Trong toán học, thành phần chức năng là hoạt động có hai chức năng g và f và tạo ra một chức năng h sao cho [19659002] h ( x ) = g ( f ( x )) (chức năng
g được áp dụng cho kết quả của việc áp dụng chức năng f cho x ). Đây là, các chức năng f : X → Y và g : Y → Z ] có thể là được sáng tác để mang lại một chức năng ánh xạ x trong X thành g ( f ( ] x )) trong Z . Theo trực giác, nếu z là một chức năng của y và y là một chức năng của x thì z là một chức năng của x . Hàm hỗn hợp được ký hiệu là g ∘ f : X → Z được xác định bởi g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) cho tất cả x trong X . [note 1] Ký hiệu g f được đọc là " vòng tròn f "," g vòng f "," g khoảng f "," g được sáng tác với f "," g sau f "," g sau 19659003] "," g của f ", hoặc" g trên f ". Theo trực giác, soạn hai hàm là một quá trình xâu chuỗi trong đó đầu ra của hàm bên trong trở thành đầu vào của hàm ngoài.
Thành phần của các chức năng là một trường hợp đặc biệt của thành phần quan hệ, vì vậy tất cả các thuộc tính sau này đều đúng với thành phần của các chức năng.
Ví dụ [ chỉnh sửa ]
- trên một tập hợp hữu hạn: If f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)} và g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)} sau đó g ∘ f = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)} .
- Thành phần các chức năng trên một tập hợp vô hạn: Nếu f : ℝ → (trong đó ℝ là tập hợp của tất cả các số thực) được đưa ra bởi f ( x ) = 2 x + 4 và g : ℝ → ℝ được đưa ra bởi g ( x ) = x 3 sau đó:
- ( f ∘ g ) ( x ) = ] ( g ( x )) = f ( x 3 ) = 2 x 3 + 4 ]và
- ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f x )) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3 . 19659105] Nếu độ cao của máy bay tại thời điểm t được đưa ra bởi chức năng h ( t ) và nồng độ oxy ở độ cao x được đưa ra bởi chức năng c ( x ) sau đó ( c ∘ h ) t ) mô tả nồng độ oxy xung quanh máy bay tại thời điểm t .
Thuộc tính [ chỉnh sửa ]
các chức năng luôn luôn liên kết với nhau một prope rty được thừa hưởng từ các thành phần của các mối quan hệ. [1] Đó là, nếu f g và h là ba chức năng với các miền và tên miền được chọn phù hợp, thì f ( g h ) = ( f ∘ g ) ∘ ]trong đó các dấu ngoặc đơn phục vụ để chỉ ra rằng thành phần sẽ được thực hiện trước tiên cho các hàm ngoặc đơn. Vì không có sự phân biệt giữa các lựa chọn vị trí của dấu ngoặc đơn, chúng có thể bị bỏ đi mà không gây ra bất kỳ sự mơ hồ nào.
Theo một nghĩa nghiêm ngặt, thành phần g ∘ f chỉ có thể được xây dựng nếu tên miền của f bằng g miền; theo nghĩa rộng hơn, đủ để cái trước là một tập hợp con của cái sau. [note 2] Hơn nữa, nó thường thuận tiện để hạn chế ngầm định f như vậy chỉ có thể tạo ra f các giá trị trong miền của g ; ví dụ: thành phần g ∘ f của các chức năng f : ℝ → (−∞, + 9] được xác định bởi f ( x ) = 9 – x 2 và g : [0+∞)→ được xác định bởi g ( x ) = √ x có thể được định nghĩa trong khoảng [- 3, + 3] .
Các chức năng g và f được cho là đi lại với nhau nếu g f = f ] ∘ g . Giao hoán là một tài sản đặc biệt, chỉ đạt được bởi các chức năng cụ thể và thường trong các trường hợp đặc biệt. Ví dụ: | x | + 3 = | x + 3 | chỉ khi x 0 . Hình ảnh cho thấy một ví dụ khác.
Thành phần của các chức năng một đối một luôn luôn là một đối một. Tương tự, thành phần của hai chức năng luôn luôn là trên. Theo sau đó, thành phần của hai mệnh đề cũng là một mệnh đề. Hàm nghịch đảo của một chế phẩm (giả định không thể đảo ngược) có thuộc tính ( f g ) −1 = ( g ] −1 ∘ f 1 ) . [2]
Có thể tìm thấy các dẫn xuất của các tác phẩm liên quan đến chức năng quy tắc chuỗi. Các dẫn xuất cao hơn của các chức năng như vậy được đưa ra theo công thức Faà di Bruno.
Thành phần đơn âm [ chỉnh sửa ]
Giả sử một người có hai (hoặc nhiều hơn) chức năng f : X → g : X → X có cùng tên miền và tên miền; chúng thường được gọi là biến đổi s. Sau đó, người ta có thể tạo thành các chuỗi biến đổi được kết hợp lại với nhau, chẳng hạn như f ∘ f ∘ g f . Các chuỗi như vậy có cấu trúc đại số của một monoid, được gọi là monoid biến đổi hoặc (hiếm khi nhiều hơn) monoid thành phần . Nhìn chung, các đơn sắc biến đổi có thể có cấu trúc phức tạp đáng kể. Một ví dụ đáng chú ý là đường cong de Rham. Tập hợp tất cả các chức năng f : X → X được gọi là nửa đối xứng biến đổi [3] hoặc 19659175] vào X . (Người ta thực sự có thể định nghĩa hai nhóm nửa nhóm tùy thuộc vào cách người ta xác định hoạt động của nhóm nửa nhóm là thành phần chức năng bên trái hoặc bên phải. [5])
Sự giống nhau làm biến đổi tam giác EFA thành tam giác ATB là thành phần của một homothety H và một phép quay R trung tâm chung là S. Ví dụ, hình ảnh của A dưới vòng quay R là U có thể được viết R ( A ) = U. Và H ( U ) = B có nghĩa là ánh xạ H biến đổi [196590019] thành B. Do đó H ( R ( A )) = ( H ∘ R ) ( A ) = B .Nếu phép biến đổi là tính từ (và do đó không thể đảo ngược), thì tập hợp tất cả các kết hợp có thể có của các hàm này tạo thành một nhóm biến đổi; và một người nói rằng nhóm được tạo ra bởi các chức năng này. Một kết quả cơ bản trong lý thuyết nhóm, định lý của Cayley, về cơ bản nói rằng bất kỳ nhóm nào trên thực tế chỉ là một nhóm con của một nhóm hoán vị (lên đến đẳng cấu). [6]
Tập hợp tất cả các chức năng phỏng đoán [19659002] f : X → X (được gọi là hoán vị) tạo thành một nhóm đối với toán tử thành phần. Đây là nhóm đối xứng, đôi khi còn được gọi là nhóm sáng tác .
Trong nửa nhóm đối xứng (của tất cả các phép biến đổi), người ta cũng tìm thấy một khái niệm nghịch đảo yếu hơn, không duy nhất (được gọi là giả ngẫu nhiên) bởi vì nửa nhóm đối xứng là một nửa nhóm thông thường. [7]
Sức mạnh chức năng chỉnh sửa ]
Nếu Y X thì f : X → Y sáng tác với chính nó; điều này đôi khi được ký hiệu là f 2 . Đó là:
- ( f f ) (x) = f ( f ( x ) = f 2 ( x )
- ( f ∘ f ∘ ) (x) = f ( f ( f ( x ))) = f 3 ( x )
- ( f ∘ f ∘ f ∘ f x) = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )
Nói chung, đối với bất kỳ số tự nhiên nào n ≥ 2 ] sức mạnh chức năng có thể được định nghĩa theo quy nạp bởi f n = f ∘ f n −1 = f n −1 ∘ . Thành phần lặp đi lặp lại của một chức năng như vậy với chính nó được gọi là chức năng lặp .
- Theo quy ước, f 0 được định nghĩa là bản đồ nhận dạng trên tên miền của f id X [19659232].
- Nếu thậm chí Y = X và f : X → X thừa nhận chức năng f 1 quyền hạn chức năng tiêu cực f – n được xác định cho ]> 0 với tư cách là công suất phủ định của hàm nghịch đảo: f – n = ( f 1 ) n .
Lưu ý: Nếu f lấy các giá trị của nó trong một vòng (đặc biệt là giá trị thực hoặc phức tạp f ), có nguy cơ nhầm lẫn, vì f n cũng có thể thay thế sản phẩm gấp đôi n của f ví dụ: f 2 ( x ) = f ( x ) · f x ) . Đối với các hàm lượng giác, thường có nghĩa là hàm sau, ít nhất là cho số mũ dương. Ví dụ, trong lượng giác, ký hiệu siêu ký tự này biểu thị lũy thừa tiêu chuẩn khi được sử dụng với các hàm lượng giác: sin 2 ( x ) = sin ( x ) · sin ( x ) . Tuy nhiên, đối với số mũ âm (đặc biệt là −1), tuy nhiên, nó thường đề cập đến hàm nghịch đảo, ví dụ: tan 1 = arctan 1 / tan .
Trong một số trường hợp, khi, đối với một hàm đã cho f phương trình g ∘ g = f có một giải pháp duy nhất g chức năng đó có thể được định nghĩa là căn bậc hai chức năng của f sau đó được viết là g = f 1 / 2 .
Nói chung hơn, khi g n = f có một giải pháp duy nhất cho một số tự nhiên n > 0 sau đó f m / n có thể được định nghĩa là g m .
Trong các hạn chế bổ sung, ý tưởng này có thể được khái quát hóa để số lần lặp trở thành một tham số liên tục; trong trường hợp này, một hệ thống như vậy được gọi là một luồng, được chỉ định thông qua các giải pháp của phương trình Schröder. Các chức năng lặp và dòng chảy xảy ra một cách tự nhiên trong nghiên cứu về fractals và hệ thống động lực.
Để tránh sự mơ hồ, một số nhà toán học chọn viết f ° n cho n lần lặp của hàm Năm 19699014].
Các ký hiệu thay thế [ chỉnh sửa ]
Nhiều nhà toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm, bỏ qua ký hiệu thành phần, viết gf cho g f . [8]
Vào giữa thế kỷ 20, một số nhà toán học đã quyết định rằng viết " g ∘ f ] "có nghĩa là" lần đầu tiên áp dụng f sau đó áp dụng g "quá khó hiểu và quyết định thay đổi ký hiệu. Họ viết " xf " cho " f ( x ) " và " ( xf g "cho" g ( f ( x )) ". [9] Điều này có thể tự nhiên hơn và có vẻ tự nhiên hơn đơn giản hơn so với việc viết các hàm ở bên trái trong một số khu vực – ví dụ, trong đại số tuyến tính, khi x là một vectơ hàng và f và g biểu thị ma trận và thành phần là bằng cách nhân ma trận. Ký hiệu thay thế này được gọi là ký hiệu postfix. Thứ tự này rất quan trọng vì thành phần chức năng không nhất thiết phải giao hoán (ví dụ: nhân ma trận). Các phép biến đổi liên tiếp áp dụng và sáng tác sang phải đồng ý với trình tự đọc từ trái sang phải.
Các nhà toán học sử dụng ký hiệu hậu tố có thể viết " fg ", nghĩa là lần đầu tiên áp dụng f và sau đó áp dụng g theo thứ tự các ký hiệu xảy ra trong ký hiệu hậu tố, do đó làm cho ký hiệu " fg " mơ hồ. Các nhà khoa học máy tính có thể viết " f ; g " cho điều này, [10] do đó làm phân tán thứ tự sáng tác. Để phân biệt toán tử thành phần bên trái với dấu chấm phẩy văn bản, trong ký hiệu Z, ký tự được sử dụng cho thành phần quan hệ bên trái. [11] Vì tất cả các hàm đều là quan hệ nhị phân, nên sử dụng dấu chấm phẩy [fat] cho thành phần chức năng (xem bài viết về thành phần quan hệ để biết thêm chi tiết về ký hiệu này).
Toán tử thành phần [ chỉnh sửa ]
Đưa ra một chức năng g toán tử thành phần C g ] được định nghĩa là toán tử mà ánh xạ các hàm thành các hàm như
Toán tử thành phần được nghiên cứu trong lĩnh vực lý thuyết toán tử .
Trong các ngôn ngữ lập trình [ chỉnh sửa ]
Thành phần chức năng xuất hiện ở dạng này hay dạng khác trong nhiều ngôn ngữ lập trình.
Các hàm đa biến [ chỉnh sửa ]
Thành phần một phần có thể cho các hàm đa biến. Hàm kết quả khi một số đối số x i của hàm f được thay thế bằng hàm g được gọi là một thành phần của f ] và g trong một số bối cảnh kỹ thuật máy tính, và được ký hiệu là f | x i = g
Khi g là một hằng số đơn giản b thành phần suy biến thành định giá (một phần), kết quả còn được gọi là ma sát hoặc đồng yếu tố . [12]
Nói chung, thành phần của các hàm đa biến có thể liên quan đến một số hàm khác làm đối số, như trong định nghĩa của hàm đệ quy nguyên thủy. Được đưa ra f một hàm n và n m -ary function g 1 , …, g n thành phần của f với g 1 …, g [19659231] n là hàm m
- .
Điều này đôi khi được gọi là tổng hợp tổng hợp của f với g 1 …, g n [19659232]. [13] Thành phần một phần chỉ trong một đối số được đề cập trước đây có thể được khởi tạo từ tổng quát hơn này lược đồ bằng cách đặt tất cả các hàm đối số trừ một hàm được chọn phù hợp cho các hàm chiếu. Cũng lưu ý rằng g 1 …, g n có thể được xem như là một hàm có giá trị véc tơ / tuple duy nhất trong sơ đồ tổng quát này, trong trường hợp này đây chính xác là định nghĩa chuẩn của thành phần chức năng. [14]
Một tập hợp các thao tác tài chính trên một số bộ cơ sở X được gọi là bản sao nếu nó chứa tất cả các phép chiếu theo thành phần tổng quát. Lưu ý rằng một bản sao thường chứa các hoạt động của các loại khác nhau. [13] Khái niệm về giao hoán cũng tìm thấy một khái quát thú vị trong trường hợp đa biến; một chức năng f của arity n được cho là đi lại với một chức năng g của arity m nếu f một phép đồng hình bảo toàn g và ngược lại, ví dụ: [15]
- .
Một hoạt động đơn nguyên luôn tự đi lại, nhưng điều này không nhất thiết là trường hợp đối với hoạt động nhị phân (hoặc mức độ cao hơn). Một hoạt động nhị phân (hoặc cao hơn) đi lại với chính nó được gọi là trung gian hoặc entropic. [15]
Tổng quát hóa [ chỉnh sửa ]
Thành phần có thể được khái quát thành quan hệ nhị phân tùy ý. Nếu R X × Y và S ⊆ Y × Z quan hệ nhị phân, sau đó thành phần của chúng S R là quan hệ được định nghĩa là {( x z ) ∈ ] X × Z : ∃ y Y . ( x y ) ∈ R ∧ ( y z ) ∈ ]} . Coi một hàm là một trường hợp đặc biệt của quan hệ nhị phân (cụ thể là quan hệ hàm), thành phần hàm thỏa mãn định nghĩa cho thành phần quan hệ.
Thành phần được định nghĩa theo cùng một cách cho các hàm một phần và định lý của Cayley có định nghĩa tương tự gọi là định lý Wagner-Preston. [16]
Thể loại tập hợp có chức năng là hình thái nguyên mẫu . Các tiên đề của một phạm trù trên thực tế được lấy cảm hứng từ các tính chất (và cả định nghĩa) của thành phần chức năng. . Thứ tự đảo ngược của thành phần trong công thức ( f ∘ g ) 1 = ( g −1 ∘ f 1 ) áp dụng cho thành phần quan hệ sử dụng quan hệ ngược, và do đó trong lý thuyết nhóm. Những cấu trúc này tạo thành các loại dao găm.
Kiểu chữ [ chỉnh sửa ]
Biểu tượng sáng tác ∘ được mã hóa thành U + 2218 ∘ (HTML
& # 8728;); xem bài viết biểu tượng Độ để biết các ký tự Unicode xuất hiện tương tự. Trong TeX, nó được viếtCirc.Xem thêm [ chỉnh sửa ]
- ^ Một số tác giả sử dụng f ∘ g : X → Z được xác định bởi ( f ∘ g ) ( x ) = g Thay vào đó, f ( x )) . Điều này là phổ biến khi ký hiệu hậu tố được sử dụng, đặc biệt là nếu các hàm được biểu thị bằng số mũ, ví dụ như, trong nghiên cứu về các hành động nhóm. Xem Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Các nhóm hoán vị Springer, tr. 5, ISBN 0-387-94599-7
- ^ Ý nghĩa nghiêm ngặt được sử dụng, ví dụ trong lý thuyết thể loại, trong đó một mối quan hệ tập hợp con được mô hình hóa rõ ràng bằng một hàm bao gồm.
Tài liệu tham khảo [ chỉnh sửa ]
Liên kết ngoài [ chỉnh sửa ]
