Xi lanh – Wikipedia

Một hình trụ (từ tiếng Hy Lạp κύλκύλδρδρδρ [[ hình dạng. Đây là phiên bản lý tưởng hóa của một hộp vật lý rắn có thể có nắp đậy ở trên và dưới.

Quan điểm truyền thống này vẫn được sử dụng trong các phương pháp xử lý hình học cơ bản, nhưng quan điểm toán học tiên tiến đã chuyển sang bề mặt đường cong vô hạn và đây là cách hình trụ hiện được định nghĩa trong các nhánh hình học và cấu trúc hiện đại khác nhau.

Sự thay đổi trong ý nghĩa cơ bản (rắn so với bề mặt) đã tạo ra một số sự mơ hồ với thuật ngữ. Người ta thường hy vọng rằng bối cảnh làm cho ý nghĩa rõ ràng. Trong bài viết này, cả hai quan điểm đều được trình bày và phân biệt bằng cách tham khảo hình trụ rắn và bề mặt hình trụ nhưng hãy nhớ rằng trong tài liệu, hình trụ không được đề cập có thể đề cập đến một trong hai hoặc đến một đối tượng chuyên biệt hơn nữa, hình trụ tròn bên phải .

Xi lanh rắn [ chỉnh sửa ]

Các định nghĩa và kết quả trong phần này được lấy từ văn bản năm 1913, Máy bay và Hình học rắn của George Wentworth và David Eugene Smith (Wentworth & Smith 1913).

Bề mặt hình trụ là một bề mặt bao gồm tất cả các điểm trên tất cả các đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và đi qua một đường cong mặt phẳng cố định trong một mặt phẳng không song song với đường thẳng đã cho. Bất kỳ dòng nào trong họ các đường song song này được gọi là phần tử của bề mặt hình trụ. Từ quan điểm động học, được đưa ra một đường cong mặt phẳng, được gọi là directrix một bề mặt hình trụ là bề mặt được vạch ra bởi một đường thẳng, được gọi là Generatrix không nằm trong mặt phẳng của directrix, di chuyển song song với chính nó và luôn đi qua directrix. Bất kỳ vị trí cụ thể của Generatrix là một yếu tố của bề mặt hình trụ.

Một hình trụ tròn bên phải và xiên

Một vật rắn giới hạn bởi một bề mặt hình trụ và hai mặt phẳng song song được gọi là hình trụ (rắn) . Các đoạn thẳng được xác định bởi một phần tử của bề mặt hình trụ giữa hai mặt phẳng song song được gọi là phần tử của hình trụ . Tất cả các yếu tố của một hình trụ có chiều dài bằng nhau. Vùng giới hạn bởi bề mặt hình trụ trong một trong hai mặt phẳng song song được gọi là cơ sở của hình trụ. Hai cơ sở của một hình trụ là số liệu đồng dạng. Nếu các phần tử của hình trụ vuông góc với các mặt phẳng chứa các bazơ, thì hình trụ là một hình trụ bên phải nếu không, nó được gọi là hình trụ xiên . Nếu các cơ sở là các đĩa (các vùng có ranh giới là một vòng tròn) thì hình trụ được gọi là hình trụ tròn . Trong một số phương pháp điều trị cơ bản, một hình trụ luôn có nghĩa là một hình trụ tròn. ^[2]

Chiều cao (hoặc độ cao) của hình trụ là khoảng cách vuông góc giữa các đáy của nó.

Hình trụ thu được bằng cách xoay một đoạn đường về một đường cố định mà nó song song là hình trụ của cuộc cách mạng . Một hình trụ của cuộc cách mạng là một hình trụ tròn bên phải. Chiều cao của một hình trụ cách mạng là chiều dài của đoạn đường tạo. Đường mà đoạn được quay vòng được gọi là trục của hình trụ và nó đi qua tâm của hai căn cứ.

Một hình trụ tròn bên phải có bán kính

r

và chiều cao

h

Hình trụ tròn bên phải [ chỉnh sửa ]

thường đề cập đến một hình trụ đặc có đầu tròn vuông góc với trục, nghĩa là hình trụ tròn bên phải, như trong hình. Bề mặt hình trụ không có các đầu được gọi là hình trụ mở . Các công thức cho diện tích bề mặt và thể tích của một hình trụ tròn bên phải đã được biết đến từ thời cổ đại.

Một hình trụ tròn bên phải cũng có thể được coi là vật rắn của cuộc cách mạng được tạo ra bằng cách xoay một hình chữ nhật về một trong các cạnh của nó. Những hình trụ này được sử dụng trong một kỹ thuật tích hợp ("phương pháp đĩa") để thu được khối lượng chất rắn của cuộc cách mạng. ^[3]

Phần hình trụ [ chỉnh sửa ]

Phần hình trụ là giao điểm của một bề mặt của hình trụ với một mặt phẳng. Nhìn chung, chúng là các đường cong và là các loại đặc biệt của phần mặt phẳng . Phần hình trụ bởi một mặt phẳng chứa hai phần tử của hình trụ là hình bình hành. ^[4] Phần hình trụ như vậy của hình trụ bên phải là một hình chữ nhật. ^[4]

Phần hình trụ trong đó mặt phẳng cắt nhau cắt nhau và vuông góc với tất cả các phần tử của hình trụ được gọi là phần bên phải . ^[5] Nếu một phần bên phải của hình trụ là một hình tròn thì hình trụ là hình trụ tròn. Nói chung, nếu một phần bên phải của hình trụ là một phần hình nón (parabola, elip, hyperbola) thì hình trụ rắn được gọi là parabol, elip hoặc hyperbolic tương ứng.

Các phần hình trụ của một hình trụ tròn bên phải

Đối với một hình trụ tròn bên phải, có một số cách mà các mặt phẳng có thể gặp một hình trụ. Đầu tiên, hãy xem xét các mặt phẳng cắt một căn cứ tại nhiều nhất một điểm. Một mặt phẳng tiếp xúc với hình trụ nếu nó gặp hình trụ trong một phần tử duy nhất. Các phần bên phải là các hình tròn và tất cả các mặt phẳng khác cắt nhau trên bề mặt hình trụ trong một hình elip. ^[6] Nếu một mặt phẳng cắt một đáy của hình trụ theo đúng hai điểm thì đoạn thẳng nối các điểm này là một phần của hình trụ. Nếu một mặt phẳng như vậy chứa hai phần tử, nó có hình chữ nhật là một phần hình trụ, nếu không các cạnh của phần hình trụ là các phần của hình elip. Cuối cùng, nếu một mặt phẳng chứa nhiều hơn hai điểm của một cơ sở, nó chứa toàn bộ cơ sở và phần hình trụ là một hình tròn.

Trong trường hợp một hình trụ tròn bên phải có tiết diện hình trụ là một hình elip, độ lệch tâm $e$ của phần hình trụ và trục bán chính $một phần$ của phần hình trụ trên bán kính của hình trụ $r$ và góc $α$ giữa mặt phẳng kín và trục hình trụ, theo cách sau:

{displaystyle e=cos alpha ,}

{ displaystyle a = { frac {r} { sin alpha}}.}

Tập [ chỉnh sửa ]

Nếu đế của một hình trụ tròn có bán kính $r$ và hình trụ có chiều cao $h$ thì thể tích của nó được tính bằng

V = π r 2 h

Công thức này cho biết liệu xi lanh có phải là hình trụ đúng hay không. ^[7]

Công thức này có thể được thiết lập bằng cách sử dụng nguyên tắc của Cavalieri.

Một hình trụ hình elip rắn với các nửa trục

a

và

b

cho hình elip cơ sở và chiều cao

h

nguyên lý, thể tích của bất kỳ hình trụ nào là tích của diện tích của một đế và chiều cao. Ví dụ: một hình trụ elip có đế có trục bán chính $a$ trục bán phụ $b$ và chiều cao $h$ có thể tích $V = Ah$ trong đó $A$ là khu vực của hình elip cơ sở (= $π ab$ ). Kết quả này cho các hình trụ elip bên phải cũng có thể thu được bằng cách tích hợp, trong đó trục của hình trụ được lấy là dương $x$ -axis và $A (x) = A$ diện tích của mỗi mặt cắt hình elip, do đó:

{displaystyle V=int _{0}^{h}A(x)dx=int _{0}^{h}pi abdx=pi abint _{0}^{h}dx=pi abh.}

Sử dụng tọa độ hình trụ, có thể tính thể tích của một hình trụ tròn bên phải bằng cách tích hợp qua

{ displaystyle = int _ {0} ^ {h} int _ {0 } ^ {2 pi} int _ {0} ^ {r} s , , ds , d phi , dz}

{displaystyle =pi ,r^{2},h.}

Diện tích bề mặt [ chỉnh sửa ]

Có bán kính $r$ và độ cao (chiều cao) $h$ diện tích bề mặt của hình trụ tròn bên phải, được định hướng sao cho trục thẳng đứng, bao gồm ba phần:

khu vực của căn cứ trên cùng: $π r 2$
khu vực của căn cứ dưới cùng: $π r 2$
bên: $2π rh$

Diện tích của các căn cứ trên và dưới là như nhau, và được gọi là khu vực cơ sở $] B$ . Khu vực của bên được gọi là khu vực bên $L$ .

Một xi lanh mở không bao gồm các yếu tố trên cùng hoặc dưới cùng, và do đó có diện tích bề mặt (khu vực bên)

L = 2π rh

Diện tích bề mặt của hình trụ tròn bên phải được tạo thành tổng của cả ba thành phần: trên, dưới và bên . Diện tích bề mặt của nó là do đó,

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r = 2π r (h + r) = π d (r +)

trong đó $d = 2 r$ là đường kính của đỉnh tròn hoặc đáy.

Đối với một thể tích nhất định, hình trụ tròn bên phải có diện tích bề mặt nhỏ nhất có $h = 2 r$ . Tương đương, đối với một diện tích bề mặt nhất định, hình trụ tròn bên phải có thể tích lớn nhất có $h = 2 r$ nghĩa là hình trụ vừa khít trong một hình khối có chiều dài cạnh = độ cao ( = đường kính của vòng tròn cơ sở). ^[8]

Vùng bên, $L$ của một hình trụ tròn, không cần phải là hình trụ bên phải, thường được đưa ra bởi:

L = e \times p

trong đó $e$ là độ dài của một phần tử và ] p là chu vi của một phần bên phải của hình trụ. ^[9] Điều này tạo ra công thức trước cho diện tích bên khi hình trụ là hình trụ tròn bên phải.

Xy lanh rỗng tròn bên phải (vỏ hình trụ) [ chỉnh sửa ]

Một xi lanh rỗng tròn bên phải (hoặc vỏ hình trụ ) là một vùng ba chiều giới hạn bởi hai hình trụ tròn bên phải có cùng trục và hai đáy hình khuyên song song vuông góc với trục chung của hình trụ, như trong sơ đồ.

Đặt chiều cao là $h$ bán kính bên trong $r$ và bán kính bên ngoài $R$ . Âm lượng được đưa ra bởi