Mối quan hệ với đạo hàm Fréchet

Nếu F là Fréchet khác biệt, thì nó cũng là Gâteaux khác biệt, và các dẫn xuất Fréchet và Gâteaux của nó đồng ý. Điều ngược lại rõ ràng là không đúng, vì đạo hàm Gâteaux có thể không tuyến tính hoặc liên tục. Trên thực tế, đạo hàm Gâteaux thậm chí có thể là tuyến tính và liên tục nhưng đối với đạo hàm Fréchet không tồn tại.

Tuy nhiên, đối với các chức năng F từ một phức hợp không gian Banach X sang một không gian Banach phức tạp khác Y đạo hàm Gâteaux giới hạn được áp dụng phức tạp τ có xu hướng về 0 như trong định nghĩa về độ khác biệt phức tạp) là tự động tuyến tính, một định lý của Zorn (1945). Hơn nữa, nếu F là (phức tạp) Gâteaux khác biệt ở mỗi u ∈ U với đạo hàm

sau đó F là Fréchet khác biệt trên U với đạo hàm Fréchet DF . Điều này tương tự với kết quả từ phân tích phức tạp cơ bản rằng một hàm là phân tích nếu nó phức tạp khác biệt trong một tập mở và là kết quả cơ bản trong nghiên cứu về sự biến đổi chiều vô hạn.

Sự khác biệt liên tục

Sự khác biệt liên tục của Gâteaux có thể được định nghĩa theo hai cách không tương đương. Giả sử rằng F : U → Y là Gâteaux khác biệt tại mỗi điểm của tập mở U . Một khái niệm về sự khác biệt liên tục trong U yêu cầu ánh xạ trên không gian sản phẩm

${\displaystyle dF:U\times X\to Y}$

Một khái niệm mạnh mẽ hơn về sự khác biệt liên tục đòi hỏi rằng

${ displaystyle u mapsto DF (u) ,}$

là ánh xạ liên tục

${ displaystyle U to L (X, Y) ,}$

từ U đến không gian của các hàm tuyến tính liên tục từ X đến Y . Lưu ý rằng điều này đã giả định trước tính tuyến tính của DF ( u ). . ( X Y ) cũng là Banach và kết quả tiêu chuẩn từ phân tích chức năng có thể được sử dụng. Trước đây là định nghĩa phổ biến hơn trong các lĩnh vực phân tích phi tuyến trong đó các không gian chức năng liên quan không nhất thiết là không gian Banach. Chẳng hạn, sự khác biệt trong các không gian Fréchet có các ứng dụng như định lý hàm nghịch đảo Nash micro Moser trong đó các không gian hàm quan tâm thường bao gồm các hàm trơn trên một đa tạp.

Các dẫn xuất cao hơn [ chỉnh sửa ]

Trong khi đó, các dẫn xuất Fréchet bậc cao được định nghĩa một cách tự nhiên là các hàm đa tuyến bằng cách lặp, sử dụng các đẳng cấu L [1965926 X Y ) = L ( X L ^{n −1} X Y )) đạo hàm Gâteaux bậc cao hơn không thể được định nghĩa theo cách này. Thay vào đó, n thứ tự phái sinh Gâteaux của một hàm F : U ⊂ X → Y theo hướng h được định nghĩa bởi

${ displaystyle d ^ {n} F (u; h) = left. { frac {d ^ {n}} {d tau ^ {n}}} F (u + tau h) right | _ { tau = 0}.}$

( 2 )

Thay vì hàm đa tuyến, đây thay vào đó là hàm đồng nhất về mức độ n trong h .

Có một ứng cử viên khác cho định nghĩa của đạo hàm bậc cao hơn, hàm

${ displaystyle D ^ {2} F (u) {h, k } = lim _ { tau đến 0} { frac {DF (u + tau k) h- DF (u) h} { tau}} = trái. { frac { part ^ {2}} { part tau part sigma}} F (u + sigma h + tau k) right | _ { tau = sigma = 0}}$

( 3 )

phát sinh một cách tự nhiên trong phép tính các biến thể là biến thể thứ hai của F ít nhất là trong trường hợp đặc biệt trong đó F là vô hướng- có giá trị. Tuy nhiên, điều này có thể không có bất kỳ tính chất hợp lý nào, ngoài việc đồng nhất riêng biệt trong h và k . Rất mong muốn có đủ điều kiện để đảm bảo rằng D ² F ( u ) { h k } là một hàm song tuyến đối xứng của h và k và nó đồng ý với sự phân cực của d ⁿ F .

Chẳng hạn, điều kiện đủ sau đây được giữ (Hamilton 1982). Giả sử rằng F là C ¹ theo nghĩa là ánh xạ

${\displaystyle DF:U\times X\to Y}$