉnh sửa ]