Cuối cùng, hãy xem xét

${ displaystyle f (x) = g (x) -h (x).}$

f có mức độ nhiều nhất là p – 2 (kể từ khi các điều khoản hàng đầu bị hủy bỏ) và modulo p cũng có p – 1 rễ 1, 2, …, p – 1 . Nhưng định lý của Lagrange nói rằng nó không thể có nhiều hơn p – 2 gốc. Do đó, f phải bằng 0 (mod p ), vì vậy, thuật ngữ không đổi của nó ( p – 1)! + 1 0 (mod p ) . Đây là định lý của Wilson.

Chứng minh bằng cách sử dụng các định lý Sylow

Có thể suy ra định lý Wilson từ một ứng dụng cụ thể của các định lý Sylow. Đặt p là số nguyên tố. Có thể ngay lập tức suy luận rằng nhóm đối xứng

có chính xác

các yếu tố theo thứ tự p cụ thể là p -Motorcycle

. Mặt khác, mỗi Sylow p -subgroup trong

là một bản sao của

. Do đó, theo sau đó, số lượng của Sylow p -subgroups là

. Định lý Sylow thứ ba ngụ ý

${ displaystyle (p-2)! Equiv 1 { pmod {p}}.}$

Nhân cả hai bên với ( p – 1) cho

${ displaystyle (p-1)! Equiv p-1 Equiv -1 { pmod {p}},}$

đó là kết quả.

Ứng dụng [ chỉnh sửa ]

Kiểm tra tính nguyên thủy [ chỉnh sửa ]

Trong thực tế, định lý Wilson là vô dụng vì kiểm tra tính nguyên thủy n – 1)! modulo n đối với lớn n là phức tạp về mặt tính toán, và các thử nghiệm nguyên thủy nhanh hơn nhiều được biết đến (thực sự, ngay cả phân chia thử nghiệm cũng hiệu quả hơn đáng kể).

Dư lượng bậc hai [ chỉnh sửa ]

Sử dụng Định lý Wilson, cho bất kỳ số nguyên tố lẻ nào p = 2 m + 1 chúng ta có thể sắp xếp lại phía bên tay trái của

${ displaystyle 1 cdot 2 cdots (p-1) Equiv -1 { pmod {p}}}$

để có được sự bằng nhau

${ displaystyle 1 cdot (p-1) cdot 2 cdot (p-2) cdots m cdot (pm) Equiv 1 cdot (-1) cdot 2 cdot (-2) cdots m cdot (-m) Equiv -1 { pmod {p}}.}$

${ displaystyle prod _ {j = 1} {m} j ^ {2} Equiv (-1) ^ {m + 1} { pmod {p}}}$

hoặc

${\displaystyle (m!{)}^2\equiv (–1{)}^{\mathrm{+\; <mn>\; 1\; </mn>}}(\mathrm{mod}p).}$

Các công thức cho các số nguyên tố [ chỉnh sửa ]

Định lý Wilson đã được sử dụng để xây dựng các công thức cho các số nguyên tố, nhưng chúng quá chậm để có giá trị thực tế.

Hàm gamma p-adic [ chỉnh sửa ]

Định lý Wilson cho phép người ta định nghĩa hàm gamma p-adic.

Tổng quát hóa của Gauss [ chỉnh sửa ]

Gauss đã chứng minh rằng ^[7]

${ displaystyle alpha}$