Trong toán học, thuộc tính giới hạn tối thiểu (đôi khi là hoặc ] thuộc tính supremum ) [1] là một thuộc tính cơ bản của các số thực và một số bộ được đặt hàng khác. Một tập hợp X có thuộc tính giới hạn trên thấp nhất khi và chỉ khi mọi tập hợp con không trống của X với giới hạn trên có giới hạn trên tối cao) trong X .
Thuộc tính ít giới hạn trên là một dạng của tiên đề hoàn chỉnh cho các số thực, và đôi khi được gọi là Tính hoàn chỉnh của Dedekind . [2] Nó có thể được sử dụng để chứng minh nhiều điều cơ bản kết quả phân tích thực tế, chẳng hạn như định lý giá trị trung gian, định lý Bolzano cảm Weierstrass, định lý giá trị cực trị và định lý Heine [Borel. Nó thường được coi là một tiên đề trong các cấu trúc tổng hợp của các số thực (xem tiên đề ràng buộc tối thiểu trên) và nó cũng liên quan mật thiết đến việc xây dựng các số thực bằng cách sử dụng các phép cắt Dedekind.
Theo lý thuyết thứ tự, tính chất này có thể được khái quát thành một khái niệm về tính hoàn chỉnh cho bất kỳ tập hợp được đặt hàng một phần nào. Một tập hợp theo thứ tự tuyến tính dày đặc và có thuộc tính ràng buộc trên ít nhất được gọi là một liên tục tuyến tính.
Tuyên bố về tài sản [ chỉnh sửa ]
Tuyên bố về số thực [ chỉnh sửa ]
Đặt S một tập hợp các số thực không trống.
- Một số thực x được gọi là giới hạn trên cho S nếu x ≥ s s ∈ S .
- Một số thực x là giới hạn trên ít nhất (hoặc supremum cho S nếu x là giới hạn trên của S và x ≤ y cho mọi giới hạn trên ] y trong số S .
Tài sản giới hạn trên nói rằng bất kỳ tập hợp số thực không trống nào có giới hạn trên phải có ít nhất trên ràng buộc trong số thực . . với số thực tế của người Viking được thay thế bởi phần tử của [199009004] X . Trong trường hợp này, chúng tôi nói rằng X có thuộc tính giới hạn trên thấp nhất nếu mọi tập hợp con không trống của X với giới hạn trên có giới hạn trên thấp nhất.
Ví dụ: tập hợp Q các số hữu tỷ không có thuộc tính giới hạn trên dưới theo thứ tự thông thường. Chẳng hạn, tập hợp
có giới hạn trên trong Q nhưng không có giới hạn trên tối thiểu trong Q (vì căn bậc hai của hai là không hợp lý). Việc xây dựng các số thực bằng cách sử dụng các phép cắt Dedekind tận dụng sự thất bại này bằng cách xác định các số vô tỷ là giới hạn trên nhỏ nhất của các tập con nhất định của các số hữu tỷ.
Trạng thái logic [ chỉnh sửa ]
Thuộc tính ít giới hạn trên tương đương với các dạng khác của tiên đề hoàn chỉnh, chẳng hạn như sự hội tụ của các chuỗi Cauchy hoặc định lý các khoảng thời gian lồng nhau. Trạng thái logic của thuộc tính phụ thuộc vào việc xây dựng các số thực được sử dụng: trong phương pháp tổng hợp, thuộc tính thường được lấy làm tiên đề cho các số thực (xem tiên đề giới hạn trên); trong một cách tiếp cận mang tính xây dựng, tài sản phải được chứng minh như một định lý, trực tiếp từ việc xây dựng hoặc là kết quả của một số hình thức hoàn thiện khác.
Bằng chứng sử dụng các chuỗi Cauchy [ chỉnh sửa ]
Có thể chứng minh thuộc tính giới hạn trên bằng cách sử dụng giả định rằng mọi chuỗi số Cauchy đều hội tụ. Đặt S là một tập hợp các số thực không trống, và giả sử rằng S có giới hạn trên B 1 . Vì S là không trống, nên tồn tại một số thực A 1 không phải là giới hạn trên của S . Xác định trình tự A 1 A 2 A 3 … và B 1 B 2 B 3 … đệ quy như sau:
- Kiểm tra xem ( A n + B n ) ⁄ 2 có giới hạn trên cho S .
- Nếu có, hãy A n +1 = A n B [19659096] n +1 = ( A n + B n ) ⁄ 2 . phải có một yếu tố s trong S sao cho s > ( A n + B n ) ⁄ 2 . Đặt A n +1 = s và để B n +1 B n .
Sau đó A 1 ≤ A 2 ≤ 3 ≤ ⋯ B 3 ≤ B 2 ≤ B 1 và A n – B n | → 0 là n → . Theo sau đó, cả hai chuỗi đều là Cauchy và có cùng giới hạn L phải là giới hạn trên ít nhất cho S .
Các ứng dụng [ chỉnh sửa ]
Thuộc tính giới hạn trên của R có thể được sử dụng để chứng minh nhiều định lý cơ sở chính trong phân tích thực.
Định lý giá trị trung gian [ chỉnh sửa ]
Đặt f : [ a b ] R là một hàm liên tục và giả sử rằng f ( a ) <0 và f ( b )> 0 . Trong trường hợp này, định lý giá trị trung gian nói rằng f phải có gốc trong khoảng [ a b ] . Định lý này có thể được chứng minh bằng cách xem xét tập hợp
- S = { s ∈ [ a b ]: f x ) <0 cho tất cả x ≤ s } .
Đó là, S là phân đoạn ban đầu của [ a b ] có các giá trị âm theo f . Sau đó b là giới hạn trên của S và giới hạn trên ít nhất phải là một gốc của f .
Định lý Bolzano cường Weierstrass [ chỉnh sửa ]
Định lý Bolzano hay Weierstrass cho R nói rằng mọi trình tự [196590057] x số thực trong một khoảng thời gian đóng [ a b ] phải có một chuỗi con hội tụ. Định lý này có thể được chứng minh bằng cách xem xét tập hợp
- S = { s ∈ [ a b ]: s x n trong vô số n } .
Rõ ràng b là giới hạn trên của S S có giới hạn trên ít nhất c . Sau đó, c phải là một điểm giới hạn của chuỗi x n và theo sau đó là x n một phần tiếp theo hội tụ đến c .
Định lý giá trị cực trị [ chỉnh sửa ]
Hãy f : [ a b ] ] R là một hàm liên tục và cho M = sup f ([ a b ]) trong đó M = nếu f ([ a b ]) không có giới hạn trên. Định lý giá trị cực trị nói rằng M là hữu hạn và f ( c ) = M đối với một số c [ a b ] . Điều này có thể được chứng minh bằng cách xem xét các thiết lập
- S = { s ∈ [ a b ]: sup f [ s b ]) = M } .
Nếu c là giới hạn trên thấp nhất của tập hợp này , sau đó nó xuất phát từ sự liên tục rằng f ( c ) = M .
Định lý Heine trên Borel [ chỉnh sửa ]
Hãy [ a b ] trong R và để { U α } là một tập hợp các bộ mở bao gồm [ b ] . Sau đó, định lý HeineTHER Borel nói rằng một số tập hợp con hữu hạn của { U α } bao gồm [ a ]] cũng vậy. Tuyên bố này có thể được chứng minh bằng cách xem xét các tập hợp
- S = { s ∈ [ a b ]: [ s ] có thể được bao phủ bởi rất nhiều U α } .
Bộ này phải có giới hạn trên ít nhất c . Nhưng c chính nó là một yếu tố của một số tập mở U α và sau đó [ a c + ] có thể được bao phủ bởi rất nhiều U α đối với một số lượng đủ nhỏ δ . Điều này chứng tỏ rằng c + δ ∈ S và nó cũng mang lại mâu thuẫn trừ khi c = b [19654599].
Lịch sử [ chỉnh sửa ]
Tầm quan trọng của tài sản ít giới hạn nhất được Bernard Bolzano công nhận lần đầu tiên trong bài báo năm 1817 của ông Phân tích lại Beweis des Lehrsatze zwey Werthen, die ein entgegengesetztes resultat gewäahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege . [3]
Xem thêm [ chỉnh sửa [1919015]]
- Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Giới thiệu về phân tích thực (4 ed.). New York: John Wiley và con trai. Sê-ri 980-0-471-43331-6.
- Bressoud, David (2007). Cách tiếp cận cấp tiến để phân tích thực . MAA. Sđt 0-88385-747-2.
- Browder, Andrew (1996). Phân tích toán học: Giới thiệu . Các văn bản đại học về Toán học. New York: Springer-Verlag. Sđt 0-387-94614-4.
- Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Phân tích thực giới thiệu . Brooks Cole. Sê-ri 980-0-395-95933-6.
- Rudin, Walter. Nguyên tắc phân tích toán học . Sê-ri sinh viên Walter Rudin trong toán học nâng cao (3 ed.). McGraw Hill Hill. Sê-ri 980-0-07-054235-8.
- Willard, Stephen (2004) [1970]. Cấu trúc liên kết chung . Mineola, N.Y.: Ấn phẩm Dover. ISBN YAM486434797.