Lý thuyết về các sơ đồ liên kết nảy sinh trong thống kê, trong lý thuyết thiết kế thí nghiệm để phân tích phương sai. [1][2][3] Trong toán học, các sơ đồ liên kết thuộc cả đại số và tổ hợp. Thật vậy, trong tổ hợp đại số, các sơ đồ liên kết cung cấp một cách tiếp cận thống nhất cho nhiều chủ đề, ví dụ như thiết kế tổ hợp và lý thuyết mã hóa. . [6][7][8]
Định nghĩa [ chỉnh sửa ]
Một sơ đồ liên kết lớp n bao gồm một tập hợp X cùng với một phân vùng S của X × X thành quan hệ nhị phân n + 1, R 0 R 1 …, R n ] thỏa mãn:
- và được gọi là mối quan hệ nhận dạng .
- Xác định nếu R trong S sau đó R * trong ] S
- If số sao cho và là một hằng số tùy thuộc vào , nhưng không phải là sự lựa chọn cụ thể của và .
Một sơ đồ liên kết là giao hoán nếu
cho tất cả
và
. Hầu hết các tác giả giả định tài sản này.
Một lược đồ liên kết đối xứng là một trong đó mỗi quan hệ
là một quan hệ đối xứng . Đó là:
- if ( x y ) ∈ R i sau đó ( y x [1945]) ∈ R i . (Hoặc tương tự, R * = R .)
Mọi sơ đồ liên kết đối xứng đều có tính giao hoán.
Tuy nhiên, lưu ý rằng trong khi khái niệm về sơ đồ liên kết khái quát hóa khái niệm của một nhóm, thì khái niệm về sơ đồ liên kết giao hoán chỉ khái quát khái niệm của một nhóm giao hoán.
Hai điểm x và y được gọi là i các cộng sự nếu
. Mỗi điểm là liên kết zeroth riêng của nó trong khi các điểm riêng biệt không bao giờ là liên kết zeroth. Nếu x và y là k thì số lượng điểm
đó là cả hai i cộng sự của
và j cộng sự của
là một hằng số
.
Ma trận diễn giải và ma trận kề [ chỉnh sửa ]
Một sơ đồ liên kết đối xứng có thể được hình dung như một biểu đồ hoàn chỉnh với các cạnh được dán nhãn. Biểu đồ có các đỉnh
mỗi đỉnh của
và các đỉnh nối cạnh
và
i [19659061] { displaystyle i}
if
và
tùy thuộc vào
nhưng không phải là sự lựa chọn của cơ sở. Cụ thể, mỗi đỉnh là sự cố với chính xác
các cạnh có nhãn
];
là hóa trị của mối quan hệ 19659139] R
. Ngoài ra còn có các vòng lặp được gắn nhãn
tại mỗi đỉnh
, tương ứng với
.
Các mối quan hệ được mô tả bằng ma trận phụ thuộc .
là ma trận kề của cho và là một ma trận v × v với các hàng và cột được gắn nhãn bởi các điểm của .